贡献者： Relo Stern; addis; Giacomo
在本页中，我们将所有 $m$ 行 $n$ 列的实矩阵组成的集合记为 $\mathbb{R}^{m\times n}$，并记从 $\mathbb{R}^{n}$ 到 $\mathbb{R}^{m}$ 的一切线性变换全体构成的空间为 $L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m}).$
$\mathbb{R}^{m\times n}$ 中的矩阵与 $L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$
中的线性变换是代数同构的关系。矩阵可以看成线性变换，线性变换在取定一组基底后，可以表示为矩阵。
为明确起见，本页所说的线性变换都是指有限维空间之间的线性变换，即 $L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$ 中的映射。
1. 矩阵的秩与线性变换的联系
定义 1 矩阵的秩
矩阵的秩 既可以定义为其行向量组的秩（称为行秩）, 也可以定义为其列向量组的秩（称为 列秩）,
这是因为矩阵的行秩和列秩被证明是相等的。
注：矩阵行向量组形成的空间称为 行空间, 行向量组的秩也正是行空间的维数;
列向量组形成的空间称为 列空间, 列向量组的秩也正是列空间的维数。
定义 2 线性变换的秩
线性变换的秩 定义为其像空间的维数。
下面的定理表明，矩阵与线性变换的秩在某种意义下是等同的。
定理 1 像空间 $=$ 列空间
如果将矩阵看成线性变换，那么该变换的像空间的维数，恰是矩阵的列空间的维数。
证明：设 $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$, $A$ 也可以看成从 $\mathbb{R}^{n}$ 到 $\mathbb{R}^{m}$
的线性变换，那么取定 $\mathbb{R}^{n}$ 的标准基 $(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})$ 后，
$A$ 的像空间就由 $\{Ae_{1},Ae_{2},\ldots,Ae_{n}\}$ 张成，因此像空间的维数就是 $\{Ae_{1},Ae_{2},\ldots,Ae_{n}\}$
的极大无关组的个数，也就是 $\{Ae_{1},Ae_{2},\ldots,Ae_{n}\}$ 的秩; 而每个 $Ae_{i}$
正好又是矩阵 $A$ 的第 $i$ 列，这就说明了 $A$ 的像空间的维数等于它的列空间的维数。$\square$
注：上述证明过程表明，对于看成线性变换的矩阵来说，其像空间正好就是其列空间。
- 矩阵是行满秩的，当且仅当其线性变换是满射。(行秩等于列秩，列空间等于像空间)
- 矩阵是列满秩的，当且仅当其线性变换是单射。(列空间等于像空间，维数定理，核空间为零)
- 方阵是满秩的，当且仅当它是可逆的，当且仅当其线性变换是双射。
在介绍线性方程组的解的结构性定理时，很多书是采用初等行变换来证明的，这显然是有利于初学者接受的，但是不够优雅. 这里我们仅需巧妙地运用 定理 1 就能导出线性方程组的解的结构，
并且能对齐次和非齐次线性方程组做统一的处理。
定理 2 线性方程组的解的结构性定理
设 $A\in\mathbb{R}^{m\times n},$ $b\in\mathbb{R}^{n\times1}$ 且 $b\neq0$.
