矩阵的迹

             

预备知识 相似变换和相似矩阵

定义 1 矩阵的迹

   令 域 $\mathbb{F}$ 上的 $N$ 维方阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的矩阵元为 $a_{ij}\in\mathbb{F}$,它的迹(trace)定义为对角线上矩阵元之和

\begin{equation} \operatorname {tr}(A) = \sum_{i=0}^N a_{ii} \end{equation}

   矩阵的迹是刻画矩阵性质的一个量,它的优点在于满足以下一些性质,从而成为了分析矩阵的变换的利器.

1. 性质

定理 1 线性

   矩阵的求迹操作是线性的,即对于域 $\mathbb{F}$ 上的方阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $,$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和域中元素 $c_1$,$c_2$,有

\begin{equation} \operatorname {tr}(c_1 \boldsymbol{\mathbf{A}} +c_2 \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = c_1 \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + c_2 \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \end{equation}

   证明留作练习.

定理 2 交换性

   矩阵乘法的迹满足($ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 不必是方阵,但要求乘积是方阵.注意 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的尺寸和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 未必相同)

\begin{equation} \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \end{equation}

   证明:令式 3 中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为 $M\times N$ 的矩阵,$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 为 $N\times M$ 的矩阵

\begin{equation} \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = \sum_{i=1}^M \sum_{k=1}^N a_{ik}b_{ki} = \sum_{i=1}^M \sum_{k=1}^N b_{ki}a_{ik} = \sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^M b_{ik}a_{ki} = \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \end{equation}
证毕.

定理 3 

   相似矩阵的迹相等.

   证明:根据交换性式 3 $$ \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{P}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{P}} ) = \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{P}} \boldsymbol{\mathbf{P}} ^{-1}) = \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} )$$ 证毕.

定理 4 

   矩阵的迹等于它的所有 $N$ 个本征值 $\lambda_i$ 相加,如果某个本征值有 $n$ 重简并,就视为 $n$ 个本征值

\begin{equation} \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = \sum_{i=0}^N \lambda_i \end{equation}

习题 1 

   对于矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $,若记其转置为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} $,共轭为 $\overline{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }$,厄米共轭为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger$,那么有:

\begin{equation} \operatorname {tr}(A ^{\mathrm{T}} )= \operatorname {tr}(A), \qquad \operatorname {tr}(\overline{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })=\overline{ \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} )} \end{equation}
由此可得推论:$ \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger)= \operatorname {tr}(\overline{ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} })=\overline{ \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{A}} )}$.

例 1 

   $ \operatorname {tr}(AA^\dagger)=0$ 当且仅当 $ \operatorname {tr}(A)=0$.

2. 矩阵的迹的应用实例

习题 2 

   对于域 $\mathbb{C}$ 上的方阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $,如果 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2= \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger$,求证 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger$.

   提示:使用例 1 的结论,证明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} - \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger=0$ 即可.

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