质点系

                     

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预备知识 牛顿第三定律
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图 1:质点系

   在考虑多个物体构成的系统时,我们有时候可以把每个物体都近似为一个质点,这样我们就得到了由有限个质点构成的系统,简称为质点系或者质点组

1. 内力与外力

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图 2:内力与外力

   令质点系中有 $N$ 个质点,每个质点的受力都可以分为两类,一是系统外界物体给该质点的力,称为外力,二是来自系统内其他质点的力,称为内力。对第 $i$ 个质点,以下将它受到的所有外力和内力之和分别记为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out}$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{in}$,即单个质点的合内力以及合外力,所以单个质点所受的合力为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{in} + \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out}~. \end{equation}

   系统中所有质点所受的合力等于合内力合外力1

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{tot} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \sum_i^N \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{in} + \sum_i^N \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out} = \boldsymbol{\mathbf{F}} _{tot}^{in} + \boldsymbol{\mathbf{F}} _{tot}^{out}~. \end{equation}
若将第 $j$ 个质点对第 $i$ 个质点的内力记为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{j\to i}$ 则上式中
\begin{equation} \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{in} = \sum_{i,j}^{i \ne j} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{j \to i}~. \end{equation}
任意两个质点 $k$ 和 $l$ 对该求和的贡献是一对相互作用力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{k \to l} + \boldsymbol{\mathbf{F}} _{l \to k}$,而根据牛顿第三定律,相互作用力之和为零。所以上式求和为零。所以,质点系中合内力为零,系统所受合力等于合外力
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{tot} = \boldsymbol{\mathbf{F}} _{tot}^{out} = \sum_i^N \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out}~. \end{equation}


1. ^ 角标 “tot” 表示 total。


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