线性方程组与增广矩阵

贡献者： Giacomo; addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　线性方程组（高中）

1. 增广矩阵

　　下面我们从线性代数（矩阵）的角度理解线性方程组。

　　考虑 $m$ 个 $n$ 元一次方程构成的线性方程组：

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} & = y_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} & = y_{2}, \\ ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} & = y_{m} . \end{aligned} \end{matrix}

　　我们可以把他改写成矩阵与列向量的等式：

\begin{matrix} (2) & A x = b, \end{matrix}

　　其中

\begin{matrix} (3) & A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{m} \end{matrix}) . \end{matrix}

　　更近一步的，我们会使用增广矩阵 $(\begin{matrix} A ∣ b \end{matrix})$ ，即

\begin{matrix} (4) & [\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & y_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & y_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & y_{m} \end{array}] \end{matrix}

来表示一个线性方程组。

　　如果 $b = 0$ 我们就称方程组为齐次方程（组）。

2. 超定、恰定、不定方程组

　　我们称 $m$ 个 $n$ 元一次方程构成的线性方程组为

超定的（overdetermined），如果 $m > n$ ；
恰定的，如果 $m = n$ ；
不定的/欠定的（underdetermined），如果 $m < n$ ；

未完成：线性方程组的解

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