分块矩阵

                     

贡献者: addis

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1. 分块矩阵 Partitioned Matrices

   有时,把一个大矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 视为若干个小矩阵的 “组合” 可以帮助简化问题,例如:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{M}} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} \\ \boldsymbol{\mathbf{C}} & \boldsymbol{\mathbf{D}} \\ \end{bmatrix} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} , \boldsymbol{\mathbf{C}} , \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 都是矩阵.这些子矩阵可以不是方阵,但这种划分必须 “有意义”,即 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的行数相同、$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的列数相同,等等.

分块矩阵的加法、乘法

   若相应的计算都有定义,那么分块矩阵的加法、乘法法则与普通矩阵形式上完全类似,例如:

\begin{equation} \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} \\ \boldsymbol{\mathbf{C}} & \boldsymbol{\mathbf{D}} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathbf{E}} & \boldsymbol{\mathbf{F}} \\ \boldsymbol{\mathbf{G}} & \boldsymbol{\mathbf{H}} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{E}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{F}} \\ \boldsymbol{\mathbf{C}} + \boldsymbol{\mathbf{G}} & \boldsymbol{\mathbf{D}} + \boldsymbol{\mathbf{H}} \\ \end{bmatrix} \end{equation}
\begin{equation} \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} \\ \boldsymbol{\mathbf{C}} & \boldsymbol{\mathbf{D}} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathbf{E}} & \boldsymbol{\mathbf{F}} \\ \boldsymbol{\mathbf{G}} & \boldsymbol{\mathbf{H}} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{G}} & \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{F}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{H}} \\ \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{D}} \boldsymbol{\mathbf{G}} & \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol{\mathbf{F}} + \boldsymbol{\mathbf{D}} \boldsymbol{\mathbf{H}} \\ \end{bmatrix} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{M}} \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} \\ \boldsymbol{\mathbf{C}} & \boldsymbol{\mathbf{D}} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{B}} \\ \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{C}} & \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{D}} \\ \end{bmatrix} \end{equation}

2. 块对角矩阵

   定义块对角矩阵:只有对角块为非零的矩阵,例如:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{M}} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{O}} \\ \boldsymbol{\mathbf{O}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} \\ \end{bmatrix} \end{equation}

   更详细的讨论见块对角矩阵

块对角矩阵的特殊性质

   块对角矩阵有一些特别的性质,包括:


1. ^ 本文参考了 Steven J. Leon 的 Linear Algebra with Applications.


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