安培力
贡献者： addis
在匀强磁场中，一段笔直的细导线中通有电流 $I$，导线的长度和正方向用矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 表示1，若电流与 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 的方向相同则取正值，若相反则取负值。导线 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 受到的安培力为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = I \boldsymbol{\mathbf{L}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
该式可由洛伦兹力推导，见下文。
当磁场分布不均匀，或导线是弯曲的，可用 “微元法” 的思想，把该导线分为许多小段然后对每小段的安培力 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{F}} } = I \boldsymbol{\mathbf{ \,\mathrm{d}{}} } {L} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 进行矢量求和，即曲线积分）。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = I\int_L \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~,
\end{equation}
$L$ 为导线所在的曲线，积分方向沿电流方向。
1. 推导（匀强磁场中的直导线）
假设导线中正电荷运动而负电荷不动2，运动的正电荷线密度（单位长度的电荷量）为 $\lambda$，速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $。那么电流为
\begin{equation}
I = \lambda v~,
\end{equation}
所有运动的正电荷受到的洛伦兹力为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = q \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
当电流方向 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 相同时有 $L \boldsymbol{\mathbf{v}} = v \boldsymbol{\mathbf{L}} $，此时定义电流为正，$I = \lambda v$，相反时有 $L \boldsymbol{\mathbf{v}} = -v \boldsymbol{\mathbf{L}} $，定义电流为负，$I = -\lambda v$。所以
\begin{equation}
q \boldsymbol{\mathbf{v}} = \lambda L \boldsymbol{\mathbf{v}} = \pm \lambda v \boldsymbol{\mathbf{L}} = I \boldsymbol{\mathbf{L}} ~,
\end{equation}
代入
式 4 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = I \boldsymbol{\mathbf{L}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
1. ^ 根据电流连续性定理，电流不可能在端点凭空出现或消失，所以我们可以认为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 是一个回路中的一段。
2. ^ 事实上是负电荷 $-\lambda$ 以 $- \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 运动而正电荷不动，但这样假设得到的安培力相同，且方便记忆和推导。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。