麦克斯韦方程组(外微分形式)

                     

贡献者: JierPeter

  

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1. 前两个方程

预备知识 外导数

  

未完成:百科中尚未创建 “规范场论” 部分.使用引用 [46]

   在 $\mathbb{R}^3$ 中考虑电磁场,三个空间轴分别为 $x, y, z$ 轴.

   考虑麦克斯韦方程组中的两个方程,$\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} =0$ 和 $\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{E}} =-\partial_t \boldsymbol{\mathbf{B}} $.为了尝试用外代数来表达这两个式子,我们就要把 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 表示成一个 2-形式 $B=B_z \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} +B_x \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} +B_y \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} $,把 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 表示成一个 1-形式 $E=E_x \,\mathrm{d}{x} +E_y \,\mathrm{d}{y} +E_z \,\mathrm{d}{z} $,这样以上两个方程的左边就都可以写成外导数的形式,从而有:

\begin{equation} \,\mathrm{d}{B} =0 \end{equation}
\begin{equation} \,\mathrm{d}{E} =\partial_tB \end{equation}

   其中 $\mathbb{R}^4$ 可以写成三维空间和一维时间的乘积:$\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}$.这个四维欧几里得空间中的时间轴记为 $x^0$ 轴,空间轴则记为 $x^1, x^2, x^3$ 轴.要注意在这种表示下,$\partial_tB$ 就成了 $\partial_0B$.

   现在考虑用一个统一的 2-形式 $F=B+E\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0$ 来表示电磁场1,也就是

\begin{equation} \begin{aligned} F = {}&B_z \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2+B_x \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3+B_y \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^1\\ &+E_x \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0+E_y \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0+E_z \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0 \end{aligned} \end{equation}
这个电磁场形式的外导数计算如下,我们把结果分成三个部分来方便阅读:
\begin{equation} \begin{aligned} \,\mathrm{d}{F} ={}& \partial_0 B_z \,\mathrm{d}{x} ^0\wedge \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2 +\\& \partial_0 B_x \,\mathrm{d}{x} ^0\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3 +\\& \partial_0 B_y \,\mathrm{d}{x} ^0\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^1\\ &+\\&(\partial_1 B_x+\partial_2 B_y+\partial_3 B_z) \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3\\ &+\\&(\partial_2 E_z-\partial_3 E_y) \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0+\\&(\partial_3 E_x-\partial_1 E_z) \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0 +\\&(\partial_1 E_y-\partial_2 E_x) \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0 \\ \end{aligned} \end{equation}

   式 4 右边第一个部分和第三个部分是同类项,应该相加,而第二个部分和它们都无关.第一个部分对应 $\partial_0 \boldsymbol{\mathbf{B}} $,第三个部分对应 $\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{E}} $,第二个部分对应 $\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} $,由此易得,式 1 式 2 可以统一用一个式子来表达:

\begin{equation} \,\mathrm{d}{F} = 0 \end{equation}

2. 后两个方程

预备知识 霍奇星算子

\begin{equation} \prod_{n\in N }(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}) \end{equation}


1. ^ 电场外积一个 $ \,\mathrm{d}{x} ^0$ 是为了凑成合适的 2-形式.


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