① $Ax=0$ 有唯一解（即零解）$\Leftrightarrow$ $\ker A=\{0\}$ $\Leftrightarrow$
$A$ 是单射 $\Leftrightarrow$ $A$ 列满秩 $\Leftrightarrow$ $\mathrm{rank}$
$A=n.$
② $Ax=0$ 有无穷个解（即有非零解）$\Leftrightarrow$ $A$ 不是单射 $\Leftrightarrow$
$A$ 列不满秩 $\Leftrightarrow\mathrm{rank}$ $A< n.$
③ $Ax=b$ 无解 $\Leftrightarrow$ $b\notin\mathrm{Im}A$ $\Leftrightarrow$
$b\notin${$A$ 的列空间} $\Leftrightarrow$ $b$ 无法被 $A$ 的列向量组线性表出
$\Leftrightarrow$ $\mathrm{rank}$ $A<$ $\mathrm{rank}$ $(A:b).$
④ $Ax=b$ 有解 $\Leftrightarrow$ $b\in\mathrm{Im}A$ $\Leftrightarrow$
$b\in${$A$ 的列空间} $\Leftrightarrow$ $b$ 可以被 $A$ 的列向量组线性表出 $\Leftrightarrow$
$\mathrm{rank}$ $A=$ $\mathrm{rank}$ $(A:b).$
⑤ $Ax=b$ 有唯一解 $\Leftrightarrow$ $b\in\mathrm{Im}A$ 且 $A$ 是单射 $\Leftrightarrow$
$\mathrm{rank}$ $A=$ $\mathrm{rank}$ $(A:b)=n$ (结合 ①、④)
⑥ $Ax=b$ 有无穷多解 $\Leftrightarrow$ $b\in\mathrm{Im}A$ 且 $A$ 不是单射
$\Leftrightarrow$ $\mathrm{rank}$ $A=$ $\mathrm{rank}$ $(A:b)< n$
(结合 ②、④)
注：以上结果展示了将矩阵和线性变换视作 代数同构 的强大作用。
习题 1
对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$, 设 $\mathrm{rank}A=r$, 则（$\quad$）
$(\mathrm{A})$ $r=m$ 时，方程组 $Ax=b$ 有解
$(\mathrm{B})$ $r=n$ 时，方程组 $Ax=b$ 有唯一解
$(\mathrm{C})$ $n=m$ 时，方程组 $Ax=b$ 有唯一解
$(\mathrm{D})$ $r< n$ 时，方程组 $Ax=b$ 有无穷多解
答案：见末尾1
定理 3
若 $A\in\mathbb{R}^{n\times m}$, $B\in\mathbb{R}^{m\times n}$, 且 $AB=I_n$, 则 $A$ 作为线性算子是满射，$B$ 作为线性算子是单射。
证明：先证 $A$ 是满射。由已知得 $B\in L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$, $A\in L(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{n})$.
若 $A$ 不满，$\mathrm{Im}A$ 真包含于 $\mathbb{R}^{n}$ 中，但是 $AB=I_{n}$
说明 $\dim(\mathrm{Im}A)=n$, 矛盾。
再证 $B$ 是单射。若 $Bx=0$, 则 $x=I_{n}x=(AB)x=A(Bx)=A0=0$, 说明 $\mathrm{Ker}B=\{0\}$.
$\square$
上面的定理有如下两个推论：
2. 矩阵与线性变换的范数
线性空间上的范数是指其上的一个满足 非负正定性、正齐次性、三角不等式 的实值函数，记作 $\left\Vert \cdot\right\Vert ~~$
（参见 “范数、赋范空间” 的 定义 1 ）. 对 $\mathbb{R}^n$ 中的一个向量 $x$, 我们一般将其看成列向量，并用 $|x|$ 来表示它的 欧氏范数 (也称为 模), 即
$$ |x|=\sqrt{x_1^2+x^2_2+\cdots+x_n^2}, \qquad\forall \,x\in \mathbb{R}^n~.
$$
定义 3 线性变换的范数
设 $A\in L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$, 定义
\[
\left\Vert A\right\Vert =\max_{|x|=1}|A(x)|=\max_{x\neq0}{\displaystyle \frac{|A(x)|}{x}}~.
\]
注：可以证明 $L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$ 中的这个范数不仅满足非负正定性、正齐次性、三角不等式，
还满足
$(\mathrm{iv})$ 向量范数相容性：$\left\Vert A(x)\right\Vert \leqslant\left\Vert A\right\Vert \left|x\right|$;
$(\mathrm{v})$ 复合运算相容性：$\left\Vert B\circ A\right\Vert \leqslant\left\Vert B\right\Vert \left\Vert A\right\Vert $.
