线性方程组的仿射解释

                     

贡献者: 零穹

预备知识 仿射子空间,线性方程组

   在解释线性方程组的仿射几何意义前,先总结一下矩阵和矢量观点下的意义.

   一般的线性方程组具有如下形式:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n\;\;\;=y_1\\ &a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n\;\;\;=y_2\\ &\qquad \qquad \dots \qquad \dots \qquad \dots\\ &a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n=y_m \end{aligned}\right. \\ \end{equation}
写成矩阵形式则为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{y}} \end{equation}
其中
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} =\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix} ,\quad \boldsymbol{\mathbf{x}} =\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{pmatrix} ,\quad \boldsymbol{\mathbf{y}} =\begin{pmatrix} y_1\\y_2\\\vdots\\y_n \end{pmatrix} \end{equation}
矢量观点下,式 1 又可写为
\begin{equation} \sum_{i=1}^n x_ia_i=y \end{equation}
其中
\begin{equation} a_i=(a_{1i},a_{2i},\cdots,a_{mi})^T,\quad y=(y_1,y_2,\cdots,y_m)^T \end{equation}

   在矩阵观点下,线性方程组式 2 有解,当且仅当 $\mathrm{rank}\; \boldsymbol{\mathbf{A}} =\mathrm{rank}\;( \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$.这里,$( \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$ 是在矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 后再添上一列 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 构成的矩阵,即 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的增广矩阵.$\mathrm{rank}\; \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 表 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的秩.在有解的情况下,线性方程组的解构成的集合为 $X_s= X_0+x_1 $,其中 $X_0$ 为对应齐次方程组的通解,$x_1$ 是任一特解(定理 1 ).

   在矢量观点下,线性方程组式 4 有解,当且仅当矢量 $y$ 可被矢量组 $\{a_1,\cdots,a_n\}$ 线性表示;也可理解为 $y$ 在 $a_1,\cdots,a_n$ 生成的张成空间当中,即 $y\in\langle a_1,\cdots,a_n\rangle$.

   在以上解释中,并没有把线性方程组与通常观点下的几何对象(点线面)联系起来.当然,在矩阵理论和矢量空间里,还没有引入点的概念,要将线性方程组与几何对象联系起来,需要在仿射空间当中去完成.在此之前先说明几个必要的概念.

1. 仿射线性函数

   在仿射线性映射定义(定义 3 )中,若 $\mathbb A'=\mathbb F$,$Df$ 是 $V$ 上的线性函数,则仿射线性映射称之为仿射线性函数

定义 1 仿射线性函数

   设 $(\mathbb A,V)$ 是域 $\mathbb {F}$ 上的仿射空间,称 $f:\mathbb A\rightarrow \mathbb F$ 是个仿射线性函数,如果

\begin{equation} f(\dot p+v)=f(\dot p)+Df\cdot v\quad\forall \dot p\in\mathbb A,v\in V \end{equation}
其中 $Df$ 是 $V$ 上的一个线性函数,称为 $f$ 的线性部分(或微商).

   如此一来,线性部分为零的仿射线性函数对应常值仿射线性函数

定理 1 

   $f:\mathbb A\rightarrow \mathbb F$ 是仿射线性函数,当且仅当在坐标系 $\{\dot o;e_1,\cdots,e_n\}$ 下,对 $\forall \dot p\in \mathbb A$,有

\begin{equation} f(\dot p)=\sum_{i=1}^n\alpha_ix_i+\alpha_0 \end{equation}
其中 $\alpha_0=f(\dot o),\alpha_i=Df\cdot e_i$,$x_1,\cdots,x_n$ 是点 $\dot p$ 坐标.

   证明:1. $\Rightarrow$

\begin{equation} f(\dot p)=f(\dot o+\vec{op})=f(\dot o)+Df\cdot \vec{op}=\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i+\alpha_0 \end{equation}

   2. $\Leftarrow$

   设 $v=\sum\limits_{i=1}^n v_ie_i$,于是由定理 3 第 2 条,$\dot p+v$ 的坐标为 $x_i+v_i,i=1,\cdots ,n$.由式 7 ,有

\begin{equation} \begin{aligned} f(\dot p+v)&=\sum_{i=1}^n\alpha_i(x_i+v_i)+\alpha_0= \left(\sum_{i=1}^n\alpha_i x_i+\alpha_0 \right) +\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i\\ &=f(\dot p)+Df\cdot v \end{aligned} \end{equation}

   证毕!

2. 线性方程组的仿射解释

   令

\begin{equation} f_i(\dot p)=\sum_{j=1}a_{ij}x_j-y_i \end{equation}
则线性方程组式 1 可写为
\begin{equation} f_i(\dot p)=0,\quad i=1,\cdots,m \end{equation}

   由定理 1 ,每个 $f_i(\dot p)$ 都是仿射线性函数.

   设线性方程组有解,而 $x_1^0,\cdots,x_n^0$ 是它的一个解,并用它作为在坐标系 $\{\dot o;e_1,\cdots,e_n\}$ 下点 $\dot p_0$ 的坐标(因此 $f_i(\dot o)=-y_i$),并说点 $\dot p_0$ 本身是个

   如此一来,式 11 的其它解必形如 $\dot p=\dot p_0+x, x\in V$ 且

\begin{equation} Df_i \cdot x=0,\quad i=1,\cdots,m \end{equation}
其中 $Df_i$ 是 $f_i$ 的线性部分.式 12 的解,构成一维数为 $n-r$ 的子空间 $U\subset V$.$r$ 是线性函数组 $Df_1,\cdots,Df_m$ 的秩(子节 4 ),$n=\dim V$.所以线性方程组解的集合就是 $n-r$ 维的平面 $\dot p_0+U$.

定理 2 

   设 $\mathbb A$ 是个 $n$ 维仿射空间,则 $\mathbb A$ 中所有坐标满足一秩为 $r$、有解的线性方程组的点构成一 $n-r$ 维的平面 $\Pi=\dot p_0+U$.且 $\mathbb A$ 的任一平面都可这样得到.

   证明:定理后一部分由前面已得证明.现证明第二部分.

   首先,任一 $n-r$ 维的矢量子空间 $U$ 就是一个秩为 $r$ 的形如式 11 的线性方程组的解空间(链接).

   其次,$\dot p\in\Pi\Leftrightarrow\vec{p_0p}\in U$.若设 $\dot p_0,\dot p$ 坐标分别为 $x^0_1,\cdots,x^0_n$ 和 $x_1,\cdots,x_n$,则 $\vec{p_0p}=\sum_{j}(x_j-x^0_j)e_i$.那么方程组

\begin{equation} \sum_{j=1}^n a_{ij}(x_j-x_j^0)=0,\quad i=1,\cdots m \end{equation}
满足条件.

   证毕!

   由该定理,一个超平面相当于一个线性方程,于是秩为 $r$ 的线性方程组相当于 $r$ 个超平面,该方程组的解相当于这 $r$ 个超平面的交集,其给出一个 $n-r$ 维的平面 $\Pi$.


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