势能（简介）

贡献者： ACertainUser

　　¹ 势能可能是物理中运用最为广泛，却又最令人费解的概念之一（哪个物理概念不令人费解呢?）。本文提供了一个大致的思路，主要面向具有一定物理基础的读者。

　　 以下我们假定粒子间的相互作用力都是保守力（例如静电场力，重力等都是保守力。。。）由于我们没有特别基于某一个保守力定义势能，因此这些论述可以很容易地推广至多种情形（相应的，也不会涉及具体的数学计算）；且假定系统及其影响范围均只局限于有限区域内。

1. “单一粒子的势能”

　　 怎么样理解 “一个粒子的势能”？我们可以认为粒子的势能是 “将该粒子加入系统所需要的能量”。

　　 想象一下，我们要将一颗糖果装进一个已经装着不少糖果的罐子中的特定位置。我们当然不能指望这颗新糖果能直接出现那里；我们顶多先将他放到瓶口，然后使尽洪荒之力将他塞进瓶中.

　　 同样的，我们往已有系统中加入一个新的粒子时，也要先将他放在无穷远处，然后再移动到特定位置；而将粒子从无穷远处移动至特定位置时，需要克服已有粒子的排斥（或者说粒子间的作用力、内力），这就需要额外的外力对粒子做功以克服这些阻碍。

　　 根据我们对机械能定理(能量守恒)的理解，这部分外力的功不能平白无故的消失了，他一定被转换为了某种能量，此即为粒子的势能。 $$\Delta E_p = W_{ext}=\int^a_\infty \boldsymbol{\mathbf{F}} _{ext} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} l~. $$

　　 我们设粒子处于无穷远处时，它的势能为零，那么 $$E_p = \Delta E_p + 0 = \int^a_\infty \boldsymbol{\mathbf{F}} _{ext} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} l~.$$

　　 举一个势能的简单例子：相对于地面，为什么一个在山顶的人会具有重力势能？因为他要克服重力才能从地面来到山顶，这就需要额外的能量输入，比如他身体里的化学能，或者驱动缆车的电能...相反地，如果这个人的随身物件不慎从山顶滑落（请看管好随身物品！不要伤及花花草草！），那么物件的重力势能将重新转换为别的形式的能量，例如动能、热能以及物件被破坏时伴随的塑性变形能。

势能与内力

　　 从上文我们看出，势能源自于粒子与已有粒子间的交互(见上文粗体字部分)，因此由系统内部的物理量表述势能应该更为合适；而上文中我们却使用了抽象的外力做功。怎么用更实在的内力功来表现势能呢？

　　 根据动能定理，粒子动能的变化与内、外力做功和有关；由于始末态粒子动能都为零，因此 $$W_{in} + W_{ext} = \Delta E_k = 0 \Rightarrow W_{in} = -W_{ext}~.$$ 又因为 $$W_{in} = \int^a_\infty \boldsymbol{\mathbf{F}} _{in} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} l~, $$ 所以 $$E_p = - \int^a_\infty \boldsymbol{\mathbf{F}} _{in} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} l = \int^\infty_a \boldsymbol{\mathbf{F}} _{in} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} l~.$$

势能的性质

　　 我们一直没有明确粒子从无穷远运动至特定位置的具体路径。事实上，由于内力的保守性质(这是我们在开头假定的)，保守内力做功的多少与具体路径无关、而只与始末状态有关，因此具体的路径无关紧要。

　　 换句话说，势能是一种状态量，它与新加入粒子的性质与位置、已有粒子的性质与分布等有关，但与历史无关 (加入粒子的具体路径等)。 $$E_p=E_p( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,...)~.$$

　　 尽管此节的标题是 “单一粒子的势能”，但从上文的探讨中，我们已经发现势能实际上源自于粒子与已有粒子的交互。如果只有单一的粒子，势能的概念也就不能存在了。因此，严格地说我们不能说 “单一粒子的势能”。

2. 系统的势能

　　 那么我们怎么理解系统的势能？运用上一节的经验，系统的势能可以理解为 “组建系统所需要的能量”。

　　 假定组成系统的粒子最初都位于无穷远处、且互相相隔无穷远。现在，为了组建系统，我们要将这些粒子一个一个地移动到恰当的位置。

• 当我们放置第一个粒子时，由于其他的粒子现在还在无穷远处，此时没有阻力，也不需要外力做功；
• 而当放置第二个粒子时，则需要克服来自第一个粒子的阻力，如同我们在上一节所看到的那样，这就需要外力做功，而这部分能量就使系统的势能上升。。。；
• 继续放置第三个粒子，此时就需要克服来自第一、第二个粒子的阻力...
• ...

　　 以此类推，直到我们放置完最后一个粒子后，外力做的总功即转换为系统的势能。 同样的，系统的势能也是一种状态量，它取决于系统中粒子的性质与分布，但与系统的历史(系统曾经历的过程)无关。 $$E_p=E_p(S,...)~.$$

　　 比如说，我们可以利用这种思路来计算电荷系统的电势能，详见 "电势、电势能 "的 子节 6 。

3. 场的抽象

　　 现在，我们认为粒子间的交互是通过场实现的（电场、重力场...）。因此，系统的势能实质上是系统（组成系统的所有粒子）所产生的场的能量。简单地改变上文的用词，我们就能理解这一点：

　　 现在，我们往已有系统中加入一个新的粒子。这个新粒子最初位于无穷远处，将粒子从无穷远处移动至特定位置时，需要克服已有场的排斥，这就需要额外的外力对粒子做功以克服阻碍。根据我们对机械能定理(能量守恒)的理解，这部分外力的功不能平白无故的消失了，他一定被转换为了场的能量...

1. ^ 本文受安宇的《大学物理》、周磊教授的《电动力学》以及 [1] 的启发。部分图片来自 Pixabay。

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed