过渡矩阵

             

预备知识 矢量空间的表示

1. 过渡矩阵

   给定域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维矢量空间 $V$.如果 $V$ 有两个基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$,那么由于各 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_j$ 也是 $V$ 中的元素,故可以表示成 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_j=\sum\limits_{i=1}^na_{ij} \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$,因此我们可以把矢量也当作矩阵元素,写出以下矩阵等式:

\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \cdots \boldsymbol{\mathbf{e}} '_n)=( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1, \cdots \boldsymbol{\mathbf{e}} _n) \begin{pmatrix}a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}\\ a_{21},a_{22},\cdots,a_{2n}\\ \vdots\ddots\vdots\\ a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nn}\end{pmatrix} \end{equation}

   矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} = \begin{pmatrix}a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}\\ a_{21},a_{22},\cdots,a_{2n}\\ \vdots\ddots\vdots\\ a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nn}\end{pmatrix} $ 就被称为基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 到基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 的一个过渡矩阵(transition matrix)

例 1 

   证明:过渡矩阵必须是可逆矩阵.

2. 过渡矩阵和基的变换

   过渡矩阵本身是表示基之间的变换的,但它也可以用来表示两个不同的基下各种表示的变换,比如向量的坐标、线性变换的矩阵等.

不同基下坐标的变换

   如果在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 中,向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的坐标是列向量 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} = \begin{pmatrix}c_1,\cdots, c_n\end{pmatrix} ^T$,那么就有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} =( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1, \cdots \boldsymbol{\mathbf{e}} _n) \begin{pmatrix}c_1\\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix} \end{equation}

   同样地,如果在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 中,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的坐标是列向量 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \begin{pmatrix}c'_1,\cdots, c'_n\end{pmatrix} ^T$,则也有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} =( \boldsymbol{\mathbf{e}} '_1, \cdots \boldsymbol{\mathbf{e}} '_n) \begin{pmatrix}c'_1\\ \vdots \\ c_n'\end{pmatrix} \end{equation}

   考虑到 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} $,联立式 1 式 2 式 3 即可得到:

\begin{equation} \begin{pmatrix}a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}\\ a_{21},a_{22},\cdots,a_{2n}\\ \vdots\ddots\vdots\\ a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c'_1\\ \vdots\\ c_n'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_1\\ \vdots\\ c_n\end{pmatrix} \end{equation}

   式 4 也可以简单记为 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{c}} $,或者 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{c}} $.

不同基下线性变换的矩阵的变换

   设 $T$ 是 $V$ 上的一个线性变换,基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 到 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 的过渡矩阵是 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} $.向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 下的坐标分别是 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} '$,而 $T$ 的矩阵分别是 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} '$.

   $T \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 下的坐标就分别是 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{c}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ' \boldsymbol{\mathbf{c}} '$.由坐标的变换可知,$ \boldsymbol{\mathbf{Q}} \boldsymbol{\mathbf{M}} ' \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{c}} $,即 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ' \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{c}} $.

   又因为 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{c}} $,故有 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ' \boldsymbol{\mathbf{c}} '= \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{Q}} \boldsymbol{\mathbf{c}} $.

   也就是说,如果在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i=1}^{n}$ 下,线性变换 $T$ 的矩阵是 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $,那么在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} '_i\}_{i=1}^{n}$ 下,$T$ 的矩阵应该是 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{Q}} \boldsymbol{\mathbf{c}} $.

   由此可见,矩阵的相似变换就是同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的变换.

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