磁多极矩

贡献者：水铭; _Eden_; addis

预备知识　电多极展开

引理 1　分子电流观点

　　对于物质磁性的解释，把每个宏观体积元内的分子看成完全一样的电流环，及具有同样的面积 $a$ 和取向（由面元矢量 $a$ 表示），环内具有同样的电流 $I$ ，而磁性由分子电流引发。故而后面式 4 可以把电流密度的体积分转变为电流的环路积分。

1. 磁矢势的多级展开

　　类似于电多级展开的讨论，我们考虑一个局域在原点附近的电流密度分布 $J (x^{'})$ 在远离电流区域的 $x$ 处所产生的磁矢势（也就是说 $| x | ≫ | x^{'} |$ ）。这里我们用的是库仑规范（实际上在静磁问题中，库仑规范和洛伦兹规范等价）。电流分布在小区域 $V$ 内。

\begin{matrix} (1) & A (x) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{V} \frac{J (x^{'}) d V^{'}}{| x - x^{'} |} . \end{matrix}

为了计算远处任意一点

x

处的磁矢势，我们可以做泰勒展开：

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} A (x) & = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{V} J (x^{'}) [\frac{1}{| x |} - x^{'} \cdot \nabla \frac{1}{| x |} + \frac{1}{2!} \sum_{i, j} x_{i}^{'} x_{j}^{'} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \frac{1}{| x |} + \dots] d V^{'} \\ = \frac{μ_{0}}{4 π | x |} \int_{V} J (x^{'}) d V^{'} - \sum_{j} \frac{μ_{0} x_{j}}{4 π | x |^{3}} \int_{V} J (x^{'}) x_{j}^{'} + \dots \end{aligned} \end{matrix}

式 2 中，第一项

\begin{matrix} (3) & A^{(0)} (x) = \frac{μ_{0}}{4 π | x |} \int_{V} J (x^{'}) d V^{'} . \end{matrix}

由于电流的连续性，把电流分为许多闭合的流管，对于每一个流管来说，有

\begin{matrix} (4) & \int_{V} J (x^{'}) d V^{'} = \oint_{L} I d l^{'} = I \oint_{L} d l^{'} = 0, \end{matrix}

得

\begin{matrix} (5) & A^{(0)} = 0 . \end{matrix}

对展开式第二项

\begin{matrix} (6) & A^{(1)} = - \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{V} J (x^{'}) (x^{'} \cdot \nabla \frac{1}{| x |}) d V^{'}, \end{matrix}

由式 4 得

\begin{matrix} (7) & A^{(1)} = - \frac{μ_{0} I}{4 π} \int_{L} (x^{'} \cdot \nabla \frac{1}{| x |}) d l^{'} = \frac{μ_{0} I}{4 π} \int_{L} (x^{'} \cdot \frac{x}{| x |^{3}}) d l^{'} = \frac{μ_{0} I}{4 π | x |^{3}} \int_{L} (x^{'} \cdot x) d x^{'} . \end{matrix}

其中

d x^{'} = d l^{'}

是因为

x^{'}

为闭合流管上的坐标。为了进一步计算，我们利用：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} 0 & = \sum_{i, j} \oint_{L} d (x_{i} x_{i}^{'} x_{j}^{'}) = \sum_{i, j} \oint_{L} x_{i} x_{i}^{'} d x_{j}^{'} + x_{i} x_{j}^{'} d x_{i}^{'} \\ = \oint_{L} (x^{'} \cdot x) d x^{'} + \oint_{L} (d x^{'} \cdot x) x^{'}, \end{aligned} \end{matrix}

再根据双重叉积的矢量恒等式

\begin{matrix} (9) & \oint_{L} (x^{'} \cdot x) d l^{'} = \frac{1}{2} \oint_{L} (x^{'} \times d l^{'}) \times x, \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & A^{(1)} = \frac{μ_{0}}{4 π R^{3}} \cdot \frac{I}{2} \oint_{L} (x^{'} \times d l^{'}) \times x = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{m \times x}{| x |^{3}} . \end{matrix}

其中

m = \frac{I}{2} \oint_{L} (x^{'} \times d l^{'})

被称为磁矩，而对于一个小线圈（分子电流），他所围的面元

Δ S

可以表示为

\begin{matrix} (11) & Δ S = \frac{1}{2} \oint_{L} x^{'} \times d l^{'} . \end{matrix}

故而，有等式

\begin{matrix} (12) & m = I Δ S . \end{matrix}

所以，推广到原点附近的任意电流分布，我们就可以类似地定义其磁偶极矩

m

（或简称为磁矩）：

\begin{matrix} (13) & m = \frac{1}{2} \int x^{'} \times J (x^{'}) d V^{'} . \end{matrix}

于是它在远处的磁矢势和磁场可近似为：

\begin{matrix} (14) & A (x) = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{m \times x}{| x |^{3}}, B (x) = \frac{μ_{0}}{4 π} [\frac{3 n (n \cdot m) - m}{| x |^{3}}] . \end{matrix}

其中

n

为

x

方向的单位矢量。这是一个磁偶极矢势，它完全类似于静电学中电偶极场的情形。

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