麦克斯韦方程组（外微分形式）

贡献者： JierPeter; addis

未完成：本文处于草稿阶段。

1. 前两个方程

预备知识 1　外导数

未完成：百科中尚未创建 “规范场论” 部分。使用引用 [1]。

　　在 $R^{3}$ 中考虑电磁场，三个空间轴分别为 $x, y, z$ 轴。

　　考虑麦克斯韦方程组中的两个方程， $\nabla \cdot B = 0$ 和 $\nabla \times E = - \partial_{t} B$ 。为了尝试用外代数来表达这两个式子，我们就要把 $B$ 表示成一个 2-形式 $B = B_{z} d x \land d y + B_{x} d y \land d z + B_{y} d z \land d x$ ，把 $E$ 表示成一个 1-形式 $E = E_{x} d x + E_{y} d y + E_{z} d z$ ，这样以上两个方程的左边就都可以写成外导数的形式，从而有：

\begin{matrix} (1) & d B = 0 \end{matrix}

和

\begin{matrix} (2) & d E = \partial_{t} B, \end{matrix}

其中

R^{4}

可以写成三维空间和一维时间的乘积：

R^{3} \times R

。这个四维欧几里得空间中的时间轴记为

x^{0}

轴，空间轴则记为

x^{1}, x^{2}, x^{3}

轴。要注意在这种表示下，

\partial_{t} B

就成了

\partial_{0} B

。

　　现在考虑用一个统一的 2-形式 $F = B + E \land d x^{0}$ 来表示电磁场¹，也就是

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} F = & B_{z} d x^{1} \land d x^{2} + B_{x} d x^{2} \land d x^{3} + B_{y} d x^{3} \land d x^{1} \\ + E_{x} d x^{1} \land d x^{0} + E_{y} d x^{2} \land d x^{0} + E_{z} d x^{3} \land d x^{0} . \end{aligned} \end{matrix}

这个电磁场形式的外导数计算如下，我们把结果分成三个部分来方便阅读：

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} d F = & \partial_{0} B_{z} d x^{0} \land d x^{1} \land d x^{2} + \\ \partial_{0} B_{x} d x^{0} \land d x^{2} \land d x^{3} + \\ \partial_{0} B_{y} d x^{0} \land d x^{3} \land d x^{1} \\ + \\ (\partial_{1} B_{x} + \partial_{2} B_{y} + \partial_{3} B_{z}) d x^{1} \land d x^{2} \land d x^{3} \\ + \\ (\partial_{2} E_{z} - \partial_{3} E_{y}) d x^{2} \land d x^{3} \land d x^{0} + \\ (\partial_{3} E_{x} - \partial_{1} E_{z}) d x^{3} \land d x^{1} \land d x^{0} + \\ (\partial_{1} E_{y} - \partial_{2} E_{x}) d x^{1} \land d x^{2} \land d x^{0} . \end{aligned} \end{matrix}

　　式 4 右边第一个部分和第三个部分是同类项，应该相加，而第二个部分和它们都无关。第一个部分对应 $\partial_{0} B$ ，第三个部分对应 $\nabla \times E$ ，第二个部分对应 $\nabla \cdot B$ ，由此易得，式 1 和式 2 可以统一用一个式子来表达：

\begin{matrix} (5) & d F = 0 . \end{matrix}

2. 后两个方程

预备知识 2　霍奇星算子

　　²接下来看剩下的两个方程：

\begin{matrix} (6) & {\begin{aligned} \nabla \cdot E = & ρ \\ \nabla \times B = & j + \partial_{0} E . \end{aligned} \end{matrix}

　　形式上，这两个方程和前面两个方程有两个区别。第一，电场和磁场的位置调换了，现在电场求的是散度，磁场求的是旋度；第二，方程右边多了一项常数 $(ρ, J)$ 。

　　 第一个区别提示我们要使用 Hodge 对偶，这样从 $R^{0, 3}$ 的视角看来³ ，电场从 $1$ -形式转化为 $2$ -形式，求外微分就是求其散度；而磁场从 $2$ -形式转化为 $1$ -形式，求外微分就是求其旋度。

　　定义 Hodge 星算子需要一个非退化双线性形式，我们直接用 Minkowski 度规——下面会讨论为什么不用欧几里得度量。

　　于是， $d ⋆ F = 0$ 就等同于

\begin{matrix} (7) & {\begin{aligned} \nabla \times B = & \partial_{0} E \\ \nabla \cdot E = & 0 . \end{aligned} \end{matrix}

注意和

\nabla \times E = - \partial_{0} B

区分，为什么会有这个差异？

　　计算一下就知道了：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} ⋆ E = & ⋆ (E_{1} d x^{1} \land d x^{0} + E_{2} d x^{2} \land d x^{0} + E_{3} d x^{3} \land d x^{0}) \\ = & E_{1} d x^{2} \land d x^{3} + E_{2} d x^{3} \land d x^{1} + E_{3} d x^{1} \land d x^{2} . \end{aligned} \end{matrix}

而

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} ⋆ B = & B_{1} d x^{2} \land d x^{3} + B_{2} d x^{3} \land d x^{1} + B_{3} d x^{1} \land d x^{2} \\ = & - (B_{1} d x^{1} \land d x^{0} + B_{2} d x^{2} \land d x^{0} + B_{3} d x^{3} \land d x^{0}) . \end{aligned} \end{matrix}

