贡献者: addis
下面我们从线性映射和向量空间的角度理解线性方程组 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} $。
首先注意 $A$ 未必把 $Y$ 中的每个元素都射中,即值空间 $Y_1 = A(X) \subseteq Y$ 只是 $Y$ 的一个子空间。所以只有 $b \in Y_1$ 时式 1 有解,否则无解(解集为空集)。用映射的语言,解集 $X_s$ 就是集合 $ \left\{b \right\} $ 的逆像 $A^{-1}( \left\{b \right\} )$。
当式 1 中 $b = 0$ 时方程叫做算符 $A$ 的齐次方程。根据定义,齐次方程的解就是映射的零空间(定理 2 )。
说明:$X_0 + x_1$ 表示把 $X_0$ 中的每一个向量与 $x_1$ 相加得到的集合。易证当 $x_1 \ne 0$ 时解集 $X_s$ 不是一个向量空间(例如不存在零向量)。
首先证明集合 $X_0 + x_1$ 中的元素满足 $Ax = b$。令任意 $x_0 \in X_0$
到此为止我们就可以非常清晰地勾画出多对一线性映射的结构了 $A:X\to Y$。我们先找到定理 1 中的零空间 $X_0$ 和它的补空间 $X_1$,其中 $X_1$ 的元素和值域空间 $Y_1 = A(X)$ 一一对应。那么对每个 $x_1 \in X_1$,线性映射就会把集合 $x_1 + X_0$ 所有元素映射到 $Y_1$ 中的同一个元素 $y_1 = Ax_1$ 上。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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