旋度的逆运算

             

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预备知识 矢量算符运算法则

定理 1 

  1令 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 为无散场,即

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} = 0 \end{equation}
则 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 总能表示为另一个矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的旋度,即
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{G}} \end{equation}
且 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 可以通过以下公式计算:
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi}\int \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol\times \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} $ 通常被称为矢势(vector potential),$ \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 分别是坐标原点指向三维直角坐标 $(x, y, z)$ 和 $(x', y', z')$ 的位置矢量,$ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '$,$R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \right\rvert $,体积分 $\int \,\mathrm{d}{V'} = \int \,\mathrm{d}{x'} \,\mathrm{d}{y'} \,\mathrm{d}{z'} $ 的区域是空间中 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 不为零的区域,$ \boldsymbol\times $ 表示矢量叉乘

推论 1 

   $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是无散场的充分必要条件是它可以表示为另一个矢量场的旋度 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{G}} $.

   证明:定理 1 提供了充分性.必要性:我们知道 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} G) \equiv 0$(链接未完成).证毕.

   定理 1 在电动力学中有两个重要的应用:一个是证明比奥萨法尔定律满足安培环路定理,另一个是证明磁矢势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 必定存在(因为磁场是无散场).

推论 2 

   在定理 1 中,给 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 加上任意一个无旋场 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$(满足 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $),也能使式 2 成立.通过这种方法可以得到式 2 中所有可能的 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$.

   证明:第一句话证明显然.第二句话:若 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} '$ 同时满足式 2 ,那么相减得到 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{G}} ' - \boldsymbol{\mathbf{G}} ) = \boldsymbol{\mathbf{0}} $.所以二者之差只能是无旋场.证毕.

   注意 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 也可以表示为任意标量函数 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的梯度 $ \boldsymbol\nabla V$(引用未完成).

   我们可以认为式 3 是旋度运算的逆运算,这可以类比不定积分是求导的逆运算.而无旋场 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 可以类比不定积分中的任意常数.散度也有类似的逆运算

定理 2 

   令 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 为无散场,则式 3 得到的 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 仍然是一个无散场.

   显然,给 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 加上一个任意的无散场 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 后仍然是一个无散场.若需要满足式 2 ,则 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 必须也是无旋的,即 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是调和场.

   我们已经知道一个矢量场无论求几次旋度,都一直是无散场.而这个定理告诉我们任意无散场无论求几次 “逆旋度” 也都可以是无散场.

1. 证明定理 1

   我们只需要证明式 3 右边第一项求旋度等于 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $,使用式 6 (展开的四项中对 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 微分的两项为零,因为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的函数):

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{G}} &= \frac{1}{4\pi}\int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \left( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\times \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \right) \,\mathrm{d}{V'} \\ &= \frac{1}{4\pi}\int \boldsymbol{\mathbf{F}} \left( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \right) \,\mathrm{d}{V'} - \frac{1}{4\pi}\int( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'} \end{aligned} \end{equation}
其中第一个等号是因为 “对一个变量积分” 再 “对另一个变量求导” 这两个操作可以交换.

   先来证明上式第二项为零:被积函数中的 $x$ 分量为($ \boldsymbol\nabla '$ 意味着对 $x', y', z'$ 求偏导,另外注意 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的函数)

\begin{equation} \begin{aligned} ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} &= \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \left( \boldsymbol\nabla \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} \right) = - \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \left( \boldsymbol\nabla ' \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} \right) \\ &= - \boldsymbol\nabla ' \boldsymbol\cdot \left( \boldsymbol{\mathbf{F}} \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} \right) + ( \boldsymbol\nabla ' \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{F}} ) \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} \end{aligned} \end{equation}
这里使用了式 3 .由于 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$ 是无散场,最后一项为零.$y, z$ 分量同理.对上式做体积分得(使用散度定理式 13
\begin{equation} - \int \boldsymbol\nabla ' \boldsymbol\cdot \left( \boldsymbol{\mathbf{F}} \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} \right) \,\mathrm{d}{V'} = -\oint \boldsymbol{\mathbf{F}} \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \end{equation}
积分曲面是体积分区域的边界曲面.由于我们假设 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 只有在体积分内部(不包括边界)不为零,所以该式为零.

   再来看式 4 右边第一项,有(引用未完成)

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} = 4\pi \delta^3( \boldsymbol{\mathbf{R}} ) \end{equation}
代入得
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{G}} = \int \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \delta^3( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{V'} = \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
证毕.

2. 证明定理 2

   使用式 4 ,有

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \frac{1}{4\pi} \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \left( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\times \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \right) \,\mathrm{d}{V'} \\ &= \frac{1}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} ) \,\mathrm{d}{V'} - \frac{1}{4\pi} \int \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \left( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \right) \,\mathrm{d}{V'} \end{aligned} \end{equation}
注意 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的函数而不是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的函数,所以第一项中 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $.另外由于 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} /R^3) = \boldsymbol{\mathbf{0}} $(引用未完成),上式恒为零.证毕.


1. ^ 参考 [15] 相关章节.

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