分块矩阵
贡献者: addis; ACertainUser
1. 分块矩阵
1有时候,把一个大矩阵 分割为若干小矩阵可以帮助简化问题。分割后的大矩阵叫做分块矩阵(Partitioned Matrices)。例如:
其中 都是矩阵。大矩阵和子矩阵都不必是方阵,子矩阵的大小也不必相同,但分割后子矩阵必须对齐,在该例中就是: 与 行数相同、 与 行数相同、 与 的列数相同、 与 的列数相同。
分块矩阵的加法、乘法
若相应的计算都有定义,那么分块矩阵的加法、乘法法则与普通矩阵形式上完全类似,也就是可以把分割后的每个块看成一个 “矩阵元” 进行计算。例如:
定理 1 分块矩阵的乘法
在数域 上,设矩阵 。分别对两个矩阵分块,如果满足下面两个条件
- 分块的列组数等于 分块的行组数(块数).
- 的每个列组所含的列数对应等于 的每个行组所含的行数。
则分块矩阵的乘法类似地满足矩阵乘法运算规律。
和矩阵乘法规则的区别在于矩阵乘法的相对顺序不能改变,因为矩阵乘法没有交换律
证明:
设 ,则 的行数和列数分别为 和 。设矩阵 的分块的行数为 ,列数为 ,矩阵 的分块的行数为 ,列数为 。分块矩阵的乘积的行数为 ,,和 的行数和列数相等。于是得到证明思路:证明任意 的 元等于分块矩阵乘积的 元。
设 的 处于 部分,则该元素就在分块矩阵乘法结果的 元,即
根据矩阵的乘法,可以展开每两块矩阵第 项的乘法,等于
可以将 用在 中的绝对位置来表示,而不是 中的相对位置来表示,得到
注意到求和的上下限恰好可以合并,得到
这正是 的 元。得证。
证明 2 阶情况是出于简便起见,其思路是可以推广到更加一般的情况
2. 块对角矩阵
定义块对角矩阵:只有对角块可能不为零的矩阵,例如:
其中 代表元素全为零的矩阵, 和 可能有元素不为零。更详细的讨论见
块对角矩阵。
块对角矩阵的特殊性质
块对角矩阵有一些特别的性质,包括:
- 两个块对角矩阵(方阵)相乘,若每个对角块都是方阵且尺寸一一对应,就是把对应的对角块分别相乘。
- ,可以直接运用逆矩阵的定义证明(若 A,B 为方阵)
- ...
1. ^ 本文参考了 Steven J. Leon 的 Linear Algebra with Applications。
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