线性方程组解的结构

             

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预备知识 矩阵与线性变换,高斯消元法,矩阵的秩

   线性方程组可以记为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{y}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是 $M \times N$ 的矩阵,$ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是 $N$ 维列矢量,$ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 是 $M$ 维列矢量,$ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 表示矩阵与列矢量相乘(式 4 ).$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 是已知的,$ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是未知的,被称为方程组的解(solution)

   从矢量空间的角度来看,$ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是一个 $N$ 维矢量空间(以下称为 $X$ 空间)中一个矢量关于某组基底的坐标,$ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 是一个 $M$ 维矢量空间(以下称为 $Y$ 空间)中一个矢量关于某组基底的坐标.矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 可以将 $X$ 空间中的任意矢量映射到 $Y$ 后的坐标.

   我们知道 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的第 $i$ 列代表的矢量就是 $X$ 空间中的第 $i$ 个基底映射到 $Y$ 空间的对应矢量.我们把 $A$ 的 $N$ 列对应的 $N$ 个矢量记为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i\}$.先来看一个定理

1. 满秩方阵

   我们知道矩阵的秩 $R$ 等于线性无关的行数或列数,下面来根据秩来分类讨论方程组的解空间结构.最简单的情况是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为满秩,即 $R = M = N$.这时由于 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i\}$ 两两线性无关,它们可以作为 $Y$ 空间的一组基底,与 $X$ 空间的基底一一对应.那么这个映射既是单射又是满射.对于 $Y$ 空间的任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $,$X$ 空间都存在唯一的解 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $.特殊地,当 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 时(即方程是齐次的),唯一解就是 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $.

2. $R = M < N$

   当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的秩等于 $M$ 且小于 $N$ 时,映射变为从 $N$ 维空间到更小的 $M$ 维空间.即非单射:虽然任意的 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 仍然映射到唯一的 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $,但任意的 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 却对应无穷多个 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $.

   当方程是齐次的时候,零空间(定理 2 )$X_0$ 是 $N- M$ 维的(为什么?).这种情况下,我们希望能解出零空间的 $N - M$ 个基底,使得这组基底的任意线性组合都是齐次方程的解.

   对于非齐次方程,我们可以先求对应的齐次方程组的零空间的一组基底,再求出非齐次方程的任意一个解(特解),那么非齐次方程组的解集(所有解的集合)就等于零空间中的所有矢量与特解相加.注意非齐次方程的解集并不构成一个矢量空间,因为它不包含零矢量($ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 总是对应 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $,所以不可能是非齐次方程组的解),解集中若干矢量的线性组合也不一定仍然属于解集.

未完成:证明

3. $R < M$

   当 $R < M$ 时,$\{ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i\}$ 中只有 $R$ 个线性无关,它们在 $Y$ 空间中张成一个 $R$ 维子空间 $Y_0$.如果 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 在 $Y_0$ 中(可以通过 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 是否与 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i\}$ 线性无关来判断),方程组就存在解,如果落在子空间外,方程组就无解.

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