转移矩阵

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 矢量空间的表示,相似变换和相似矩阵

1. 转移矩阵

   给定域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维矢量空间 $V$。如果 $V$ 有两个基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$,那么由于各 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_j$ 也是 $V$ 中的元素,故可以表示成 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_j=\sum\limits_{i=1}^na_{ij} \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$,因此我们可以把矢量也当作矩阵元素,写出以下矩阵等式:

\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \cdots \boldsymbol{\mathbf{e}} '_n)=( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1, \cdots \boldsymbol{\mathbf{e}} _n) \begin{pmatrix}a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}\\ a_{21},a_{22},\cdots,a_{2n}\\ \vdots\ddots\vdots\\ a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nn}\end{pmatrix} ~. \end{equation}

   矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} = \begin{pmatrix}a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}\\ a_{21},a_{22},\cdots,a_{2n}\\ \vdots\ddots\vdots\\ a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nn}\end{pmatrix} $ 就被称为基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 到基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 的一个转移矩阵(transition matrix),有的地方也译作过渡矩阵

例 1 

   证明:转移矩阵必须是可逆矩阵。

2. 转移矩阵和基的变换

   转移矩阵本身是表示基之间的变换的,但它也可以用来表示两个不同的基下各种表示的变换,比如向量的坐标、线性变换的矩阵等。

不同基下坐标的变换

   如果在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 中,向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的坐标是列向量 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} = \begin{pmatrix}c_1,\cdots, c_n\end{pmatrix} ^T$,那么就有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} =( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1, \cdots \boldsymbol{\mathbf{e}} _n) \begin{pmatrix}c_1\\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix} ~. \end{equation}

   同样地,如果在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 中,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的坐标是列向量 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \begin{pmatrix}c'_1,\cdots, c'_n\end{pmatrix} ^T$,则也有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} =( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \cdots \boldsymbol{\mathbf{e}} '_n) \begin{pmatrix}c'_1\\ \vdots \\ c_n'\end{pmatrix} ~. \end{equation}

   考虑到 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} $,联立式 1 式 2 式 3 即可得到:

\begin{equation} \begin{pmatrix}a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}\\ a_{21},a_{22},\cdots,a_{2n}\\ \vdots\ddots\vdots\\ a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c'_1\\ \vdots\\ c_n'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_1\\ \vdots\\ c_n\end{pmatrix} ~, \end{equation}

   式 4 也可以简单记为 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{c}} $,或者 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{c}} $。

不同基下线性变换的矩阵的变换

   设 $T$ 是 $V$ 上的一个线性变换,基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 到 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 的转移矩阵是 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} $。向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 下的坐标分别是 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} '$,而 $T$ 的矩阵分别是 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} '$。

   $T \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 下的坐标就分别是 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{c}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ' \boldsymbol{\mathbf{c}} '$。由坐标的变换可知,$ \boldsymbol{\mathbf{Q}} \boldsymbol{\mathbf{M}} ' \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{c}} $,即 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ' \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{c}} $。

   又因为 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{c}} $,故有 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ' \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{Q}} \boldsymbol{\mathbf{c}} '$。

   也就是说,如果在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 下,线性变换 $T$ 的矩阵是 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $,那么在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 下,$T$ 的矩阵应该是 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{Q}} $。

   由此可见,矩阵的相似变换就是同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的变换。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利