线性方程组的解

                     

贡献者： ACertainUser; addis; Giacomo

　　 线性方程组

可以记为 或者增广矩阵 $\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}\mid \mathbf{b}\end{array}\right)$；其中 $\mathbf{A}$ 是 $M\times N$ 的矩阵，$\mathbf{x}$ 是 $N$ 维列矢量，$\mathbf{b}$ 是 $M$ 维列矢量，$\mathbf{A}\mathbf{x}$ 表示矩阵与列矢量相乘（式 8 ）。$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{b}$ 是已知的，$\mathbf{x}$ 是未知的，被称为方程组的解（solution）。

　　 线性方程组可以有零个解（无解）、一个解（唯一解）或无数解；但不可能只有 $2,3,4,\dots$ 个解。

1. 线性方程组的几何含义

　　 可以分别从行与列的角度来理解线性方程组的几何含义。¹更深刻、数学的表示可以见线性方程组的仿射解释。

行视角

　　 线性方程组

的每一行方程的解集是 $N$ 维空间中的 $N-1$ 维子空间，称为超平面（比如二维空间中的超平面就是直线，三维空间中的超平面是通常的平面等），方程组的解就是这些超平面的交集。

　　 从这个角度可以很直观的理解 “无解”、“无数解”。很显然，一组直线不能仅有两个交点，所以线性方程组也不可能只有两个解。

　　 另一方面，从用分块矩阵的视角，我们可以将 $\mathbf{A}$ 划分为 $M$ 个 $N$ 维行向量 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_M$， $$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\iff \left(\begin{array}{c}{\mathit{\alpha }}_1\\ {\mathit{\alpha }}_2\\ ⋮\\ {\mathit{\alpha }}_M\end{array}\right)\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_M\end{array}\right)\iff \{\begin{array}{ll}{b}_1& ={\mathit{\alpha }}_1\mathbf{x}\\ b_2& ={\mathit{\alpha }}_2\mathbf{x}\\ & ⋮\\ b_M& ={\mathit{\alpha }}_M\mathbf{x}\end{array}$$ 这样表述更加简洁。

列视角

　　 运用分块矩阵的视角，将 $\mathbf{A}$ 划分为 $N$ 个 $M$ 维列向量 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots {\mathit{\alpha }}_N$， $$\begin{array}{rl}\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}& \iff \left(\begin{array}{cccc}{\mathit{\alpha }}_1& {\mathit{\alpha }}_2& \cdots & {\mathit{\alpha }}_N\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_N\end{array}\right)=\mathbf{b}\\ & \iff {\mathit{\alpha }}_1{x}_1+{\mathit{\alpha }}_2{x}_2+\cdots +{\mathit{\alpha }}_N{x}_N=\mathbf{b}\end{array}$$ 此时，$\mathbf{b}$ 可以看作是一系列 ${\mathit{\alpha }}_i$ 的线性组合，而解 $\mathbf{x}$ 是各个列向量的 “系数”。方程组无解的含义即为 “$\mathbf{b}$ 不能由 ${\mathit{\alpha }}_i$ 线性组合得到”，无数解的含义即为 “有无数种方法线性组合 ${\mathit{\alpha }}_i$ 以得到 $\mathbf{b}$”，这暗示了这一系列 ${\mathit{\alpha }}_i$ 中存在线性相关的项。

　　 看起来，在线性方程组中，矩阵 $\mathbf{A}$ 的行向量与列向量存在一种微妙的关联。

2. 判断线性方程组解的个数

　　

　　 关于线性方程组的解，我们有如下定理。记 m 为 $\mathbf{A}$ 的行数，n 为 $\mathbf{A}$ 的列数，r 为 $\mathbf{A}$ 的矩阵的秩。可参考图 4 的分类。

　　 n-r 事实上是 $\mathbf{A}$ 的零空间的基个数 $\dim (\mathrm{Nul}(\mathbf{A}))=n-r$。

　　 m-r 事实上是 $\mathbf{A}$ 的左零空间的基个数 $dim(Nul({\mathbf{A}}^T))=m-r$。

　　 由列视角（子节 1 ）看，这是显然的。

　　 考虑到秩的含义，结合上述定理，也容易理解该推论。

　　 这（n-r）个解即为零空间的（n-r）个基。

　　 更深入的探讨详见下文：

　　 从矢量空间的角度来看，$\mathbf{x}$ 是一个 $N$ 维矢量空间（以下称为 $X$ 空间）中一个矢量关于某组基底的坐标，$\mathbf{b}$ 是一个 $M$ 维矢量空间（以下称为 $Y$ 空间）中一个矢量关于某组基底的坐标。矩阵 $\mathbf{A}$ 可以将 $X$ 空间中的任意矢量映射到 $Y$ 后的坐标。

　　 我们知道 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 列代表的矢量就是 $X$ 空间中的第 $i$ 个基底映射到 $Y$ 空间的对应矢量。我们把 $A$ 的 $N$ 列对应的 $N$ 个矢量记为 $\{{\mathit{\alpha }}_i\}$。先来看一个定理

3. 满秩方阵

　　 我们知道矩阵的秩 $R$ 等于线性无关的行数或列数，下面来根据秩来分类讨论方程组的解空间结构。最简单的情况是 $\mathbf{A}$ 为满秩，即 $R=M=N$。这时由于 $\{{\mathit{\alpha }}_i\}$ 两两线性无关，它们可以作为 $Y$ 空间的一组基底，与 $X$ 空间的基底一一对应。那么这个映射既是单射又是满射。对于 $Y$ 空间的任意矢量 $\mathbf{b}$，$X$ 空间都存在唯一的解 $\mathbf{x}$。特殊地，当 $\mathbf{b}=\mathbf{0}$ 时（即方程是齐次的），唯一解就是 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$。

4. $R=M<N$

　　 当 $\mathbf{A}$ 的秩等于 $M$ 且小于 $N$ 时，映射变为从 $N$ 维空间到更小的 $M$ 维空间。即非单射：虽然任意的 $\mathbf{x}$ 仍然映射到唯一的 $\mathbf{b}$，但任意的 $\mathbf{b}$ 却对应无穷多个 $\mathbf{x}$。

　　

当方程是齐次的时候，零空间 $X_0$ 是 $N-M$ 维的（为什么？）。这种情况下，我们希望能解出零空间的 $N-M$ 个基底，使得这组基底的任意线性组合都是齐次方程的解。

　　 对于非齐次方程，我们可以先求对应的齐次方程组的零空间的一组基底，再求出非齐次方程的任意一个解（特解），那么非齐次方程组的解集（所有解的集合）就等于零空间中的所有矢量与特解相加。注意非齐次方程的解集并不构成一个矢量空间，因为它不包含零矢量（$\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 总是对应 $\mathbf{b}=\mathbf{0}$，所以不可能是非齐次方程组的解），解集中若干矢量的线性组合也不一定仍然属于解集。

5. $R<M$

　　 当 $R<M$ 时，$\{{\mathit{\alpha }}_i\}$ 中只有 $R$ 个线性无关，它们在 $Y$ 空间中张成一个 $R$ 维子空间 $Y_0$。如果 $\mathbf{b}$ 在 $Y_0$ 中（可以通过 $\mathbf{b}$ 是否与 $\{{\mathit{\alpha }}_i\}$ 线性无关来判断），方程组就存在解，如果落在子空间外，方程组就无解。

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1. ^ 本文参考了 Gilbert Strang 的《线性代数》课程，J. Leon 的 Linear Algebra with Applications，以及李永乐等的线代考研课程
2. ^ 另见 “线性变换与矩阵的代数关系” 的 定理 2 。