线性映射与矩阵的代数关系

                     

贡献者: Relo Stern; addis; Giacomo

预备知识 线性映射,矩阵及其运算,范数

   在本页中,我们将所有 mn 列的实矩阵组成的集合记为 Rm×n,并记从 RnRm 的一切线性变换全体构成的空间为 L(Rn,Rm).

   Rm×n 中的矩阵与 L(Rn,Rm) 中的线性变换是代数同构的关系。矩阵可以看成线性变换,线性变换在取定一组基底后,可以表示为矩阵。

   为明确起见,本页所说的线性变换都是指有限维空间之间的线性变换,即 L(Rn,Rm) 中的映射。

1. 矩阵的秩与线性变换的联系

定义 1 矩阵的秩

   矩阵的秩 既可以定义为其行向量组的秩(称为行秩), 也可以定义为其列向量组的秩(称为 列秩), 这是因为矩阵的行秩和列秩被证明是相等的。

   :矩阵行向量组形成的空间称为 行空间, 行向量组的秩也正是行空间的维数; 列向量组形成的空间称为 列空间, 列向量组的秩也正是列空间的维数。

定义 2 线性变换的秩

   线性变换的秩 定义为其像空间的维数。

  

   下面的定理表明,矩阵与线性变换的秩在某种意义下是等同的。

定理 1 像空间 = 列空间

   如果将矩阵看成线性变换,那么该变换的像空间的维数,恰是矩阵的列空间的维数。

   证明:设 ARm×n, A 也可以看成从 RnRm 的线性变换,那么取定 Rn 的标准基 (e1,e2,,en) 后, A 的像空间就由 {Ae1,Ae2,,Aen} 张成,因此像空间的维数就是 {Ae1,Ae2,,Aen} 的极大无关组的个数,也就是 {Ae1,Ae2,,Aen} 的秩; 而每个 Aei 正好又是矩阵 A 的第 i 列,这就说明了 A 的像空间的维数等于它的列空间的维数。

   :上述证明过程表明,对于看成线性变换的矩阵来说,其像空间正好就是其列空间。

  

   在介绍线性方程组的解的结构性定理时,很多书是采用初等行变换来证明的,这显然是有利于初学者接受的,但是不够优雅. 这里我们仅需巧妙地运用 定理 1 就能导出线性方程组的解的结构, 并且能对齐次和非齐次线性方程组做统一的处理。

定理 2 线性方程组的解的结构性定理

   设 ARm×n, bRn×1b0.

   ① Ax=0 有唯一解(即零解) kerA={0} A 是单射 A 列满秩 rank A=n.

   ② Ax=0 有无穷个解(即有非零解) A 不是单射 A 列不满秩 rank A<n.

   ③ Ax=b 无解 bImA b{A 的列空间} b 无法被 A 的列向量组线性表出 rank A< rank (A:b).

   ④ Ax=b 有解 bImA b{A 的列空间} b 可以被 A 的列向量组线性表出 rank A= rank (A:b).

   ⑤ Ax=b 有唯一解 bImAA 是单射 rank A= rank (A:b)=n (结合 ①、④)

   ⑥ Ax=b 有无穷多解 bImAA 不是单射 rank A= rank (A:b)<n (结合 ②、④)

   :以上结果展示了将矩阵和线性变换视作 代数同构 的强大作用。

习题 1 

   对非齐次线性方程组 Am×nx=b, 设 rankA=r, 则(

   (A) r=m 时,方程组 Ax=b 有解

   (B) r=n 时,方程组 Ax=b 有唯一解

   (C) n=m 时,方程组 Ax=b 有唯一解

   (D) r<n 时,方程组 Ax=b 有无穷多解

   答案:见末尾1

  

定理 3 

   若 ARn×m, BRm×n, 且 AB=In, 则 A 作为线性算子是满射,B 作为线性算子是单射。

   证明:先证 A 是满射。由已知得 BL(Rn,Rm), AL(Rm,Rn). 若 A 不满,ImA 真包含于 Rn 中,但是 AB=In 说明 dim(ImA)=n, 矛盾。

   再证 B 是单射。若 Bx=0, 则 x=Inx=(AB)x=A(Bx)=A0=0, 说明 KerB={0}.

   上面的定理有如下两个推论:

2. 矩阵与线性变换的范数

   线性空间上的范数是指其上的一个满足 非负正定性正齐次性三角不等式 的实值函数,记作    (参见 “范数、赋范空间”定义 1 ). 对 Rn 中的一个向量 x, 我们一般将其看成列向量,并用 |x| 来表示它的 欧氏范数 (也称为 ), 即 |x|=x12+x22++xn2,xRn .

定义 3 线性变换的范数

   设 AL(Rn,Rm), 定义 A=max|x|=1|A(x)|=maxx0|A(x)|x .

   :可以证明 L(Rn,Rm) 中的这个范数不仅满足非负正定性、正齐次性、三角不等式, 还满足

   (iv) 向量范数相容性:A(x)A|x|;

   (v) 复合运算相容性:BABA.

定义 4 矩阵的范数

   设 ARm×n, 定义

(1)A=max|x|=1|Ax|=maxx0|Ax|x .

   :可以证明矩阵的这个范数不仅满足非负正定性、正齐次性、三角不等式,还满足

   (iv) 向量范数相容性:AxA|x|;

   (v) 乘法运算相容性:BABA.

定理 4 

   矩阵 A 的范数 A 可由以下公式计算: A=μ1 , 其中 μ1 为矩阵 ATA 的最大本征值。

   :矩阵按 定义 4 所定义的范数称为 矩阵的标准范数. 除此之外,矩阵 ARm×n 还常用以下范数: 矩阵按(式 1 ) 定义的范数称为矩阵的标准范数。除此之外,矩阵 ARm×n 常用以下范数: A1=max1jm{i=1n|aij|},A=max1in{j=1n|aij|},AF=(i,j=1n|aij|2)12  分别称为矩阵的 列和范数行和范数Frobenius 范数 (简称 F 范数).

   可以证明,矩阵的范数自然会满足(也应该满足)非负正定性、正齐次性、三角不等式,但是却不一定要满足 (iv)(v)。比如,矩阵的列和范数与行和范数都不满足 (iv),但满足 (v);而矩阵的 F 范数则既满足 (iv), 也满足 (v).

定理 5 

   任意两个矩阵的范数是相互等价的。

   :等价范数的定义参见《范数、赋范空间》一节。

  

定理 6 

   设 An×n 方阵,且 A<1, 则矩阵 IA 可逆,且 IA=k=0Ak ,limkIAi=0kAi=0. 并且此时成立不等式 (IA)111A .

   :这在形式上与等比级数非常像,比如 11x=1+x+x2++xk+=k=0Ak|x|<1 ,

推论 1 

   可逆矩阵的小扰动仍是可逆矩阵;等价地,可逆线性变换的小扰动仍是可逆线性变换。

   : 若矩阵 ARn×n 可逆,取矩阵 PRn×n 使其范数小于 1A1, 则 A1PA1P<A11A1=1 , 那么根据定理 1 知 I+A1P 可逆,从而 A+P=A(I+A1P)  也可逆。

推论 2 

   可逆矩阵函数在连续点附近仍是可逆的。


1. ^A


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