线性变换与矩阵的代数关系

                     

贡献者: Relo Stern

   写在前面: 在本页中,我们将所有 $m$ 行 $n$ 列的实矩阵组成的集合记为 $\mathbb{R}^{m\times n}.$

   并记从 $\mathbb{R}^{n}$ 到 $\mathbb{R}^{m}$ 的一切线性变换全体构成的空间为 $L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m}).$

   为明确起见,本页所说的线性变换都是指有限维空间之间的线性变换,即 $L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$ 中的映射.

预备知识 线性空间、线性映射、单射、满射、可逆映射、矩阵乘法、范数

1. 1.矩阵的秩与线性变换的联系

定义 1 (矩阵的秩)

   矩阵的秩 既可以定义为其行向量组的秩(称为 行秩), 也可以定义为其列向量组的秩(称为 列秩), 这是因为矩阵的行秩和列秩被证明是相等的.

   :矩阵行向量组形成的空间称为 行空间, 行向量组的秩也正是行空间的维数; 列向量组形成的空间称为 列空间, 列向量组的秩也正是列空间的维数.

定义 2 (线性变换的秩)

   线性变换的秩 定义为其像空间的维数.

  

   下面的定理表明,矩阵与线性变换的秩在某种意义下是等同的.

定理 1 (像空间 $=$ 列空间)

   如果将矩阵看成线性变换,那么该变换的像空间的维数,恰是矩阵的列空间的维数.

   证明:设 $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$, $A$ 也可以看成从 $\mathbb{R}^{n}$ 到 $\mathbb{R}^{m}$ 的线性变换,那么取定 $\mathbb{R}^{n}$ 的标准基 $(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})$ 后, $A$ 的像空间就由 $\{Ae_{1},Ae_{2},\ldots,Ae_{n}\}$ 张成,因此像空间的维数就是 $\{Ae_{1},Ae_{2},\ldots,Ae_{n}\}$ 的极大无关组的个数,也就是 $\{Ae_{1},Ae_{2},\ldots,Ae_{n}\}$ 的秩; 而每个 $Ae_{i}$ 正好又是矩阵 $A$ 的第 $i$ 列,这就说明了 $A$ 的像空间的维数等于它的列空间的维数.$\square$

   :上述证明过程表明,对于看成线性变换的矩阵来说,其像空间正好就是其列空间.

  

   在介绍线性方程组的解的结构性定理时,很多书是采用初等行变换来证明的,这显然是有利于初学者接受的,但是不够优雅. 这里我们仅需巧妙地运用 定理 1 就能导出线性方程组的解的结构, 并且能对齐次和非齐次线性方程组做统一的处理.

定理 2 (线性方程组的解的结构性定理)

   设 $A\in\mathbb{R}^{m\times n},$ $b\in\mathbb{R}^{n\times1}$ 且 $b\neq0$.

   ① $Ax=0$ 有唯一解(即零解)$\Leftrightarrow$ $\ker A=\{0\}$ $\Leftrightarrow$ $A$ 是单射 $\Leftrightarrow$ $A$ 列满秩 $\Leftrightarrow$ $\mathrm{rank}$ $A=n.$

   ② $Ax=0$ 有无穷个解(即有非零解)$\Leftrightarrow$ $A$ 不是单射 $\Leftrightarrow$ $A$ 列不满秩 $\Leftrightarrow\mathrm{rank}$ $A < n.$

   ③ $Ax=b$ 无解 $\Leftrightarrow$ $b\notin\mathrm{Im}A$ $\Leftrightarrow$ $b\notin${$A$ 的列空间} $\Leftrightarrow$ $b$ 无法被 $A$ 的列向量组线性表出 $\Leftrightarrow$ $\mathrm{rank}$ $A < $ $\mathrm{rank}$ $(A:b).$

   ④ $Ax=b$ 有解 $\Leftrightarrow$ $b\in\mathrm{Im}A$ $\Leftrightarrow$ $b\in${$A$ 的列空间} $\Leftrightarrow$ $b$ 可以被 $A$ 的列向量组线性表出 $\Leftrightarrow$ $\mathrm{rank}$ $A=$ $\mathrm{rank}$ $(A:b).$

   ⑤ $Ax=b$ 有唯一解 $\Leftrightarrow$ $b\in\mathrm{Im}A$ 且 $A$ 是单射 $\Leftrightarrow$ $\mathrm{rank}$ $A=$ $\mathrm{rank}$ $(A:b)=n$ (结合 ①、④)

   ⑥ $Ax=b$ 有无穷多解 $\Leftrightarrow$ $b\in\mathrm{Im}A$ 且 $A$ 不是单射 $\Leftrightarrow$ $\mathrm{rank}$ $A=$ $\mathrm{rank}$ $(A:b) < n$ (结合 ②、④)

   :以上结果展示了将矩阵和线性变换视作 代数同构 的强大作用.

习题 1 

   对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$, 设 $\mathrm{rank}A=r$, 则($\quad$)

   $(\mathrm{A})$ $r=m$ 时,方程组 $Ax=b$ 有解

   $(\mathrm{B})$ $r=n$ 时,方程组 $Ax=b$ 有唯一解

   $(\mathrm{C})$ $n=m$ 时,方程组 $Ax=b$ 有唯一解

   $(\mathrm{D})$ $r < n$ 时,方程组 $Ax=b$ 有无穷多解

   答案:见末尾1

  

定理 3 

   若 $A\in\mathbb{R}^{n\times m}$, $B\in\mathbb{R}^{m\times n}$, 且 $AB=I_n$, 则 $A$ 作为线性算子是满射,$B$ 作为线性算子是单射.

