旋度的逆运算

贡献者： addis

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预备知识　矢量算符运算法则

定理 1　

　　¹令 $F$ 为无散场，即

\begin{matrix} (1) & \nabla \cdot F = 0 . \end{matrix}

则

F (r)

总能表示为另一个矢量场

G (r)

的旋度，即

\begin{matrix} (2) & F = \nabla \times G . \end{matrix}

且

G (r)

可以通过以下公式计算：

\begin{matrix} (3) & G (r) = \frac{1}{4 π} \int F (r^{'}) \times \frac{R}{R^{3}} d V^{'} . \end{matrix}

其中

G

通常被称为矢势（vector potential），

r, r^{'}

分别是坐标原点指向三维直角坐标

(x, y, z)

和

(x^{'}, y^{'}, z^{'})

的位置矢量，

R = r - r^{'}

，

R = | R |

，体积分

\int d V^{'} = \int d x^{'} d y^{'} d z^{'}

的区域是空间中

F

不为零的区域，

\times

表示矢量叉乘。

推论 1　

　　 $F$ 是无散场的充分必要条件是它可以表示为另一个矢量场的旋度 $\nabla \times G$ 。

　　证明：定理 1 提供了充分性。必要性：我们知道 $\nabla \cdot (\nabla \times G) \equiv 0$ 。证毕。

　　定理 1 在电动力学中有两个重要的应用：一个是证明毕奥—萨伐尔定律满足安培环路定律，另一个是证明磁矢势 $A$ 必定存在（因为磁场是无散场）。

推论 2　

　　在定理 1 中，给 $G (r)$ 加上任意一个无旋场 $H (r)$ （满足 $\nabla \times H = 0$ ），也能使式 2 成立。通过这种方法可以得到式 2 中所有可能的 $G (r)$ 。

　　证明：第一句话证明显然。第二句话：若 $G$ 和 $G^{'}$ 同时满足式 2 ，那么相减得到 $\nabla \times (G^{'} - G) = 0$ 。所以二者之差只能是无旋场。证毕。

　　注意 $H$ 也可以表示为任意标量函数 $V (r)$ 的梯度 $\nabla V$ 。

　　我们可以认为式 3 是旋度运算的逆运算，这可以类比不定积分是求导的逆运算。而无旋场 $H (r)$ 可以类比不定积分中的任意常数。散度也有类似的逆运算。

定理 2　

　　令 $F (r)$ 为无散场，则式 3 得到的 $G (r)$ 仍然是一个无散场。

　　显然，给 $G (r)$ 加上一个任意的无散场 $H (r)$ 后仍然是一个无散场。若需要满足式 2 ，则 $H (r)$ 必须也是无旋的，即 $H (r)$ 是调和场。

　　我们已经知道一个矢量场无论求几次旋度，都一直是无散场。而这个定理告诉我们任意无散场无论求几次 “逆旋度” 也都可以是无散场。

1. 证明定理 1

　　我们只需要证明式 3 右边第一项求旋度等于 $F$ ，使用式 6 （展开的四项中对 $F$ 微分的两项为零，因为 $F$ 是 $r^{'}$ 的函数）：

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \nabla \times G & = \frac{1}{4 π} \int \nabla \times (F \times \frac{R}{R^{3}}) d V^{'} \\ = \frac{1}{4 π} \int F (\nabla \cdot \frac{R}{R^{3}}) d V^{'} - \frac{1}{4 π} \int (F \cdot \nabla) \frac{R}{R^{3}} d V^{'}, \end{aligned} \end{matrix}

其中第一个等号是因为 “对一个变量积分” 再 “对另一个变量求导” 这两个操作可以交换。

　　先来证明上式第二项为零：被积函数中的 $x$ 分量为（ $\nabla^{'}$ 意味着对 $x^{'}, y^{'}, z^{'}$ 求偏导，另外注意 $F$ 是 $r^{'}$ 的函数）

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} (F \cdot \nabla) \frac{x^{'} - x}{{| x^{'} - x |}^{3}} & = F \cdot (\nabla \frac{x^{'} - x}{{| x^{'} - x |}^{3}}) = - F \cdot (\nabla^{'} \frac{x^{'} - x}{{| x^{'} - x |}^{3}}) \\ = - \nabla^{'} \cdot (F \frac{x^{'} - x}{{| x^{'} - x |}^{3}}) + (\nabla^{'} \cdot F) \frac{x^{'} - x}{{| x^{'} - x |}^{3}}, \end{aligned} \end{matrix}

这里使用了式 3 。由于

F (r^{'})

是无散场，最后一项为零。

y, z

分量同理。对上式做体积分得（使用散度定理式 13 ）

\begin{matrix} (6) & - \int \nabla^{'} \cdot (F \frac{x^{'} - x}{{| x^{'} - x |}^{3}}) d V^{'} = - \oint F \frac{x^{'} - x}{{| x^{'} - x |}^{3}} d s, \end{matrix}

积分曲面是体积分区域的边界曲面。由于我们假设

F

只有在体积分内部（不包括边界）不为零，所以该式为零。

　　再来看式 4 右边第一项，有（式 5 ）

\begin{matrix} (7) & \nabla \cdot \frac{R}{R^{3}} = 4 π δ^{3} (R) . \end{matrix}

代入得

\begin{matrix} (8) & \nabla \times G = \int F (r^{'}) δ^{3} (r - r^{'}) d V^{'} = F (r), \end{matrix}

证毕。

2. 证明定理 2

　　使用式 4 ，有

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \nabla \cdot F = \frac{1}{4 π} \int \nabla \cdot (F \times \frac{R}{R^{3}}) d V^{'} \\ = \frac{1}{4 π} \int \frac{R}{R^{3}} \cdot (\nabla \times F) d V^{'} - \frac{1}{4 π} \int F \cdot (\nabla \times \frac{R}{R^{3}}) d V^{'} . \end{aligned} \end{matrix}

注意

F

是

r^{'}

的函数而不是

r

的函数，所以第一项中

\nabla \times F = 0

。另外由于

\nabla \times (R / R^{3}) = 0

，上式恒为零。证毕。

1. ^ 参考 [1] 233 页。

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

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