定义 4 矩阵的范数
设 $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$, 定义
\begin{equation}
\left\Vert A\right\Vert =\max_{|x|=1}|Ax|=\max_{x\neq0}{\displaystyle \frac{|Ax|}{x}}~.
\end{equation}
注：可以证明矩阵的这个范数不仅满足非负正定性、正齐次性、三角不等式，还满足
$(\mathrm{iv})$ 向量范数相容性：$\left\Vert Ax\right\Vert \leqslant\left\Vert A\right\Vert \left|x\right|$;
$(\mathrm{v})$ 乘法运算相容性：$\left\Vert BA\right\Vert \leqslant\left\Vert B\right\Vert \left\Vert A\right\Vert $.
定理 4
矩阵 $A$ 的范数 $\left\Vert A\right\Vert $ 可由以下公式计算：
\[
\left\Vert A\right\Vert =\sqrt{\mu_{1}}~,
\]
其中 $\mu_{1}$ 为矩阵 $A^{T}A$ 的最大本征值。
注：矩阵按 定义 4 所定义的范数称为 矩阵的标准范数. 除此之外，矩阵 $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ 还常用以下范数：
矩阵按（式 1 ） 定义的范数称为矩阵的标准范数。除此之外，矩阵 $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ 常用以下范数：
\[
\left\Vert A\right\Vert _{1}=\max_{1\leqslant j\leqslant m}\{\sum_{i=1}^{n}|a_{ij}|\},\quad\left\Vert A\right\Vert _{\infty}=\max_{1\leqslant i\leqslant n}\{\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|\},\quad\left\Vert A\right\Vert _{F}=\left(\sum_{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}~
\]
分别称为矩阵的 列和范数、行和范数、Frobenius 范数 (简称 F 范数).
可以证明，矩阵的范数自然会满足（也应该满足）非负正定性、正齐次性、三角不等式，但是却不一定要满足 $(\mathrm{iv})$ 和 $(\mathrm{v})$。比如，矩阵的列和范数与行和范数都不满足 $(\mathrm{iv})$，但满足 $(\mathrm{v})$；而矩阵的 F 范数则既满足 $(\mathrm{iv})$, 也满足 $(\mathrm{v})$.
定理 5
任意两个矩阵的范数是相互等价的。
注：等价范数的定义参见《范数、赋范空间》一节。
定理 6
设 $A$ 是 $n\times n$ 方阵，且 $\left\Vert A\right\Vert <1$, 则矩阵 $I-A$
可逆，且
\[
I-A=\sum_{k=0}^{\infty}A^{k}~,
\]
即 ${\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}}\left\Vert I-A-{\displaystyle \sum_{i=0}^{k}A^{i}}\right\Vert =0.$
并且此时成立不等式
\[
\left\Vert (I-A)^{-1}\right\Vert \leqslant{\displaystyle \frac{1}{1-\left\Vert A\right\Vert }~.}
\]
注：这在形式上与等比级数非常像，比如
\[
{\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{k}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}A^{k}\quad\quad|x|<1}~,\]
推论 1
可逆矩阵的小扰动仍是可逆矩阵；等价地，可逆线性变换的小扰动仍是可逆线性变换。
注: 若矩阵 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 可逆，取矩阵 $P\in\mathbb{R}^{n\times n}$
使其范数小于 $\frac{1}{\left\Vert A^{-1}\right\Vert }$, 则
\[
\left\Vert A^{-1}P\right\Vert \leqslant\left\Vert A^{-1}\right\Vert \left\Vert P\right\Vert <\left\Vert A^{-1}\right\Vert \cdot{\displaystyle \frac{1}{\left\Vert A^{-1}\right\Vert }=1~,}
\]
那么根据定理 1 知 $I+A^{-1}P$ 可逆，从而
\[
A+P=A(I+A^{-1}P)~
\]
也可逆。
1. ^ 选 $\mathrm{A}$
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