旋度的逆运算
贡献者: addis
定理 1
1令 为无散场,即
则 总能表示为另一个矢量场 的旋度,即
且 可以通过以下公式计算:
其中 通常被称为
矢势(vector potential), 分别是坐标原点指向三维直角坐标 和 的位置矢量,,,体积分 的区域是空间中 不为零的区域, 表示
矢量叉乘。
推论 1
是无散场的充分必要条件是它可以表示为另一个矢量场的旋度 。
证明:定理 1 提供了充分性。必要性:我们知道 。证毕。
定理 1 在电动力学中有两个重要的应用:一个是证明毕奥—萨伐尔定律满足安培环路定律,另一个是证明磁矢势 必定存在(因为磁场是无散场)。
推论 2
在定理 1 中,给 加上任意一个无旋场 (满足 ),也能使式 2 成立。通过这种方法可以得到式 2 中所有可能的 。
证明:第一句话证明显然。第二句话:若 和 同时满足式 2 ,那么相减得到 。所以二者之差只能是无旋场。证毕。
注意 也可以表示为任意标量函数 的梯度 。
我们可以认为式 3 是旋度运算的逆运算,这可以类比不定积分是求导的逆运算。而无旋场 可以类比不定积分中的任意常数。散度也有类似的逆运算。
定理 2
令 为无散场,则式 3 得到的 仍然是一个无散场。
显然,给 加上一个任意的无散场 后仍然是一个无散场。若需要满足式 2 ,则 必须也是无旋的,即 是调和场。
我们已经知道一个矢量场无论求几次旋度,都一直是无散场。而这个定理告诉我们任意无散场无论求几次 “逆旋度” 也都可以是无散场。
1. 证明定理 1
我们只需要证明式 3 右边第一项求旋度等于 ,使用式 6 (展开的四项中对 微分的两项为零,因为 是 的函数):
其中第一个等号是因为 “对一个变量积分” 再 “对另一个变量求导” 这两个操作可以交换。
先来证明上式第二项为零:被积函数中的 分量为( 意味着对 求偏导,另外注意 是 的函数)
这里使用了
式 3 。由于 是无散场,最后一项为零。 分量同理。对上式做体积分得(使用散度定理
式 13 )
积分曲面是体积分区域的边界曲面。由于我们假设 只有在体积分内部(不包括边界)不为零,所以该式为零。
再来看式 4 右边第一项,有(式 5 )
代入得
证毕。
2. 证明定理 2
使用式 4 ,有
注意 是 的函数而不是 的函数,所以第一项中 。另外由于 ,上式恒为零。证毕。
1. ^ 参考 [1] 233 页。
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed
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