线性映射的结构 2
贡献者： addis
下面我们从线性映射和向量空间的角度理解线性方程组 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} $。
定义 1 线性方程
对给定的线性映射 $A:X\to Y$ 和 $b \in Y$，线性方程为
\begin{equation}
Ax = b
\end{equation}
所有满足该式的 $x \in X$ 的集合 $X_s$ 叫做方程的
解集。
首先注意 $A$ 未必把 $Y$ 中的每个元素都射中，即值空间 $Y_1 = A(X) \subseteq Y$ 只是 $Y$ 的一个子空间。所以只有 $b \in Y_1$ 时式 1 有解，否则无解（解集为空集）。用映射的语言，解集 $X_s$ 就是集合 $ \left\{b \right\} $ 的逆像 $A^{-1}( \left\{b \right\} )$。
当式 1 中 $b = 0$ 时方程叫做算符 $A$ 的齐次方程。根据定义，齐次方程的解就是映射的零空间（定理 2 ）。
定理 1
线性方程式 1 的解集可以表示为
\begin{equation}
X_s = X_0 + x_1
\end{equation}
其中 $x_1$ 为 $X_s$ 中的任意元素， $X_0$ 为映射的零空间。
说明：$X_0 + x_1$ 表示把 $X_0$ 中的每一个向量与 $x_1$ 相加得到的集合。易证当 $x_1 \ne 0$ 时解集 $X_s$ 不是一个向量空间（例如不存在零向量）。
首先证明集合 $X_0 + x_1$ 中的元素满足 $Ax = b$。令任意 $x_0 \in X_0$
\begin{equation}
A(x_0 + x_1) = Ax_0 + Ax_1 = 0 + b = b
\end{equation}
证毕。再来证明解集中不存在 $X_0 + x_1$ 之外的向量。令 $x_2 \in X_S$ 且 $x_2 \ne x_1$，那么
\begin{equation}
A(x_2 - x_1) = Ax_2 - Ax_1 = b - b = 0
\end{equation}
即 $x_2 - x_1 \in X_0$，即 $x_2 \in x_1 + X_0$。证毕。
1. 线性映射的结构
到此为止我们就可以非常清晰地勾画出多对一线性映射的结构了 $A:X\to Y$。我们先找到定理 1 中的零空间 $X_0$ 和它的补空间 $X_1$，其中 $X_1$ 的元素和值域空间 $Y_1 = A(X)$ 一一对应。那么对每个 $x_1 \in X_1$，线性映射就会把集合 $x_1 + X_0$ 所有元素映射到 $Y_1$ 中的同一个元素 $y_1 = Ax_1$ 上。
未完成：需要一个 3 维几何向量空间的真实例子，零空间 1 维，补空间 2 维
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