安培力

             

预备知识 洛伦兹力

   在匀强磁场中,一段笔直的细导线中通有电流 $I$,导线的长度和正方向用矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 表示1,若电流与 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 的方向相同则取正值,若相反则取负值.导线 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 受到的安培力为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = I \boldsymbol{\mathbf{L}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
该式可由洛伦兹力推导,见下文.

   当磁场分布不均匀,或导线是弯曲的,可用 “微元法” 的思想,把该导线分为许多小段然后对每小段的安培力 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{F}} } = I \boldsymbol{\mathbf{ \,\mathrm{d}{}} } {L} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 进行矢量求和,即曲线积分).

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = I\int_L \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
$L$ 为导线所在的曲线,积分方向沿电流方向.

1. 推导(匀强磁场中的直导线)

   假设导线中正电荷运动而负电荷不动2,运动的正电荷线密度(单位长度的电荷量)为 $\lambda$,速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $.那么电流为

\begin{equation} I = \lambda v \end{equation}
所有运动的正电荷受到的洛伦兹力为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = q \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
当电流方向 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 相同时有 $L \boldsymbol{\mathbf{v}} = v \boldsymbol{\mathbf{L}} $,此时定义电流为正,$I = \lambda v$,相反时有 $L \boldsymbol{\mathbf{v}} = -v \boldsymbol{\mathbf{L}} $,定义电流为负,$I = -\lambda v$.所以
\begin{equation} q \boldsymbol{\mathbf{v}} = \lambda L \boldsymbol{\mathbf{v}} = \pm \lambda v \boldsymbol{\mathbf{L}} = I \boldsymbol{\mathbf{L}} \end{equation}
代入式 4
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = I \boldsymbol{\mathbf{L}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}


1. ^ 根据电流连续性定理,电流不可能在端点凭空出现或消失,所以我们可以认为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 是一个回路中的一段.
2. ^ 事实上是负电荷 $-\lambda$ 以 $- \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 运动而正电荷不动,但这样假设得到的安培力相同,且方便记忆和推导.

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