贡献者： addis
预备知识 质点系，角动量、角动量定理、角动量守恒（单个质点）
1. 系统的角动量
角动量是矢量，若把系统看做质点系，则系统的角动量等于所有质点的角动量矢量相加。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{L}} _i = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _i = \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _i~.
\end{equation}
例 1 旋转圆环
在例 1 中，我们知道单个质点做圆周运动的角动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} = m r^2 \omega \boldsymbol{\mathbf{z}} $。现在考虑一个半径为 $r$ 质量为 $M$ 的细圆环绕处于原点的圆心做逆时针圆周运动，每个质点的轨迹就是圆环本身。如果我把圆环看成由许多质点 $m_i$ 组成，每个质点都做上述圆周运动，则总角动量为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = \sum_i m_i \omega r^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = M \omega r^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
2. 角动量的坐标系变换
可类比力矩的坐标系变换（式 9 ），坐标系 $A$ 中总角动量为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} _A = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _i ~.
\end{equation}
变换到与 $A$
相对静止的坐标系 $B$ 中，从 $B$ 原点指向 $A$ 原点的矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA}$，那么总角动量为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} _B = \sum_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai}) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _i = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA} \boldsymbol\times \sum_i \boldsymbol{\mathbf{p}} _i + \boldsymbol{\mathbf{L}} _A~.
\end{equation}
可见当系统总动量为零时，两参考系中计算系统角动量的结果相同。注意由于两参考系相对静止，以上的 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} _i$ 在两参考系中都是相同的。
例 2 旋转圆环 2
如果我们把例 1 中的旋转圆环平移一下再计算（关于原点）的角动量，根据上述讨论，结果仍然是相同的。这是因为圆环中的每个质点都存在一个反方向运动的质点，圆环的总动量为零。
3. 角动量的质心系分解
若当前参考系不是质心系，令质心的位置矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c$，速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _c$。每个质点在质心系中的位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci}$，速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci}$，令系统总质量为 $M = \sum_i m_i$，则系统角动量可以表示为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{L}} &= \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \sum_i m_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _c + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci}) \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _c + \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci})\\
&= \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times (M \boldsymbol{\mathbf{v}} _c) + \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} + \left(\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci} \right) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _c~.
\end{aligned}
\end{equation}
根据质心系的性质，最后两项中的求和为零。另外根据
式 3 ，$M \boldsymbol{\mathbf{v}} _c$ 就是系统总动量，也相当于所有质量集中于质心获得的动量。所以我们可以把第一项定义所谓的 “质心的角动量”
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} _0 = \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times (M \boldsymbol{\mathbf{v}} _c)~.
\end{equation}
而第二项就是质心系中系统的角动量
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} _c = \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci}~,
\end{equation}
所以
式 5 可以记为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{L}} _0 + \boldsymbol{\mathbf{L}} _c~.
\end{equation}
所以
任何坐标系中，系统的总角动量等于其质心的角动量加上相其相对质心的角动量。注意与上一小节不同的是，我们不要求两个参考系相对静止。
习题 1 旋转圆环 3
在例 2 的基础上，如果圆环一边旋转，圆心一边以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 做匀速直线运动，直线与当前原点距离为 $d$，求系统的总角动量。角动量是否守恒？
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