磁多极矩

                     

贡献者: 水铭; _Eden_; addis

预备知识 电多极展开

引理 1 分子电流观点

   对于物质磁性的解释,把每个宏观体积元内的分子看成完全一样的电流环,及具有同样的面积 a 和取向(由面元矢量 a 表示),环内具有同样的电流 I,而磁性由分子电流引发。故而后面式 4 可以把电流密度的体积分转变为电流的环路积分。

1. 磁矢势的多级展开

   类似于电多级展开的讨论,我们考虑一个局域在原点附近的电流密度分布 J(x) 在远离电流区域的 x 处所产生的磁矢势(也就是说 |x||x|)。这里我们用的是库仑规范(实际上在静磁问题中,库仑规范和洛伦兹规范等价)。电流分布在小区域 V 内。

(1)A(x)=μ04πVJ(x)dV|xx| .
为了计算远处任意一点 x 处的磁矢势,我们可以做泰勒展开
(2)A(x)=μ04πVJ(x)[1|x|x1|x|+12!i,jxixj2xixj1|x|+]dV=μ04π|x|VJ(x)dVjμ0xj4π|x|3VJ(x)xj+ 
式 2 中,第一项
(3)A(0)(x)=μ04π|x|VJ(x)dV .
由于电流的连续性,把电流分为许多闭合的流管,对于每一个流管来说,有
(4)VJ(x)dV=LIdl=ILdl=0 ,
(5)A(0)=0 .
对展开式第二项
(6)A(1)=μ04πVJ(x)(x1|x|)dV ,
式 4
(7)A(1)=μ0I4πL(x1|x|)dl=μ0I4πL(xx|x|3)dl=μ0I4π|x|3L(xx)dx .
其中 dx=dl 是因为 x 为闭合流管上的坐标。为了进一步计算,我们利用:
(8)0=i,jLd(xixixj)=i,jLxixidxj+xixjdxi=L(xx)dx+L(dxx)x ,
再根据双重叉积的矢量恒等式
(9)L(xx)dl=12L(x×dl)×x ,
(10)A(1)=μ04πR3I2L(x×dl)×x=μ04πm×x|x|3 .
其中 m=I2L(x×dl) 被称为磁矩,而对于一个小线圈(分子电流),他所围的面元 ΔS 可以表示为
(11)ΔS=12Lx×dl .
故而,有等式
(12)m=IΔS .
所以,推广到原点附近的任意电流分布,我们就可以类似地定义其磁偶极矩 m(或简称为磁矩):
(13)m=12x×J(x)dV .
于是它在远处的磁矢势和磁场可近似为:
(14)A(x)=μ04πm×x|x|3,  B(x)=μ04π[3n(nm)m|x|3] .
其中 nx 方向的单位矢量。这是一个磁偶极矢势,它完全类似于静电学中电偶极场的情形。


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