磁多极矩

             

预备知识 电多极展开

引理 1 分子电流观点

   对于物质磁性的解释,把每个宏观体积元内的分子看成完全一样的电流环,及具有同样的面积 $a$ 和取向(由面元矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 表示),环内具有同样的电流 $I$,而磁性由分子电流引发.故而后面式 4 可以把电流密度的体积分转变为电流的环路积分.

1. 磁矢势的多级展开

   类似于电多级展开的讨论,我们考虑一个局域在原点附近的电流密度分布 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ')$ 在远离电流区域的 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 处所产生的磁矢势(也就是说 $| \boldsymbol{\mathbf{x}} |\gg| \boldsymbol{\mathbf{x}} '|$).这里我们用的是库仑规范(实际上在静磁问题中,库仑规范和洛伦兹规范等价).电流分布在小区域 $V$ 内.

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\dfrac {\mu_0}{4\pi} \int_V \dfrac{ \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}) \,\mathrm{d}{V} ^{\prime}}{| \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} '|} \end{equation}
为了计算远处任意一点 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 处的磁矢势,我们可以做泰勒展开
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} )&=\dfrac {\mu_0}{4\pi}\int_V \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ')\Big[\dfrac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{x}} |}- \boldsymbol{\mathbf{x}} '\cdot\nabla \dfrac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{x}} |}+\dfrac{1}{2!}\sum_{i,j}x_i^{\prime}x_j^{\prime} \frac{\partial^2 }{\partial x_i \partial x_j} {\dfrac 1 {| \boldsymbol{\mathbf{x}} |}}+\cdots\Big] \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} V^{\prime} \\ &=\dfrac{\mu_0}{4\pi| \boldsymbol{\mathbf{x}} |}\int_V \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ') \,\mathrm{d}{V} ' -\sum_{j}\dfrac{\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{x}} _j}{4\pi | \boldsymbol{\mathbf{x}} |^3}\int_V \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ') \boldsymbol{\mathbf{x}} '_j + \cdots \end{aligned} \end{equation}
式 2 中,第一项
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(0)}( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\dfrac {\mu_0}{4\pi | \boldsymbol{\mathbf{x}} |}\int_V \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ') \,\mathrm{d}{V^{\prime}} \end{equation}
由于电流的连续性,把电流分为许多闭合的流管,对于每一个流管来说,有
\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}) \,\mathrm{d}{V^{\prime}} =\oint_L I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} =I\oint_L \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} =0 \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(0)}=0 \end{equation}
对展开式第二项
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(1)}=-\dfrac{\mu_0 }{4\pi}\int_V \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime})\Big ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot\nabla\dfrac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{x}} |}\Big) \,\mathrm{d}{V^{\prime}} \end{equation}
式 4
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(1)}=-\dfrac{\mu_0 I }{4\pi}\int_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot\nabla\dfrac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{x}} |}) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} =\dfrac{\mu_0 I }{4\pi}\int_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot\dfrac{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }{| \boldsymbol{\mathbf{x}} |^3}) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } ^{\prime} =\dfrac{\mu_0 I }{4\pi| \boldsymbol{\mathbf{x}} |^3}\int_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } ^{\prime} \end{equation}
其中 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } ^{\prime}= \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} $ 是因为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}$ 为闭合流管上的坐标.为了进一步计算,我们利用:
\begin{align} 0&=\sum_{i,j}\oint_L \,\mathrm{d}\left( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i \boldsymbol{\mathbf{x}} '_i \boldsymbol{\mathbf{x}} '_j \right) =\sum_{i,j}\oint_L \boldsymbol{\mathbf{x}} _i \boldsymbol{\mathbf{x}} '_i \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} '_j} + \boldsymbol{\mathbf{x}} _i \boldsymbol{\mathbf{x}} '_j \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} '_i} \\ &= \oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} '} +\oint_L ( \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} '} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime} \end{align}
再根据双重叉积的矢量恒等式,我们就可以推出
\begin{equation} \oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} =\dfrac1 2\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} )\times \boldsymbol{\mathbf{x}} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(1)}=\dfrac{\mu_0}{4\pi R^3}\cdot\dfrac{I}{2}\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} )\times \boldsymbol{\mathbf{x}} =\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{ \boldsymbol{\mathbf{m}} \times \boldsymbol{\mathbf{x}} }{| \boldsymbol{\mathbf{x}} |^3} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{m}} =\dfrac{I}{2}\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} )$ 被称为磁矩,而对于一个小线圈(分子电流),他所围的面元 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 可以表示为
\begin{equation} \Delta \boldsymbol{\mathbf{S}} =\dfrac 1 2\oint_L \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} \end{equation}
故而,有等式
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{m}} =I\Delta \boldsymbol{\mathbf{S}} \end{equation}
所以,推广到原点附近的任意电流分布,我们就可以类似地定义其磁偶极矩 $ \boldsymbol{\mathbf{m}} $(或简称为磁矩):
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{m}} =\frac{1}{2}\int \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \times \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ') \,\mathrm{d}{V} ' \end{equation}
于是它在远处的磁矢势和磁场可近似为:
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{ \boldsymbol{\mathbf{m}} \times \boldsymbol{\mathbf{x}} }{| \boldsymbol{\mathbf{x}} |^3},\ \ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\frac{\mu_0}{4\pi}\Big [\frac{3 \boldsymbol{\mathbf{n}} ( \boldsymbol{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{m}} )- \boldsymbol{\mathbf{m}} }{| \boldsymbol{\mathbf{x}} |^3}\Big] \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 方向的单位矢量.这是一个磁偶极矢势,它完全类似于静电学中电偶极场的情形.

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