磁场中闭合电流的力矩

贡献者： addis

预备知识 1　磁矩，梯度

图 1：闭合电流在磁场中所受的力矩

　　如图 1 ，在匀强磁场 $B$ 中，一段闭合环路电流（忽略粗细）所受的力矩为

\begin{matrix} (1) & τ = μ \times B . \end{matrix}

其中

μ

是磁矩（megnetic moment），等于电流

I

乘以以这个环路为边界的任意曲面的面积矢量，曲面法向量的方向通过右手定则判断。也就是说，该力矩的方向使磁矩矢量往磁场的方向偏转。

\begin{matrix} (2) & μ = I A, \end{matrix}

其中面积矢量

A

的定义为（简单来说就是把图 1 中曲面上的所有小面积元求矢量和）

\begin{matrix} (3) & A = \oint d s . \end{matrix}

一种简单的情况是，若闭合环路在同一个平面上，那么

A

的模长就等于环路围成的面积。

　　更一般地，若磁场为非匀强，则力矩为

\begin{matrix} (4) & τ = I \int d s \times \nabla (B \cdot r) . \end{matrix}

势能函数

　　若保持线圈中电流恒定不变，那么在匀强磁场中，我们可以得出式 1 中力矩对应的势能为

\begin{matrix} (5) & E = - μ \cdot B . \end{matrix}

推导：式 1 中力矩的大小为

τ = μ B \sin θ

，若矢量

μ

于磁场的夹角从

θ_{1}

变为

θ_{2}

（

θ

是两矢量的夹角），那么对

θ

定积分得力矩做功为

- μ B (\cos θ_{2} - \cos θ_{1})

。做功为末势能减初势能，所以势能函数为

- μ B \cos θ

（令积分任意常数为零），根据点乘的定义这就是式 5 。

1. 推导

预备知识 2　矢量算符运算法则

　　如图 1 ，线圈中有粗细可忽略的闭合电流 $I$ ，以及任意磁场分布 $B (r)$ ，现在求线圈所受力矩。我们可以把线圈划分为许多小段 $d r$ ，每小段的安培力产生的力矩为

\begin{matrix} (6) & d τ = r \times d F = r \times (I d r \times B), \end{matrix}

对连续叉乘进行化简得

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} d τ & = r \times (I d r \times B) = I (B \cdot r) d r - I B (r \cdot d r) . \end{aligned} \end{matrix}

对

r

沿闭合回路进行环积分得总力矩为

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} τ & = \int d τ = I \oint (B \cdot r) d r - I B \oint r \cdot d r . \end{aligned} \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (9) & \oint r \cdot d r = \oint r \hat{r} \cdot d r = \oint r d r = {\frac{r^{2}}{2} |}_{r_{0}}^{r_{0}} = 0, \end{matrix}

这是因为环积分的起点和终点到原点的距离都相同。所以

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} τ & = I \oint (B \cdot r) d r \\ = \hat{x} I \oint (B \cdot r) \hat{x} \cdot d r + \hat{y} I \oint (B \cdot r) \hat{y} \cdot d r + \hat{z} I \oint (B \cdot r) \hat{z} \cdot d r . \end{aligned} \end{matrix}

对第一项进行分析，剩下两项类推即可。由斯托克斯定理得

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} \hat{x} I \oint (B \cdot r) \hat{x} \cdot d r & = \hat{x} I \int \nabla \times [(B \cdot r) \hat{x}] \cdot d s \\ = \hat{x} I \int \nabla (B \cdot r) \times \hat{x} \cdot d s \\ = \hat{x} I \int d s \times \nabla (B \cdot r) \cdot \hat{x} . \end{aligned} \end{matrix}

其中面积分在以环路为边界的任意曲面进行。对

\hat{y}

和

\hat{z}

项也同样处理，得式 4 。在匀强电场的情况下，

B

是常矢量，

\nabla (B \cdot r) = B

，得式 1 。

　　相关文章：“磁场中闭合电流的合力”。

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