分块矩阵

贡献者： addis; ACertainUser

本文处于草稿阶段。

1. 分块矩阵

　　¹有时候，把一个大矩阵 $M$ 分割为若干小矩阵可以帮助简化问题。分割后的大矩阵叫做分块矩阵（Partitioned Matrices）。例如：

\begin{matrix} (1) & M = (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}) . \end{matrix}

其中

A, B, C, D

都是矩阵。大矩阵和子矩阵都不必是方阵，子矩阵的大小也不必相同，但分割后子矩阵必须对齐，在该例中就是：

A

与

B

行数相同、

C

与

D

行数相同、

A

与

C

的列数相同、

B

与

D

的列数相同。

分块矩阵的加法、乘法

　　若相应的计算都有定义，那么分块矩阵的加法、乘法法则与普通矩阵形式上完全类似，也就是可以把分割后的每个块看成一个 “矩阵元” 进行计算。例如：

\begin{matrix} (2) & (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}) + (\begin{matrix} E & F \\ G & H \end{matrix}) = (\begin{matrix} A + E & B + F \\ C + G & D + H \end{matrix}) . \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}) (\begin{matrix} E & F \\ G & H \end{matrix}) = (\begin{matrix} A E + B G & A F + B H \\ C E + D G & C F + D H \end{matrix}) . \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & M (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}) = (\begin{matrix} M A & M B \\ M C & M D \end{matrix}) . \end{matrix}

定理 1　分块矩阵的乘法

　　在数域 $K$ 上，设矩阵 $A \in M_{s \times n} (K), B \in M_{n \times m} (K)$ 。分别对两个矩阵分块，如果满足下面两个条件

$A$ 分块的列组数等于 $B$ 分块的行组数（块数）.
$A$ 的每个列组所含的列数对应等于 $B$ 的每个行组所含的行数。

　　则分块矩阵的乘法类似地满足矩阵乘法运算规律。

\begin{matrix} (5) & A B = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{matrix}) = (\begin{matrix} A_{11} B_{11} + A_{12} B_{21} & A_{11} B_{12} + A_{12} B_{22} \\ A_{21} B_{11} + A_{22} B_{21} & A_{21} B_{12} + A_{22} B_{22} \end{matrix}) . \end{matrix}

　　 和矩阵乘法规则的区别在于矩阵乘法的相对顺序不能改变，因为矩阵乘法没有交换律

　　证明：设 $C = A B$ ，则 $C$ 的行数和列数分别为 $s$ 和 $m$ 。设矩阵 $A$ 的分块的行数为 $s_{1}, s_{2}$ ，列数为 $n_{1}, n_{2}$ ，矩阵 $B$ 的分块的行数为 $n_{1}, n_{2}$ ，列数为 $m_{1}, m_{2}$ 。分块矩阵的乘积的行数为 $s = s_{1} + s_{2}$ ， $m = m_{1} + m_{2}$ ，和 $C$ 的行数和列数相等。于是得到证明思路：证明任意 $C$ 的 $(i, j)$ 元等于分块矩阵乘积的 $(i, j)$ 元。

　　设 $C$ 的 $(i, j)$ 处于 $s_{p} \times m_{q}$ 部分，则该元素就在分块矩阵乘法结果的 $(i, j)$ 元，即 $\sum_{k = 1}^{2} A_{p k} B_{k q} (i; j) .$ 根据矩阵的乘法，可以展开每两块矩阵第 $i, j$ 项的乘法，等于 $= \sum_{k = 1}^{2} \sum_{l = 1}^{n_{k}} A_{p k} (i; l) B_{k q} (l; j) .$ $= \sum_{l = 1}^{n_{1}} A_{p 1} (i; l) B_{1 q} (l; j) + \sum_{l = 1}^{n_{2}} A_{p 2} (i; l) B_{2 q} (l; j) .$ 可以将 $l$ 用在 $A, B$ 中的绝对位置来表示，而不是 $A_{p k}, B_{k q}$ 中的相对位置来表示，得到 $= \sum_{l = 1}^{n_{1}} A (i; l) B (r; j) + \sum_{l = n_{1} + 1}^{n_{1} + n_{2}} A (i; l) B (l; j) .$ 注意到求和的上下限恰好可以合并，得到 $\sum_{l = 1}^{n} A (i; l) B (l; j),$ 这正是 $C$ 的 $(i, j)$ 元。得证。

　　证明 2 阶情况是出于简便起见，其思路是可以推广到更加一般的情况

2. 块对角矩阵

　　定义块对角矩阵：只有对角块可能不为零的矩阵，例如：

\begin{matrix} (6) & M = (\begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix}) . \end{matrix}

其中

O

代表元素全为零的矩阵，

A

和

B

可能有元素不为零。更详细的讨论见块对角矩阵。

块对角矩阵的特殊性质

　　块对角矩阵有一些特别的性质，包括：

两个块对角矩阵（方阵）相乘，若每个对角块都是方阵且尺寸一一对应，就是把对应的对角块分别相乘。
$M^{- 1} = (\begin{matrix} A^{- 1} & O \\ O & B^{- 1} \end{matrix})$ ，可以直接运用逆矩阵的定义证明（若 A，B 为方阵）
...

1. ^ 本文参考了 Steven J. Leon 的 Linear Algebra with Applications。