高斯消元法求逆矩阵

             

预备知识 高斯消元法解线性方程组,逆矩阵

   对可逆矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 做行变换相当于左乘一个矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $.假设某种行变换能使 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 变为单位矩阵,即

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{M}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} \end{equation}
那么根据定义 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 就是 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的逆矩阵即 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{M}} ^{-1}$.利用这个性质,我们可以同时对 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 做相同的行变换,当 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 变为单位矩阵后,$ \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 就变为 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ^{-1}$:
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{M}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} \qquad \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} = \boldsymbol{\mathbf{M}} ^{-1} \end{equation}
注意 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 可逆当且仅当它是一个满秩矩阵,即每行都线性无关的方阵.

例 1 求逆矩阵

   求矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} = \begin{pmatrix}1 & 4 \\ 2 & 9\end{pmatrix} $ 的逆矩阵.

   解:先并列写出 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 和单位矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $,以下所有行变换都对两个矩阵同时进行

\begin{equation} \begin{pmatrix}1 & 4 \\ 2 & 9\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{equation}
第一行乘 $-2$ 加到第二行得
\begin{equation} \begin{pmatrix}1 & 4 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}1 & 0\\ -2 & 1\end{pmatrix} \end{equation}
第二行乘 $-4$ 加到第一行得
\begin{equation} \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}9 & -4\\ -2 & 1\end{pmatrix} \end{equation}
所以 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ^{-1} = \begin{pmatrix}9 & -4\\ -2 & 1\end{pmatrix} $.

   同理,我们也可以把上文中所有行变换改为列变换,列变换相当于把矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 右乘一个矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} \qquad \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{M}} ^{-1} \end{equation}

习题 1 

   用列变换的方法求例 1 中的逆矩阵.

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