线性方程组的解

                     

贡献者： ACertainUser; addis; Giacomo

　　 线性方程组

可以记为 或者增广矩阵 $ \begin{pmatrix} \boldsymbol{\mathbf{A}} \mid \boldsymbol{\mathbf{b}} \end{pmatrix} $；其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是 $M \times N$ 的矩阵，$ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是 $N$ 维列矢量，$ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 是 $M$ 维列矢量，$ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 表示矩阵与列矢量相乘（式 5 ）。$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 是已知的，$ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是未知的，被称为方程组的解（solution）。

　　 线性方程组可以有零个解（无解）、一个解（唯一解）或无数解；但不可能只有 $2,3,4,\dots$ 个解。

1. 线性方程组的几何含义

　　 可以分别从行与列的角度来理解线性方程组的几何含义。¹更深刻、数学的表示可以见线性方程组的仿射解释。

行视角

　　 线性方程组

的每一行方程的解集是 $N$ 维空间中的 $N-1$ 维子空间，称为超平面（比如二维空间中的超平面就是直线，三维空间中的超平面是通常的平面等），方程组的解就是这些超平面的交集。

　　 从这个角度可以很直观的理解 “无解”、“无数解”。很显然，一组直线不能仅有两个交点，所以线性方程组也不可能只有两个解。

　　 另一方面，从用分块矩阵的视角，我们可以将 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 划分为 $M$ 个 $N$ 维行向量 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1, \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _M$， $$ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1 \\ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2 \\ \vdots \\ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _M \end{pmatrix} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_M \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{cases} b_1 &= \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1 \boldsymbol{\mathbf{x}} \\ b_2 &= \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2 \boldsymbol{\mathbf{x}} \\ &\vdots \\ b_M &= \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _M \boldsymbol{\mathbf{x}} \end{cases}~ $$ 这样表述更加简洁。

列视角

　　 运用分块矩阵的视角，将 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 划分为 $N$ 个 $M$ 维列向量 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1, \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2, \cdots \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _N$， $$ \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1 & \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2 & \cdots & \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _N \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{N} \end{pmatrix} = \boldsymbol{\mathbf{b}} \\ &\Leftrightarrow \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1 x_1 + \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2 x_2 + \cdots + \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _N x_N = \boldsymbol{\mathbf{b}} \end{aligned} ~ $$ 此时，$ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 可以看作是一系列 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i$ 的线性组合，而解 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是各个列向量的 “系数”。方程组无解的含义即为 “$ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 不能由 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i$ 线性组合得到”，无数解的含义即为 “有无数种方法线性组合 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i$ 以得到 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $”，这暗示了这一系列 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i$ 中存在线性相关的项。

　　 看起来，在线性方程组中，矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的行向量与列向量存在一种微妙的关联。

2. 判断线性方程组解的个数

　　

　　 关于线性方程组的解，我们有如下定理。记 m 为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的行数，n 为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的列数，r 为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的矩阵的秩。可参考图 4 的分类。

　　 n-r 事实上是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的零空间的基个数 $ \operatorname {dim}( \operatorname {Nul}( \boldsymbol{\mathbf{A}} ))=n-r$。

　　 m-r 事实上是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的左零空间的基个数 $dim(Nul( \boldsymbol{\mathbf{A}} ^T))=m-r$。

　　 由列视角（子节 1 ）看，这是显然的。

　　 考虑到秩的含义，结合上述定理，也容易理解该推论。

　　 这（n-r）个解即为零空间的（n-r）个基。

　　 更深入的探讨详见下文：

　　 从矢量空间的角度来看，$ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是一个 $N$ 维矢量空间（以下称为 $X$ 空间）中一个矢量关于某组基底的坐标，$ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 是一个 $M$ 维矢量空间（以下称为 $Y$ 空间）中一个矢量关于某组基底的坐标。矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 可以将 $X$ 空间中的任意矢量映射到 $Y$ 后的坐标。

　　 我们知道 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的第 $i$ 列代表的矢量就是 $X$ 空间中的第 $i$ 个基底映射到 $Y$ 空间的对应矢量。我们把 $A$ 的 $N$ 列对应的 $N$ 个矢量记为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i\}$。先来看一个定理

3. 满秩方阵

　　 我们知道矩阵的秩 $R$ 等于线性无关的行数或列数，下面来根据秩来分类讨论方程组的解空间结构。最简单的情况是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为满秩，即 $R = M = N$。这时由于 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i\}$ 两两线性无关，它们可以作为 $Y$ 空间的一组基底，与 $X$ 空间的基底一一对应。那么这个映射既是单射又是满射。对于 $Y$ 空间的任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $，$X$ 空间都存在唯一的解 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $。特殊地，当 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 时（即方程是齐次的），唯一解就是 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $。

4. $R = M < N$

　　 当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的秩等于 $M$ 且小于 $N$ 时，映射变为从 $N$ 维空间到更小的 $M$ 维空间。即非单射：虽然任意的 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 仍然映射到唯一的 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $，但任意的 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 却对应无穷多个 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $。

　　

当方程是齐次的时候，零空间 $X_0$ 是 $N- M$ 维的（为什么？）。这种情况下，我们希望能解出零空间的 $N - M$ 个基底，使得这组基底的任意线性组合都是齐次方程的解。

　　 对于非齐次方程，我们可以先求对应的齐次方程组的零空间的一组基底，再求出非齐次方程的任意一个解（特解），那么非齐次方程组的解集（所有解的集合）就等于零空间中的所有矢量与特解相加。注意非齐次方程的解集并不构成一个矢量空间，因为它不包含零矢量（$ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 总是对应 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，所以不可能是非齐次方程组的解），解集中若干矢量的线性组合也不一定仍然属于解集。

5. $R < M$

　　 当 $R < M$ 时，$\{ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i\}$ 中只有 $R$ 个线性无关，它们在 $Y$ 空间中张成一个 $R$ 维子空间 $Y_0$。如果 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 在 $Y_0$ 中（可以通过 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 是否与 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i\}$ 线性无关来判断），方程组就存在解，如果落在子空间外，方程组就无解。

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1. ^ 本文参考了 Gilbert Strang 的《线性代数》课程，J. Leon 的 Linear Algebra with Applications，以及李永乐等的线代考研课程
2. ^ 另见 “线性变换与矩阵的代数关系” 的 定理 2 。