系统的角动量

             

预备知识 角动量 角动量定理 角动量守恒(单个质点),质点系

1. 系统的角动量

   角动量是矢量,若把系统看做质点系,则系统的角动量等于所有质点的角动量矢量相加

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{L}} _i = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _i = \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \end{equation}

例 1 旋转圆环

   在例 1 中,我们知道单个质点做圆周运动的角动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} = m r^2 \omega \boldsymbol{\mathbf{z}} $.现在考虑一个半径为 $r$ 质量为 $M$ 的细圆环绕处于原点的圆心做逆时针圆周运动,每个质点的轨迹就是圆环本身.如果我把圆环看成由许多质点 $m_i$ 组成,每个质点都做上述圆周运动,则总角动量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = \sum_i m_i \omega r^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = M \omega r^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}

2. 角动量的坐标系变换

   可类比力矩的坐标系变换(式 9 ),坐标系 $A$ 中总角动量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} _A = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _i \end{equation}
变换到与 $A$ 相对静止的坐标系 $B$ 中,从 $B$ 原点指向 $A$ 原点的矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA}$,那么总角动量为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} _B = \sum_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai}) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _i = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA} \boldsymbol\times \sum_i \boldsymbol{\mathbf{p}} _i + \boldsymbol{\mathbf{L}} _A \end{equation}
可见当系统总动量为零时,两参考系中计算系统角动量的结果相同.注意由于两参考系相对静止,以上的 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} _i$ 在两参考系中都是相同的.

例 2 旋转圆环 2

   如果我们把例 1 中的旋转圆环平移一下再计算(关于原点)的角动量,根据上述讨论,结果仍然是相同的.这是因为圆环中的每个质点都存在一个反方向运动的质点,圆环的总动量为零.

3. 角动量的质心系分解

   若当前参考系不是质心系,令质心的位置矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c$,速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _c$.每个质点在质心系中的位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci}$,速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci}$,令系统总质量为 $M = \sum_i m_i$,则系统角动量可以表示为

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{L}} &= \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \sum_i m_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _c + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci}) \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _c + \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci})\\ &= \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times (M \boldsymbol{\mathbf{v}} _c) + \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} + \left(\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci} \right) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _c \end{aligned} \end{equation}
根据质心系的性质,最后两项中的求和为零.另外根据式 3 ,$M \boldsymbol{\mathbf{v}} _c$ 就是系统总动量,也相当于所有质量集中于质心获得的动量.所以我们可以把第一项定义所谓的 “质心的角动量”
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} _0 = \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times (M \boldsymbol{\mathbf{v}} _c) \end{equation}
而第二项就是质心系中系统的角动量
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} _c = \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} \end{equation}
所以式 5 可以记为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{L}} _0 + \boldsymbol{\mathbf{L}} _c \end{equation}
所以任何坐标系中,系统的总角动量等于其质心的角动量加上相其相对质心的角动量.注意与上一小节不同的是,我们不要求两个参考系相对静止.

习题 1 旋转圆环 3

   在例 2 的基础上,如果圆环一边旋转,圆心一边以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 做匀速直线运动,直线与当前原点距离为 $d$,求系统的总角动量.角动量是否守恒?

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