势能(简介)

                     

贡献者: ACertainUser

  • 本词条处于草稿阶段。

  1 势能可能是物理中运用最为广泛,却又最令人费解的概念之一(哪个物理概念不令人费解呢?)。本文提供了一个大致的思路,主要面向具有一定物理基础的读者。

   以下我们假定粒子间的相互作用力都是保守力(例如静电场力,重力等都是保守力。。。)由于我们没有特别基于某一个保守力定义势能,因此这些论述可以很容易地推广至多种情形(相应的,也不会涉及具体的数学计算);且假定系统及其影响范围均只局限于有限区域内。

1. “单一粒子的势能”

   怎么样理解 “一个粒子的势能”?我们可以认为粒子的势能是 “将该粒子加入系统所需要的能量”。

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图 1:一个装满糖果的罐子

   想象一下,我们要将一颗糖果装进一个已经装着不少糖果的罐子中的特定位置。我们当然不能指望这颗新糖果能直接出现那里;我们顶多先将他放到瓶口,然后使尽洪荒之力将他塞进瓶中.

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图 2:将粒子从无穷远处移动至特定位置时,需要克服已有粒子的排斥

   同样的,我们往已有系统中加入一个新的粒子时,也要先将他放在无穷远处,然后再移动到特定位置;而将粒子从无穷远处移动至特定位置时,需要克服已有粒子的排斥(或者说粒子间的作用力、内力),这就需要额外的外力对粒子做功以克服这些阻碍。

   根据我们对机械能定理(能量守恒)的理解,这部分外力的功不能平白无故的消失了,他一定被转换为了某种能量,此即为粒子的势能。 $$\Delta E_p = W_{ext}=\int^a_\infty \boldsymbol{\mathbf{F}} _{ext} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} l $$

   我们设粒子处于无穷远处时,它的势能为零,那么 $$E_p = \Delta E_p + 0 = \int^a_\infty \boldsymbol{\mathbf{F}} _{ext} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} l$$

   举一个势能的简单例子:相对于地面,为什么一个在山顶的人会具有重力势能?因为他要克服重力才能从地面来到山顶,这就需要额外的能量输入,比如他身体里的化学能,或者驱动缆车的电能...

势能与内力

   从上文我们看出,势能源自于粒子与已有粒子间的交互(见上文粗体字部分),因此由系统内部的物理量表述势能应该更为合适;而上文中我们却使用了抽象的外力做功。怎么用更实在的内力功来表现势能呢?

   根据动能定理,粒子动能的变化与内、外力做功和有关;由于始末态粒子动能都为零,因此 $$W_{in} + W_{ext} = \Delta E_k = 0 \Rightarrow W_{in} = -W_{ext}$$ 又因为 $$W_{in} = \int^a_\infty \boldsymbol{\mathbf{F}} _{in} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} l $$ 所以 $$E_p = - \int^a_\infty \boldsymbol{\mathbf{F}} _{in} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} l = \int^\infty_a \boldsymbol{\mathbf{F}} _{in} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} l$$

势能的性质

   我们一直没有明确粒子从无穷远运动至特定位置的具体路径。事实上,由于内力的保守性质(这是我们在开头假定的),保守内力做功的多少与具体路径无关、而只与始末状态有关,因此具体的路径无关紧要。

   换句话说,势能是一种状态量,它与新加入粒子的性质与位置、已有粒子的性质与分布等有关,但与历史无关 (加入粒子的具体路径等)。 $$E_p=E_p( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,...)$$

   尽管此节的标题是 “单一粒子的势能”,但从上文的探讨中,我们已经发现势能实际上源自于粒子与已有粒子的交互。如果只有单一的粒子,势能的概念也就不能存在了。因此,严格地说我们不能说 “单一粒子的势能”。

2. 系统的势能

   那么我们怎么理解系统的势能?运用上一节的经验,系统的势能可以理解为 “组建系统所需要的能量”。

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图 3:组建系统时,将粒子逐个移动至恰当的位置

   假定组成系统的粒子最初都位于无穷远处、且互相相隔无穷远。现在,为了组建系统,我们要将这些粒子一个一个地移动到恰当的位置。

   以此类推,直到我们放置完最后一个粒子后,外力做的总功即转换为系统的势能。 同样的,系统的势能也是一种状态量,它取决于系统中粒子的性质与分布,但与系统的历史(系统曾经历的过程)无关。 $$E_p=E_p(S,...)$$

3. 场的抽象

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图 4:粒子感受到的是场的作用力

   现在,我们认为粒子间的交互是通过场实现的(电场、重力场...)。因此,系统的势能实质上是系统(组成系统的所有粒子)所产生的场的能量。简单地改变上文的用词,我们就能理解这一点:

   现在,我们往已有系统中加入一个新的粒子。这个新粒子最初位于无穷远处,将粒子从无穷远处移动至特定位置时,需要克服已有场的排斥,这就需要额外的外力对粒子做功以克服阻碍。根据我们对机械能定理(能量守恒)的理解,这部分外力的功不能平白无故的消失了,他一定被转换为了场的能量...

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图 5:来自周磊教授的奇妙比喻:粒子是冲浪的人,而场是奔腾的大海。不仅要看到冲浪者的运动(粒子的机械动能),也要看到大海的涌动(场的能量)。虽然从技术上说,这种图景并非完全正确...

1. ^ 本文受安宇的《大学物理》、周磊教授的《电动力学》以及 [25] 的启发。部分图片来自 Pixabay。


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