亥姆霍兹分解

贡献者： addis

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预备知识　散度的逆运算，旋度的逆运算，调和场

定理 1　亥姆霍兹分解

　　¹任何处处可导的矢量场都可以分解为一个无旋场 $F_{d} (r)$ ，一个无散场 $F_{c} (r)$ ，和一个调和场 $H (r)$ 。

\begin{matrix} (1) & F (r) = F_{d} (r) + F_{c} (r) + H (r) . \end{matrix}

一种分解的具体方法是，令

\begin{matrix} (2) & ρ (r) \equiv \nabla \cdot F (r), j (r) \equiv \nabla \times F (r), \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & F_{d} (r) \equiv \frac{1}{4 π} \int \frac{ρ (r^{'}) R}{R^{3}} d V^{'}, \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & F_{c} (r) \equiv \frac{1}{4 π} \int \frac{j (r^{'}) \times R}{R^{3}} d V^{'}, \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & H (r) \equiv F (r) - F_{d} (r) - F_{c} (r) . \end{matrix}

其中

r, r^{'}

分别是坐标原点指向三维直角坐标

(x, y, z)

和

(x^{'}, y^{'}, z^{'})

的位置矢量，

R = r^{'} - r

，

R = | R |

，体积分

\int d V^{'} = \int d x^{'} d y^{'} d z^{'}

的区域是整个三维空间或者其中

F

不为零的区域，

\times

表示矢量叉乘。

　　亥姆霍兹分解分解不是唯一的，我们也可以给式 3 和式 4 右边分别加上一个任意调和场，分解依然成立。除此之外不存在其他分解方法。

　　特殊地（例如在电磁学中），如果要求 $F_{d}, F_{c}$ 在无穷远处都趋于零，这就要求式 3 和式 4 右边不能加上非零调和场（见定理 2 ），所以该条件下亥姆霍兹分解是唯一的。

　　式 3 和式 4 可以分别类比静电学中的库仑定律（式 6 ）和静磁学中的毕奥—萨伐尔定律（式 2 ）：把 $F_{c}$ 看作静电场， $ρ (r)$ 看作电荷密度，满足高斯定律（式 2 ）；把 $F_{c}$ 看作静磁场， $j (r)$ 看作电流密度，满足安培环路定律（式 2 ）。也可以把 $j$ 看成磁场的负时间偏导 $- \partial B / \partial t$ ， $F_{c}$ 看成感生电场，满足电磁感应定律（式 6 ）。

　　现在我们可以回答一个问题：已知一个矢量场的散度和旋度，是否能唯一确定该矢量场？答案是不能，因为还可以叠加一个任意调和场。但如果该矢量场在无穷远处趋于零，那么就可以唯一确定。

证明

　　根据定理 2 以及定理 2 ，式 3 和式 4 中定义的 $F_{d} (r)$ 和 $F_{c} (r)$ 分别是无旋场和无散场，且满足

\begin{matrix} (6) & \nabla \cdot F_{d} (r) = ρ (r) = \nabla \cdot F (r), \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & \nabla \times F_{c} (r) = j (r) = \nabla \times F (r) . \end{matrix}

容易证明

H (r)

必定是调和场（无散且无旋）：

\begin{matrix} (8) & \nabla \cdot H = \nabla \cdot (F - F_{d}) = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & \nabla \times H = \nabla \times (F - F_{d}) = 0, \end{matrix}

证毕。

1. 另一种表示

　　上述分解采用的是积分的方法，我们也可以用微分来描述。无旋场总能表示为某个标量函数 $V (r)$ 的梯度（证明见势能），而无散场总能表示为另一个矢量场 $A$ 的旋度，所以

\begin{matrix} (10) & F_{d} = \nabla V, F_{c} = \nabla \times A . \end{matrix}

所以亥姆霍兹分解也可以记为

\begin{matrix} (11) & F = \nabla V + \nabla \times A + H . \end{matrix}

但是求解

V (r)

和

A

并不那么直接，一般还是需要先用上一节中的办法进行分解才能求得。

1. ^ 参考 [1] 相关章节。

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

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定理 1 亥姆霍兹分解

证明

1. 另一种表示

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