线性方程组与增广矩阵

                     

贡献者: Giacomo; addis

  • 本文处于草稿阶段。
预备知识 线性方程组(高中)

1. 增广矩阵

   下面我们从线性代数(矩阵)的角度理解线性方程组。

   考虑 $m$ 个 $n$ 元一次方程构成的线性方程组:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} a_{1 1} x_1 + a_{1 2} x_2 + \dots + a_{1 n} x_n &= y_1, \\ a_{2 1} x_1 + a_{2 2} x_2 + \dots + a_{2 n} x_n &= y_2, \\ \vdots \\ a_{m 1} x_1 + a_{m 2} x_2 + \dots + a_{m n} x_n &= y_m~. \end{aligned}\right. \end{equation}

   我们可以把他改写成矩阵与列向量的等式:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} ~, \end{equation}

   其中

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} & \dots & a_{1 n} \\ a_{2 1} & a_{2 2} & \dots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{pmatrix} , \boldsymbol{\mathbf{b}} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix} ~. \end{equation}

   更近一步的,我们会使用增广矩阵 $ \begin{pmatrix} \boldsymbol{\mathbf{A}} \mid \boldsymbol{\mathbf{b}} \end{pmatrix} $,即

\begin{equation} \left[{\begin{array}{cccc|c} a_{1 1} & a_{1 2} & \dots & a_{1 n} & y_1 \\ a_{2 1} & a_{2 2} & \dots & a_{2 n} & y_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & y_m \end{array}}\right]~ \end{equation}
来表示一个线性方程组。

   如果 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 我们就称方程组为其次方程(组)。

2. 超定、恰定、不定方程组

   我们称 $m$ 个 $n$ 元一次方程构成的线性方程组为

  1. 超定的(overdetermined),如果 $m > n$;
  2. 恰定的,如果 $m = n$;
  3. 不定的/欠定的(underdetermined),如果 $m < n$;

  

未完成:线性方程组的解


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