磁多极矩
贡献者: 水铭; _Eden_; addis
引理 1 分子电流观点
对于物质磁性的解释,把每个宏观体积元内的分子看成完全一样的电流环,及具有同样的面积 和取向(由面元矢量 表示),环内具有同样的电流 ,而磁性由分子电流引发。故而后面式 4 可以把电流密度的体积分转变为电流的环路积分。
1. 磁矢势的多级展开
类似于电多级展开的讨论,我们考虑一个局域在原点附近的电流密度分布 在远离电流区域的 处所产生的磁矢势(也就是说 )。这里我们用的是库仑规范(实际上在静磁问题中,库仑规范和洛伦兹规范等价)。电流分布在小区域 内。
为了计算远处任意一点 处的磁矢势,我们可以做
泰勒展开:
式 2 中,第一项
由于电流的连续性,把电流分为许多闭合的流管,对于每一个流管来说,有
得
对展开式第二项
由
式 4 得
其中 是因为 为闭合流管上的坐标。为了进一步计算,我们利用:
再根据双重叉积的矢量恒等式
其中 被称为磁矩,而对于一个小线圈(分子电流),他所围的面元 可以表示为
故而,有等式
所以,推广到原点附近的任意电流分布,我们就可以类似地定义其磁偶极矩 (或简称为磁矩):
于是它在远处的磁矢势和磁场可近似为:
其中 为 方向的单位矢量。这是一个磁偶极矢势,它完全类似于静电学中电偶极场的情形。
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