分块矩阵
贡献者： addis
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1. 分块矩阵 Partitioned Matrices
有时，把一个大矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 视为若干个小矩阵的 “组合” 可以帮助简化问题，例如：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{M}} =
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} \\
\boldsymbol{\mathbf{C}} & \boldsymbol{\mathbf{D}} \\
\end{bmatrix}
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} , \boldsymbol{\mathbf{C}} , \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 都是矩阵．这些子矩阵可以不是方阵，但这种划分必须 “有意义”，即 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的行数相同、$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的列数相同，等等．
分块矩阵的加法、乘法
若相应的计算都有定义，那么分块矩阵的加法、乘法法则与普通矩阵形式上完全类似，例如：
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} \\
\boldsymbol{\mathbf{C}} & \boldsymbol{\mathbf{D}} \\
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{E}} & \boldsymbol{\mathbf{F}} \\
\boldsymbol{\mathbf{G}} & \boldsymbol{\mathbf{H}} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{E}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{F}} \\
\boldsymbol{\mathbf{C}} + \boldsymbol{\mathbf{G}} & \boldsymbol{\mathbf{D}} + \boldsymbol{\mathbf{H}} \\
\end{bmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} \\
\boldsymbol{\mathbf{C}} & \boldsymbol{\mathbf{D}} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{E}} & \boldsymbol{\mathbf{F}} \\
\boldsymbol{\mathbf{G}} & \boldsymbol{\mathbf{H}} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{G}} & \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{F}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{H}} \\
\boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{D}} \boldsymbol{\mathbf{G}} & \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol{\mathbf{F}} + \boldsymbol{\mathbf{D}} \boldsymbol{\mathbf{H}} \\
\end{bmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{M}}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} \\
\boldsymbol{\mathbf{C}} & \boldsymbol{\mathbf{D}} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{B}} \\
\boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{C}} & \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{D}} \\
\end{bmatrix}
\end{equation}
2. 块对角矩阵
定义块对角矩阵：只有对角块为非零的矩阵，例如：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{M}} =
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{O}} \\
\boldsymbol{\mathbf{O}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} \\
\end{bmatrix}
\end{equation}
更详细的讨论见块对角矩阵
块对角矩阵的特殊性质
块对角矩阵有一些特别的性质，包括：
- $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ^ {-1} =
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} & \boldsymbol{\mathbf{O}} \\
\boldsymbol{\mathbf{O}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} ^{-1}\\
\end{bmatrix}
$，可以直接运用逆矩阵的定义证明（若 A，B 为方阵）
- ...
1. ^ 本文参考了 Steven J. Leon 的 Linear Algebra with Applications．
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