分块矩阵

                     

贡献者: addis; ACertainUser

  • 本文处于草稿阶段。

1. 分块矩阵

  1有时候,把一个大矩阵 M 分割为若干小矩阵可以帮助简化问题。分割后的大矩阵叫做分块矩阵(Partitioned Matrices)。例如:

(1)M=(ABCD) .
其中 A,B,C,D 都是矩阵。大矩阵和子矩阵都不必是方阵,子矩阵的大小也不必相同,但分割后子矩阵必须对齐,在该例中就是:AB 行数相同、CD 行数相同、AC 的列数相同、BD 的列数相同。

分块矩阵的加法、乘法

   若相应的计算都有定义,那么分块矩阵的加法、乘法法则与普通矩阵形式上完全类似,也就是可以把分割后的每个块看成一个 “矩阵元” 进行计算。例如:

(2)(ABCD)+(EFGH)=(A+EB+FC+GD+H) .
(3)(ABCD)(EFGH)=(AE+BGAF+BHCE+DGCF+DH) .
(4)M(ABCD)=(MAMBMCMD) .

定理 1 分块矩阵的乘法

   在数域 K 上,设矩阵 AMs×n(K),BMn×m(K)。分别对两个矩阵分块,如果满足下面两个条件

  1. A 分块的列组数等于 B 分块的行组数(块数).
  2. A 的每个列组所含的列数对应等于 B 的每个行组所含的行数。

   则分块矩阵的乘法类似地满足矩阵乘法运算规律。

(5)AB=(A11A12A21A22)(B11B12B21B22)=(A11B11+A12B21A11B12+A12B22A21B11+A22B21A21B12+A22B22) .

   和矩阵乘法规则的区别在于矩阵乘法的相对顺序不能改变,因为矩阵乘法没有交换律

   证明: 设 C=AB,则 C 的行数和列数分别为 sm。设矩阵 A 的分块的行数为 s1,s2,列数为 n1,n2,矩阵 B 的分块的行数为 n1,n2,列数为 m1,m2。分块矩阵的乘积的行数为 s=s1+s2m=m1+m2,和 C 的行数和列数相等。于是得到证明思路:证明任意 C(i,j) 元等于分块矩阵乘积的 (i,j) 元。

   设 C(i,j) 处于 sp×mq 部分,则该元素就在分块矩阵乘法结果的 (i,j) 元,即 k=12ApkBkq(i;j) . 根据矩阵的乘法,可以展开每两块矩阵第 i,j 项的乘法,等于 =k=12l=1nkApk(i;l)Bkq(l;j) . =l=1n1Ap1(i;l)B1q(l;j)+l=1n2Ap2(i;l)B2q(l;j) . 可以将 l 用在 A,B 中的绝对位置来表示,而不是 Apk,Bkq 中的相对位置来表示,得到 =l=1n1A(i;l)B(r;j)+l=n1+1n1+n2A(i;l)B(l;j) . 注意到求和的上下限恰好可以合并,得到 l=1nA(i;l)B(l;j) , 这正是 C(i,j) 元。得证。

   证明 2 阶情况是出于简便起见,其思路是可以推广到更加一般的情况

2. 块对角矩阵

   定义块对角矩阵:只有对角块可能不为零的矩阵,例如:

(6)M=(AOOB) .
其中 O 代表元素全为零的矩阵,AB 可能有元素不为零。更详细的讨论见块对角矩阵

块对角矩阵的特殊性质

   块对角矩阵有一些特别的性质,包括:


1. ^ 本文参考了 Steven J. Leon 的 Linear Algebra with Applications。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利