所以差异是因为，

⋆ F

相比

F

，在形式上是把

B

替换为

E

，而把

E

替换为

- B

，多且仅仅多了一个负号。而仔细看计算过程会发现，这个负号是来自 Minkowski 度规的，如果换用欧几里得度量就会出现两个负号，负负得正，导致

d ⋆ F = 0

对应的方程形式上就是

d F = 0

对应的方程中直接调换

E

和

B

的位置而已⁴。

　　 第二个区别提示我们，式子的右端不再是 $0$ 了。方程右边多出的这一项，在传统的向量分析里被认为是切向量场，即 $J = ρ \partial_{0} + j^{1} \partial_{1} + j^{2} \partial_{2} + j^{3} \partial_{3}$ 。但是我们把电磁场 $F$ 表示为 $2$ -形式，所以起码要考虑改用余切向量场，即 $J$ 的对偶⁵ ，记为 $J$ 。同样，我们用 Minkowski 度规来定义切丛与余切丛之间的同构。

　　综上，再考虑到 $J$ 是 $1$ -形式，我们还需要额外添加一个星算子，把 $3$ -形式 $d ⋆ F$ 化为 $1$ -形式 $⋆ d ⋆ F$ 。

　　现在，我们已经从散度、旋度、 $k$ -形式的概念直观猜出来式子的两端应该分别有 $⋆ d ⋆ F$ 和 $J$ ，接下来就要通过计算来进一步确定式子的形态：

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} ⋆ d ⋆ F = & ⋆ d ⋆ (E_{1} d x^{1} \land d x^{0} + E_{2} d x^{2} \land d x^{0} + E_{3} d x^{3} \land d x^{0}) + \\ ⋆ d ⋆ (B_{1} d x^{2} \land d x^{3} + B_{2} d x^{3} \land d x^{1} + B_{3} d x^{1} \land d x^{2}) \\ = & ⋆ d (E_{1} d x^{2} \land d x^{3} + E_{2} d x^{3} \land d x^{1} + E_{3} d x^{1} \land d x^{2}) - \\ ⋆ d (B_{1} d x^{1} \land d x^{0} + B_{2} d x^{2} \land d x^{0} + B_{3} d x^{3} \land d x^{0}) \\ = & ⋆ (\partial_{1} E_{1} + \partial_{2} E_{2} + \partial_{3} E_{3}) d x^{1} \land d x^{2} \land d x^{3} + \\ ⋆ \partial_{0} E_{1} d x^{0} \land d x^{2} \land d x^{3} + \\ ⋆ \partial_{0} E_{2} d x^{0} \land d x^{3} \land d x^{1} + \\ ⋆ \partial_{0} E_{3} d x^{0} \land d x^{1} \land d x^{2} + \\ ⋆ (\partial_{2} B_{1} - \partial_{1} B_{2}) d x^{1} \land d x^{2} \land d x^{0} + \\ ⋆ (\partial_{3} B_{2} - \partial_{2} B_{3}) d x^{2} \land d x^{3} \land d x^{0} + \\ ⋆ (\partial_{1} B_{3} - \partial_{3} B_{1}) d x^{3} \land d x^{1} \land d x^{0} \\ = & (\partial_{1} E_{1} + \partial_{2} E_{2} + \partial_{3} E_{3}) d x^{0} + \\ (\partial_{0} E_{1} d x^{1} + \partial_{0} E_{2} d x^{2} + \partial_{0} E_{3} d x^{3}) + \\ (\partial_{2} B_{1} - \partial_{1} B_{2}) d x^{3} + \\ (\partial_{3} B_{2} - \partial_{2} B_{3}) d x^{1} + \\ (\partial_{1} B_{3} - \partial_{3} B_{1}) d x^{2} . \end{aligned} \end{matrix}

　　由于 $J$ 是 $J = ρ \partial_{0} + j^{1} \partial_{1} + j^{2} \partial_{2} + j^{3} \partial_{3}$ 关于 Minkowski 度规的对偶，故

\begin{matrix} (11) & J = ρ d x^{0} - j^{1} d x^{1} - j^{2} d x^{2} - j^{3} d x^{3} . \end{matrix}

　　比较各 $d x^{i}$ 前的系数可得， $⋆ d ⋆ F = J$ 等价于

\begin{matrix} (12) & {\begin{aligned} \partial_{1} E_{1} + \partial_{2} E_{2} + \partial_{3} E_{3} = ρ & ⟹ \nabla \cdot E = ρ \\ \begin{aligned} (\partial_{3} B_{2} - \partial_{2} B_{3}) + \partial_{0} E_{1} = & - j^{1} \\ (\partial_{1} B_{3} - \partial_{3} B_{1}) + \partial_{0} E_{2} = & - j^{2} \\ (\partial_{2} B_{1} - \partial_{1} B_{2}) + \partial_{0} E_{3} = & - j^{3} \end{aligned}} & ⟹ - \nabla \times B + \partial_{0} E = - j . \end{aligned} \end{matrix}

　　因此，剩下两个方程可以写为

\begin{matrix} (13) & ⋆ d ⋆ F = J . \end{matrix}

1. ^ 电场外积一个 $d x^{0}$ 是为了凑成合适的 2-形式。
2. ^ 该小节节选自《代数学基础》，故所用符号与上一小节有所不同。
3. ^ $R^{s, t}$ 指配备了一个二次型的实线性空间 $R^{s + t}$ ，且 $s, t$ 分别为这个二次型的正号、负号之数量。
4. ^ 这也反映出电动力学与经典力学不适配，应使用相对论时空观。
5. ^ 就像量子力学里一样，虽然有两个互为对偶的空间（左矢空间和右矢空间），但它们都是量子态的表示空间，同一个态有左矢和右矢两种表示。

[1] ^ John Baez, Javier P. Muniain. Gauge Fields, Knots and Gravity, Series on Knots and Everthing-Vol. 4, World Scientific press. ISBN-13: 978-981-02-2034-1.

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。