高斯消元法求逆矩阵
贡献者： addis
对可逆矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 做行变换相当于左乘一个矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $。假设某种行变换能使 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 变为单位矩阵，即
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{M}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} ~.
\end{equation}
那么根据定义 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 就是 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的逆矩阵即 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{M}} ^{-1}$。利用这个性质，我们可以同时对 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 做相同的行变换，当 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 变为单位矩阵后，$ \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 就变为 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ^{-1}$：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{M}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} ~,
\qquad
\boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} = \boldsymbol{\mathbf{M}} ^{-1}~.
\end{equation}
注意 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 可逆当且仅当它是一个满秩矩阵，即每行都线性无关的方阵。
例 1 求逆矩阵
求矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} = \begin{pmatrix}1 & 4 \\ 2 & 9\end{pmatrix} $ 的逆矩阵。
解：先并列写出 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 和单位矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $，以下所有行变换都对两个矩阵同时进行
\begin{equation}
\begin{pmatrix}1 & 4 \\ 2 & 9\end{pmatrix} ~, \qquad \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
第一行乘 $-2$ 加到第二行得
\begin{equation}
\begin{pmatrix}1 & 4 \\ 0 & 1\end{pmatrix} ~,\qquad \begin{pmatrix}1 & 0\\ -2 & 1\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
第二行乘 $-4$ 加到第一行得
\begin{equation}
\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} ~,\qquad \begin{pmatrix}9 & -4\\ -2 & 1\end{pmatrix} `.
\end{equation}
所以 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ^{-1} = \begin{pmatrix}9 & -4\\ -2 & 1\end{pmatrix} $。
同理，我们也可以把上文中所有行变换改为列变换，列变换相当于把矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 右乘一个矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} ~,
\qquad
\boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{M}} ^{-1}~.
\end{equation}
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