贡献者： addis; ACertainUser
1. 分块矩阵
1有时候，把一个大矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 分割为若干小矩阵可以帮助简化问题。分割后的大矩阵叫做分块矩阵（Partitioned Matrices）。例如：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{M}} =
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} \\
\boldsymbol{\mathbf{C}} & \boldsymbol{\mathbf{D}} \\
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} , \boldsymbol{\mathbf{C}} , \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 都是矩阵。大矩阵和子矩阵都不必是方阵，子矩阵的大小也不必相同，但分割后子矩阵必须对齐，在该例中就是：$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 行数相同、$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 行数相同、$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的列数相同、$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 的列数相同。
分块矩阵的加法、乘法
若相应的计算都有定义，那么分块矩阵的加法、乘法法则与普通矩阵形式上完全类似，也就是可以把分割后的每个块看成一个 “矩阵元” 进行计算。例如：
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} \\
\boldsymbol{\mathbf{C}} & \boldsymbol{\mathbf{D}} \\
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{E}} & \boldsymbol{\mathbf{F}} \\
\boldsymbol{\mathbf{G}} & \boldsymbol{\mathbf{H}} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{E}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{F}} \\
\boldsymbol{\mathbf{C}} + \boldsymbol{\mathbf{G}} & \boldsymbol{\mathbf{D}} + \boldsymbol{\mathbf{H}} \\
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} \\
\boldsymbol{\mathbf{C}} & \boldsymbol{\mathbf{D}} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{E}} & \boldsymbol{\mathbf{F}} \\
\boldsymbol{\mathbf{G}} & \boldsymbol{\mathbf{H}} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{G}} & \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{F}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{H}} \\
\boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{D}} \boldsymbol{\mathbf{G}} & \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol{\mathbf{F}} + \boldsymbol{\mathbf{D}} \boldsymbol{\mathbf{H}} \\
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{M}}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} \\
\boldsymbol{\mathbf{C}} & \boldsymbol{\mathbf{D}} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{B}} \\
\boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{C}} & \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{D}} \\
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
定理 1 分块矩阵的乘法
在数域 $K$ 上，设矩阵 $A\in{M_{s\times{n}}(K)},B\in{M_{n\times{m}}(K)}$。分别对两个矩阵分块，如果满足下面两个条件
- $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 分块的列组数等于 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 分块的行组数（块数）.
- $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的每个列组所含的列数对应等于 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的每个行组所含的行数。
则分块矩阵的乘法类似地满足矩阵乘法运算规律。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} =
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} _{11} & \boldsymbol{\mathbf{A}} _{12}\\
\boldsymbol{\mathbf{A}} _{21} & \boldsymbol{\mathbf{A}} _{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{B}} _{11} & \boldsymbol{\mathbf{B}} _{12}\\
\boldsymbol{\mathbf{B}} _{21} & \boldsymbol{\mathbf{B}} _{22}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} _{11} \boldsymbol{\mathbf{B}} _{11}+ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{12} \boldsymbol{\mathbf{B}} _{21} & \boldsymbol{\mathbf{A}} _{11} \boldsymbol{\mathbf{B}} _{12}+ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{12} \boldsymbol{\mathbf{B}} _{22}\\
\boldsymbol{\mathbf{A}} _{21} \boldsymbol{\mathbf{B}} _{11}+ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{22} \boldsymbol{\mathbf{B}} _{21} & \boldsymbol{\mathbf{A}} _{21} \boldsymbol{\mathbf{B}} _{12}+ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{22} \boldsymbol{\mathbf{B}} _{22}
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
和矩阵乘法规则的区别在于矩阵乘法的相对顺序不能改变，因为矩阵乘法没有交换律
证明：
设 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} $，则 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的行数和列数分别为 $s$ 和 $m$。设矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的分块的行数为 $s_1,s_2$，列数为 $n_1,n_2$，矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的分块的行数为 $n_1,n_2$，列数为 $m_1,m_2$。分块矩阵的乘积的行数为 $s=s_1+s_2$，$m=m_1+m_2$，和 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的行数和列数相等。于是得到证明思路：证明任意 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的 $(i,j)$ 元等于分块矩阵乘积的 $(i,j)$ 元。
设 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的 $(i,j)$ 处于 $s_p\times{m_q}$ 部分，则该元素就在分块矩阵乘法结果的 $(i,j)$ 元，即
\[\sum_{k=1}^{2} \boldsymbol{\mathbf{A}} _{pk} \boldsymbol{\mathbf{B}} _{kq}(i;j)~.\]
根据矩阵的乘法，可以展开每两块矩阵第 $i,j$ 项的乘法，等于
\[=\sum_{k=1}^{2}\sum_{l=1}^{n_k} \boldsymbol{\mathbf{A}} _{pk}(i;l) \boldsymbol{\mathbf{B}} _{kq}(l;j)~.\]
\[=\sum_{l=1}^{n_1} \boldsymbol{\mathbf{A}} _{p1}(i;l) \boldsymbol{\mathbf{B}} _{1q}(l;j)+\sum_{l=1}^{n_2} \boldsymbol{\mathbf{A}} _{p2}(i;l) \boldsymbol{\mathbf{B}} _{2q}(l;j)~.\]
可以将 $l$ 用在 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 中的绝对位置来表示，而不是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _{pk}, \boldsymbol{\mathbf{B}} _{kq}$ 中的相对位置来表示，得到
\[=\sum_{l=1}^{n_1} \boldsymbol{\mathbf{A}} (i;l) \boldsymbol{\mathbf{B}} (r;j)+\sum_{l=n_1+1}^{n_1+n_2} \boldsymbol{\mathbf{A}} (i;l) \boldsymbol{\mathbf{B}} (l;j)~.\]
注意到求和的上下限恰好可以合并，得到
\[\sum_{l=1}^{n} \boldsymbol{\mathbf{A}} (i;l) \boldsymbol{\mathbf{B}} (l;j)~,\]
这正是 $C$ 的 $(i,j)$ 元。得证。
证明 2 阶情况是出于简便起见，其思路是可以推广到更加一般的情况
2. 块对角矩阵
定义块对角矩阵：只有对角块可能不为零的矩阵，例如：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{M}} =
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} & \boldsymbol{\mathbf{O}} \\
\boldsymbol{\mathbf{O}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} \\
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{O}} $ 代表元素全为零的矩阵，$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 可能有元素不为零。更详细的讨论见
块对角矩阵。
块对角矩阵的特殊性质
块对角矩阵有一些特别的性质，包括：
- 两个块对角矩阵（方阵）相乘，若每个对角块都是方阵且尺寸一一对应，就是把对应的对角块分别相乘。
- $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ^ {-1} =
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} & \boldsymbol{\mathbf{O}} \\
\boldsymbol{\mathbf{O}} & \boldsymbol{\mathbf{B}} ^{-1}\\
\end{pmatrix}
$，可以直接运用逆矩阵的定义证明（若 A，B 为方阵）
- ...
1. ^ 本文参考了 Steven J. Leon 的 Linear Algebra with Applications。
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