亥姆霍兹分解

             

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预备知识 散度的逆运算,旋度的逆运算,调和场

定理 1 亥姆霍兹分解

  1任何处处可导的矢量场都可以分解为一个无旋场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{d}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,一个无散场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{c}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,和一个调和场 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$.

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\mathbf{F}} _{d}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \boldsymbol{\mathbf{F}} _{c}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
一种分解的具体方法是,令
\begin{equation} \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \equiv \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \qquad \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \equiv \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{d}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \equiv \frac{1}{4\pi}\int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{c}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \equiv \frac{1}{4\pi}\int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \equiv \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) - \boldsymbol{\mathbf{F}} _{d}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) - \boldsymbol{\mathbf{F}} _{c}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 分别是坐标原点指向三维直角坐标 $(x, y, z)$ 和 $(x', y', z')$ 的位置矢量,$ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} ' - \boldsymbol{\mathbf{r}} $,$R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \right\rvert $,体积分 $\int \,\mathrm{d}{V'} = \int \,\mathrm{d}{x'} \,\mathrm{d}{y'} \,\mathrm{d}{z'} $ 的区域是整个三维空间或者其中 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 不为零的区域,$ \boldsymbol\times $ 表示矢量叉乘

   亥姆霍兹分解分解不是唯一的,我们也可以给式 3 式 4 右边分别加上一个任意调和场,分解依然成立.除此之外不存在其他分解方法.

   特殊地(例如在电磁学中),如果要求 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _d, \boldsymbol{\mathbf{F}} _c$ 在无穷远处都趋于零,这就要求式 3 式 4 右边不能加上非零调和场(见定理 2 ),所以该条件下亥姆霍兹分解是唯一的.

   式 3 式 4 可以分别类比静电学中的库伦定律(式 6 )和静磁学中的比奥萨法尔定律(式 2 ):把 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _c$ 看作静电场,$\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 看作电荷密度,满足高斯定律(式 2 );把 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _c$ 看作静磁场,$ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 看作电流密度,满足安培环路定理(式 6 ).也可以把 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 看成磁场的负时间偏导 $- \partial \boldsymbol{\mathbf{B}} /\partial t $,$ \boldsymbol{\mathbf{F}} _c$ 看成感生电场,满足电磁感应定律(式 4 ).

   现在我们可以回答一个问题:已知一个矢量场的散度和旋度,是否能唯一确定该矢量场?答案是不能,因为还可以叠加一个任意调和场.但如果该矢量场在无穷远处趋于零,那么就可以唯一确定.

证明

   根据定理 2 以及定理 2 式 3 式 4 中定义的 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{d}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{c}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 分别是无旋场和无散场,且满足

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} _d( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} _c( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
容易证明 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 必定是调和场(无散且无旋):
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{H}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{F}} - \boldsymbol{\mathbf{F}} _d) = 0 \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{F}} - \boldsymbol{\mathbf{F}} _d) = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
证毕.

1. 另一种表示

   上述分解采用的是积分的方法,我们也可以用微分来描述.无旋场总能表示为某个标量函数 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的梯度(证明见势能),而无散场总能表示为另一个矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的旋度,所以

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{d} = \boldsymbol\nabla V\qquad \boldsymbol{\mathbf{F}} _{c} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}
所以亥姆霍兹分解也可以记为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol\nabla V + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{H}} \end{equation}
但是求解 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 并不那么直接,一般还是需要先用上一节中的办法进行分解才能求得.


1. ^ 参考 [15] 相关章节.

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