外代数

             

预备知识 张成空间,四元数,域上的代数

   外代数是一种利用已有线性空间构造 “代数” 这一对象的通用方法,同时蕴含了对三维矢量分析中代数结构的本质解释.

1. 外代数的概念

   给定线性空间 $V$,任取 $x, y\in V$,定义 $x\wedge y\not\in V$ 是一个新的元素,其中符号 $\wedge$ 称作外积(exterior product),有时也叫做楔积(wedge product),前者是因为这个运算得到的是 $V$ 以外的新元素,后者是由于符号长得像个楔子.注意,为了方便,我们没有使用线性代数中常见的粗体正体符号来表示向量.

   利用各 $x\wedge y$ 构造新的线性空间:定义 $x\wedge y=-y\wedge x$ 对所有 $x, y\in V$ 成立,这同时意味着 $x\wedge x=0$.集合 $\{x\wedge y|x, y\in V\}$ 张成的线性空间,记为 $\bigwedge^2 V$.同时,为了统一考虑,记 $V=\bigwedge^1 V$.

   $\bigwedge^1 V$ 和 $\bigwedge^2 V$ 之间也可以进行楔积,并且满足结合律:$x\wedge(y\wedge z)=(x\wedge y)\wedge z$,由此可以拿掉结合括号,定义 $x\wedge y\wedge z=x\wedge(y\wedge z)=(x\wedge y)\wedge z$.集合 $\{x\wedge y\wedge z|x, y, z\in V\}$ 张成的线性空间,记为 $\bigwedge^3 V$.

   同理,我们可以构造出任意阶的 $\bigwedge^k V$.要注意的是,如果 $k > \operatorname {dim} V$,那么 $\bigwedge^k V=\{0\}$.另外,把 $V$ 的基本域 $\mathbb{F}$ 看成一个一维线性空间,记 $\mathbb{F}=\bigwedge^0 V$.

   不同线性空间之间可以用直和组合在一起,因此以上这些空间也都可以作直和,得到一个 $\bigwedge V=\bigoplus_k\bigwedge^k V=\mathbb{F}\oplus\bigwedge^1V\oplus\bigwedge^2V\cdots$.这个 $\bigwedge V$,就被称作 $V$ 上的外积空间(exterior product space)楔积空间(wedge product space).$\mathbb{F}$ 是 $V$ 的基域,视为 $\mathbb{F}$ 自身上的一维线性空间.

定理 1 外代数

   任给域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $V$,则外积 $\wedge$ 是一个 $\bigwedge V$ 上的向量乘法,并且满足结合性,有单位元 $1\in \bigwedge^0 V$,故构成一个 $\mathbb{F}$ 上的代数.称这个代数为 $V$ 上的外代数(exterior algebra)格拉斯曼代数(Grassmann algebra)

   外代数中的元素可以有形象的几何理解.$\bigwedge^1 V$ 中的元素就是 $V$ 中的元素,我们可以想象成箭头.$\bigwedge^2 V$ 中的元素可以看成箭头对,或者是箭头对表示的平行四边形.同样,$\bigwedge^k V$ 中的元素都可以看成是 $k$ 个箭头张成的一个 $k$ 维对象.

   外代数有一个重要的性质,我们用习题 1 习题 2 来阐述:

习题 1 

   证明:如果 $k > \operatorname {dim} V$,那么 $\bigwedge^kV=\{0\}$.

习题 2 

   证明:对于 $ \operatorname {dim} V=k$,有 $ \operatorname {dim} \bigwedge V=2^k$.思路提示:考虑各 $ \operatorname {dim}\bigwedge^iV$ 的值,再对比 $(1+1)^k$ 的二项式展开.

   三维欧几里得空间 $\mathbb{R}^3$ 中的叉乘实际上就是外积.这是因为,$ \operatorname {dim}\mathbb{R}^3= \operatorname {dim}\bigwedge^2\mathbb{R}^3$,这样一来,如果给定 $\mathbb{R}^3$ 的标准正交基 $\{x, y, z\}$,那么我们可以建立同构 $*: \bigwedge^2\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^3$,使得 $*(x\wedge y)=z, *(y\wedge z)=x, *(z\wedge x)=y$,这样就可以通过这个同构来把外积变成 $\mathbb{R}^3$ 内部的向量积.这一映射也是叉乘的 “右手定则” 的来源,我们也完全可以规定 $*(x\wedge y)=-z, *(y\wedge z)=-x, *(z\wedge x)=-y$,这样定义出来的叉乘就是符合左手定则的了.

   三维线性空间是唯一可以构造反交换代数的非平凡空间,就是因为只有三维的 $V$ 才满足 $ \operatorname {dim}V= \operatorname {dim}\bigwedge^2V$,因而可以建立 $\bigwedge^2 V$ 和 $V$ 之间的同构,从而把楔积变成叉积.相应地,比复数更高维的可除代数只有四元数.

   外代数是一个 “分次线性空间(graded vector space)”,就是说,它作为一个线性空间,每个向量具有一个 “次数”,定义如下:每个 $\bigwedge^kV$ 中的向量,其次数(grade)就是 $k$;对于任意向量 $v\in V$,我们总可以把它拆分成各 $\bigwedge^kV$ 中基向量的线性组合,这些基向量中次数最高的就定义为 $v$ 的次数.

2. 对偶空间的外代数

   实流形上中极为常见的外代数是微分形式生成的外代数,也就是所谓的外微分.由于一个微分 $k$-形式可以看成是将 $k$ 个向量场变成一个光滑函数的映射,也就是在每个切点处都是一个将 $k$ 个切向量变成一个实数的张量,因此要研究微分形式的外代数,首先就要搞清楚对偶空间的外代数.

   对偶空间中的元素,都是主空间中的线性函数.$k$ 个线性函数的外积,被定义为 “将 $k$ 两个主空间向量映射为一个数” 的多重线性映射.我们自然想到将 $k$ 个向量的映射联系到对偶空间外代数中的 $k$ 阶元素.

   具体来说,假如我们有两个多重线性映射 $f$ 和 $g$,分别是 $n$ 阶和 $m$ 阶的,那么我们定义 $f\wedge g$ 为如下 $n+m$ 阶多重线性映射:

\begin{equation} \begin{aligned} &f\wedge g(v_1, v_2, \cdots, v_{n+m})\\= &\sum\limits_{\sigma\in S_{n+m}} \operatorname {sgn}(\sigma) f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \cdots, x_{\sigma(n)})\cdot g(x_{\sigma(n+1)}, \cdots, x_{\sigma(n+m)}) \end{aligned} \end{equation}
其中 $\sigma$ 是一个 $n+m$ 元置换,当 $\sigma$ 为奇变换时 $ \operatorname {sgn}(\sigma)$ 为 $-1$,$\sigma$ 为偶变换时 $ \operatorname {sgn}(\sigma)$ 为 $1$.

   最简单的例子,就是两个对偶向量的外积.设 $V^*$ 是线性空间 $V$ 的对偶空间,令 $f, g\in V^*$,那么对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{u}} \in V$,我们有:

\begin{equation} f\wedge g( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{u}} )=f( \boldsymbol{\mathbf{v}} )g( \boldsymbol{\mathbf{u}} )-f( \boldsymbol{\mathbf{u}} )g( \boldsymbol{\mathbf{v}} ) \end{equation}
其中一共涉及置换群 $S_2$ 中的两个置换,$(1)$ 和 $(1\phantom{2}2)$,分别是偶置换和奇置换.

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