   证明:先证 $A$ 是满射.由已知得 $B\in L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$, $A\in L(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{n})$. 若 $A$ 不满,$\mathrm{Im}A$ 真包含于 $\mathbb{R}^{n}$ 中,但是 $AB=I_{n}$ 说明 $\dim(\mathrm{Im}A)=n$, 矛盾.

   再证 $B$ 是单射.若 $Bx=0$, 则 $x=I_{n}x=(AB)x=A(Bx)=A0=0$, 说明 $\mathrm{Ker}B=\{0\}$. $\square$

   上面的定理有如下两个推论:

2. 2.矩阵与线性变换的范数

   线性空间上的范数是指其上的一个满足 非负正定性正齐次性三角不等式 的实值函数,记作 $\left\Vert \cdot\right\Vert ~~$ (参见《范数、赋范空间》的 定义 1 ). 对 $\mathbb{R}^n$ 中的一个向量 $x$, 我们一般将其看成列向量,并用 $|x|$ 来表示它的 欧氏范数 (也称为 ), 即 $$ |x|=\sqrt{x_1^2+x^2_2+\cdots+x_n^2}, \qquad\forall \,x\in \mathbb{R}^n. $$

定义 3 (线性变换的范数)

   设 $A\in L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$, 定义 \[ \left\Vert A\right\Vert =\max_{|x|=1}|A(x)|=\max_{x\neq0}{\displaystyle \frac{|A(x)|}{x}}. \]

   :可以证明 $L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$ 中的这个范数不仅满足非负正定性、正齐次性、三角不等式, 还满足

   $(\mathrm{iv})$ 向量范数相容性:$\left\Vert A(x)\right\Vert \leqslant\left\Vert A\right\Vert \left|x\right|$;

   $(\mathrm{v})$ 复合运算相容性:$\left\Vert B\circ A\right\Vert \leqslant\left\Vert B\right\Vert \left\Vert A\right\Vert $.

定义 4 (矩阵的范数)

   设 $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$, 定义

\begin{equation} \left\Vert A\right\Vert =\max_{|x|=1}|Ax|=\max_{x\neq0}{\displaystyle \frac{|Ax|}{x}}. \end{equation}

   :可以证明矩阵的这个范数不仅满足非负正定性、正齐次性、三角不等式,还满足

   $(\mathrm{iv})$ 向量范数相容性:$\left\Vert Ax\right\Vert \leqslant\left\Vert A\right\Vert \left|x\right|$;

   $(\mathrm{v})$ 乘法运算相容性:$\left\Vert BA\right\Vert \leqslant\left\Vert B\right\Vert \left\Vert A\right\Vert $.

定理 4 

   矩阵 $A$ 的范数 $\left\Vert A\right\Vert $ 可由以下公式计算: \[ \left\Vert A\right\Vert =\sqrt{\mu_{1}}, \] 其中 $\mu_{1}$ 为矩阵 $A^{T}A$ 的最大特征值.

   :矩阵按 定义 4 所定义的范数称为 矩阵的标准范数. 除此之外,矩阵 $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ 还常用以下范数: 矩阵按(式 1 ) 定义的范数称为矩阵的标准范数.除此之外,矩阵 $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ 常用以下范数: \[ \left\Vert A\right\Vert _{1}=\max_{1\leqslant j\leqslant m}{\sum_{i=1}^{n}|a_{ij}|},\quad\left\Vert A\right\Vert _{\infty}=\max_{1\leqslant i\leqslant n}{\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|},\quad\left\Vert A\right\Vert _{F}=\left(\sum_{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \] 分别称为矩阵的 列和范数行和范数Frobenius 范数 (简称 F 范数).

   可以证明,矩阵的范数自然会满足(也应该满足)非负正定性、正齐次性、三角不等式,但是却不一定要满足 $(\mathrm{iv})$ 和 $(\mathrm{v})$.比如,矩阵的列和范数与行和范数都不满足 $(\mathrm{iv})$,但满足 $(\mathrm{v})$;而矩阵的 F 范数则既满足 $(\mathrm{iv})$, 也满足 $(\mathrm{v})$.

定理 5 

   任意两个矩阵的范数是相互等价的.

   :等价范数的定义参见《范数、赋范空间》一节

  

定理 6 

   设 $A$ 是 $n\times n$ 方阵,且 $\left\Vert A\right\Vert < 1$, 则矩阵 $I-A$ 可逆,且 \[ I-A=\sum_{k=0}^{\infty}A^{k}, \] 即 ${\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}}\left\Vert I-A-{\displaystyle \sum_{i=0}^{k}A^{i}}\right\Vert =0.$ 并且此时成立不等式 \[ \left\Vert (I-A)^{-1}\right\Vert \leqslant{\displaystyle \frac{1}{1-\left\Vert A\right\Vert }.} \]

   :这在形式上与等比级数非常像,比如 \[ {\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{k}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}A^{k},\quad\quad|x|<1}\]

推论 1 

   可逆矩阵的小扰动仍是可逆矩阵;等价地,可逆线性变换的小扰动仍是可逆线性变换.

   : 若矩阵 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 可逆,取矩阵 $P\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 使其范数小于 $\frac{1}{\left\Vert A^{-1}\right\Vert }$, 则 \[ \left\Vert A^{-1}P\right\Vert \leqslant\left\Vert A^{-1}\right\Vert \left\Vert P\right\Vert <\left\Vert A^{-1}\right\Vert \cdot{\displaystyle \frac{1}{\left\Vert A^{-1}\right\Vert }=1,} \] 那么根据定理 1 知 $I+A^{-1}P$ 可逆,从而 \[ A+P=A(I+A^{-1}P) \] 也可逆.

推论 2 

   可逆矩阵函数在连续点附近仍是可逆的.

   (by R.Stern)


1. ^ 选 $\mathrm{A}$


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