矩阵的迹

贡献者： addis; JierPeter

预备知识　相似变换和相似矩阵

定义 1　矩阵的迹

　　令域 $F$ 上的 $N$ 维方阵 $A$ 的矩阵元为 $a_{i j} \in F$ ，它的迹（trace）定义为对角线上矩阵元之和

\begin{matrix} (1) & tr (A) = \sum_{i = 0}^{N} a_{i i} . \end{matrix}

　　矩阵的迹是刻画矩阵性质的一个量，它的优点在于满足以下一些性质，从而成为了分析矩阵的变换的利器。

1. 性质

定理 1　线性

　　矩阵的求迹操作是线性的，即对于域 $F$ 上的方阵 $A$ ， $B$ 和域中元素 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ，有

\begin{matrix} (2) & tr (c_{1} A + c_{2} B) = c_{1} tr (A) + c_{2} tr (B), \end{matrix}

　　证明留作练习。

定理 2　交换性

　　矩阵乘法的迹满足（ $A$ 和 $B$ 不必是方阵，但要求乘积是方阵。注意 $A B$ 的尺寸和 $B A$ 未必相同）

\begin{matrix} (3) & tr (A B) = tr (B A) . \end{matrix}

　　证明：令式 3 中 $A$ 为 $M \times N$ 的矩阵， $B$ 为 $N \times M$ 的矩阵

\begin{matrix} (4) & tr (A B) = \sum_{i = 1}^{M} \sum_{k = 1}^{N} a_{i k} b_{k i} = \sum_{i = 1}^{M} \sum_{k = 1}^{N} b_{k i} a_{i k} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{k = 1}^{M} b_{i k} a_{k i} = tr (B A), \end{matrix}

证毕。

定理 3　

　　相似矩阵的迹相等。

　　证明：根据交换性式 3 $tr (P^{- 1} A P) = tr (A P P^{- 1}) = tr (A),$ 证毕。

定理 4　

　　矩阵的迹等于它的所有 $N$ 个本征值 $λ_{i}$ 相加，如果某个本征值有 $n$ 重简并，就视为 $n$ 个本征值

\begin{matrix} (5) & tr (A) = \sum_{i = 0}^{N} λ_{i} . \end{matrix}

习题 1　

　　对于矩阵 $A$ ，若记其转置为 $A^{T}$ ，共轭为 $\overset{―}{A}$ ，厄米共轭为 $A^{†}$ ，那么有：

\begin{matrix} (6) & tr (A^{T}) = tr (A), tr (\overset{―}{A}) = \overset{―}{tr (A)} . \end{matrix}

由此可得推论：

tr (A^{†}) = tr (\overset{―}{A^{T}}) = \overset{―}{tr (A)}

。

例 1　

　　 $tr (A A^{†}) = 0$ 当且仅当 $tr (A) = 0$ 。

2. 矩阵的迹的应用实例

习题 2　

　　对于域 $C$ 上的方阵 $A$ ，如果 $A^{2} = A A^{†}$ ，求证 $A = A^{†}$ 。

　　提示：使用例 1 的结论，证明 $A - A^{†} = 0$ 即可。

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矩阵的迹

定义 1 矩阵的迹

1. 性质

定理 1 线性

定理 2 交换性

定理 3

定理 4

习题 1

例 1

2. 矩阵的迹的应用实例

习题 2

定义 1　矩阵的迹

定理 1　线性

定理 2　交换性

定理 3　

定理 4　

习题 1　

例 1　

习题 2　