线性映射的结构 2

             

预备知识 线性映射的结构,线性方程组

   下面我们从线性映射和向量空间的角度理解线性方程组 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} $.

定义 1 线性方程

   对给定的线性映射 $A:X\to Y$ 和 $b \in Y$,线性方程

\begin{equation} Ax = b \end{equation}
所有满足该式的 $x \in X$ 的集合 $X_s$ 叫做方程的解集

   首先注意 $A$ 未必把 $Y$ 中的每个元素都射中,即值空间 $Y_1 = A(X) \subseteq Y$ 只是 $Y$ 的一个子空间.所以只有 $b \in Y_1$ 时式 1 有解,否则无解(解集为空集).用映射的语言,解集 $X_s$ 就是集合 $ \left\{b \right\} $ 的逆像 $A^{-1}( \left\{b \right\} )$.

   当式 1 中 $b = 0$ 时方程叫做算符 $A$ 的齐次方程.根据定义,齐次方程的解就是映射的零空间(定理 2 ).

定理 1 

   线性方程式 1 的解集可以表示为

\begin{equation} X_s = X_0 + x_1 \end{equation}
其中 $x_1$ 为 $X_s$ 中的任意元素, $X_0$ 为映射的零空间.

   说明:$X_0 + x_1$ 表示把 $X_0$ 中的每一个向量与 $x_1$ 相加得到的集合.易证当 $x_1 \ne 0$ 时解集 $X_s$ 不是一个向量空间(例如不存在零向量).

   首先证明集合 $X_0 + x_1$ 中的元素满足 $Ax = b$.令任意 $x_0 \in X_0$

\begin{equation} A(x_0 + x_1) = Ax_0 + Ax_1 = 0 + b = b \end{equation}
证毕.再来证明解集中不存在 $X_0 + x_1$ 之外的向量.令 $x_2 \in X_S$ 且 $x_2 \ne x_1$,那么
\begin{equation} A(x_2 - x_1) = Ax_2 - Ax_1 = b - b = 0 \end{equation}
即 $x_2 - x_1 \in X_0$,即 $x_2 \in x_1 + X_0$.证毕.

1. 线性映射的结构

   到此为止我们就可以非常清晰地勾画出多对一线性映射的结构了 $A:X\to Y$.我们先找到定理 1 中的零空间 $X_0$ 和它的补空间 $X_1$,其中 $X_1$ 的元素和值域空间 $Y_1 = A(X)$ 一一对应.那么对每个 $x_1 \in X_1$,线性映射就会把集合 $x_1 + X_0$ 所有元素映射到 $Y_1$ 中的同一个元素 $y_1 = Ax_1$ 上.

  

未完成:需要一个 3 维几何向量空间的真实例子,零空间 1 维,补空间 2 维

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