质点系的动量

             

预备知识 动量 动量定理(单个质点),质心 质心系

   质点系的总动量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \sum_i m_i \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_i = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \end{equation}
由质心的定义(式 6
\begin{equation} \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i = M \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c$ 为质心的位置,$M = \sum_i m_i$ 为质点系的总质量.两边对时间求导并代入式 1
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = M \boldsymbol{\mathbf{v}} _c \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _c = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_c$ 是质心的速度.

   式 3 告诉我们一个重要的结论:在求一个系统的总动量时,我们可以把它等效为其质心处具有相同质量的质点

例 1 滚动的圆盘

   一个质量为 $M$ 圆盘在地面延直线滚动,圆心的速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $.若将其分割为许多小份,使用 $\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$(或者用积分形式)求总动量会比较麻烦.但如果直接用式 3 ,我们可以马上写出它的总动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = M \boldsymbol{\mathbf{v}} $,甚至不需要知道它的半径和角速度,也不需要知道它和地面是否存在打滑.

   通过式 3 也可以直观地得出:质心参考系中系统的总动量为零.

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