旋度的逆运算

                     

贡献者: addis

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预备知识 矢量算符运算法则

定理 1 

  1F 为无散场,即

(1)F=0 .
F(r) 总能表示为另一个矢量场 G(r) 的旋度,即
(2)F=×G .
G(r) 可以通过以下公式计算:
(3)G(r)=14πF(r)×RR3dV .
其中 G 通常被称为矢势(vector potential)r,r 分别是坐标原点指向三维直角坐标 (x,y,z)(x,y,z) 的位置矢量,R=rrR=|R|,体积分 dV=dxdydz 的区域是空间中 F 不为零的区域,× 表示矢量叉乘

推论 1 

   F 是无散场的充分必要条件是它可以表示为另一个矢量场的旋度 ×G

   证明:定理 1 提供了充分性。必要性:我们知道 (×G)0。证毕。

   定理 1 在电动力学中有两个重要的应用:一个是证明毕奥—萨伐尔定律满足安培环路定律,另一个是证明磁矢势 A 必定存在(因为磁场是无散场)。

推论 2 

   在定理 1 中,给 G(r) 加上任意一个无旋场 H(r)(满足 ×H=0),也能使式 2 成立。通过这种方法可以得到式 2 中所有可能的 G(r)

   证明:第一句话证明显然。第二句话:若 GG 同时满足式 2 ,那么相减得到 ×(GG)=0。所以二者之差只能是无旋场。证毕。

   注意 H 也可以表示为任意标量函数 V(r) 的梯度 V

   我们可以认为式 3 是旋度运算的逆运算,这可以类比不定积分是求导的逆运算。而无旋场 H(r) 可以类比不定积分中的任意常数。散度也有类似的逆运算

定理 2 

   令 F(r) 为无散场,则式 3 得到的 G(r) 仍然是一个无散场。

   显然,给 G(r) 加上一个任意的无散场 H(r) 后仍然是一个无散场。若需要满足式 2 ,则 H(r) 必须也是无旋的,即 H(r) 是调和场。

   我们已经知道一个矢量场无论求几次旋度,都一直是无散场。而这个定理告诉我们任意无散场无论求几次 “逆旋度” 也都可以是无散场。

1. 证明定理 1

   我们只需要证明式 3 右边第一项求旋度等于 F,使用式 6 (展开的四项中对 F 微分的两项为零,因为 Fr 的函数):

(4)×G=14π×(F×RR3)dV=14πF(RR3)dV14π(F)RR3dV ,
其中第一个等号是因为 “对一个变量积分” 再 “对另一个变量求导” 这两个操作可以交换。

   先来证明上式第二项为零:被积函数中的 x 分量为( 意味着对 x,y,z 求偏导,另外注意 Fr 的函数)

(5)(F)xx|xx|3=F(xx|xx|3)=F(xx|xx|3)=(Fxx|xx|3)+(F)xx|xx|3 ,
这里使用了式 3 。由于 F(r) 是无散场,最后一项为零。y,z 分量同理。对上式做体积分得(使用散度定理式 13
(6)(Fxx|xx|3)dV=Fxx|xx|3ds ,
积分曲面是体积分区域的边界曲面。由于我们假设 F 只有在体积分内部(不包括边界)不为零,所以该式为零。

   再来看式 4 右边第一项,有(式 5

(7)RR3=4πδ3(R) .
代入得
(8)×G=F(r)δ3(rr)dV=F(r) ,
证毕。

2. 证明定理 2

   使用式 4 ,有

(9)F=14π(F×RR3)dV=14πRR3(×F)dV14πF(×RR3)dV .
注意 Fr 的函数而不是 r 的函数,所以第一项中 ×F=0。另外由于 ×(R/R3)=0,上式恒为零。证毕。


1. ^ 参考 [1] 233 页。


[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

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