外代数

贡献者： 零穹; JierPeter; 叶月2_; Giacomo

　　 外代数是 Clifford 代数的一个特例，也可视为交错张量。

1. 外代数的概念

　　 给定线性空间 $V$，任取 $x,y\in V$，定义 $x\wedge y\notin V$ 是一个新的元素，其中符号 $\wedge$ 称作外积（exterior product），有时也叫做楔积（wedge product），前者是因为这个运算得到的是 $V$ 以外的新元素，后者是由于符号长得像个楔子。注意，为了方便，我们没有使用线性代数中常见的粗体正体符号来表示向量。

　　 利用各 $x\wedge y$ 构造新的线性空间：定义 $x\wedge y=-y\wedge x$ 对所有 $x,y\in V$ 成立，这同时意味着 $x\wedge x=0$。定义一个加法 $+$，使得对于 $x_1,x_2,y\in V$，都有 $(x_1+x_2)\wedge y=x_1\wedge y+x_2\wedge y$；再定义数乘为对于任意基本域中的数字 $a$，都有 $a(x\wedge y)=(ax)\wedge y=x\wedge (ay)$。这样，集合 $\{x\wedge y|x,y\in V\}$ 构成一个线性空间，记为 $\stackrel{2}{\bigwedge }V$。同时，为了统一考虑，记 $V=\stackrel{1}{\bigwedge }V$。

　　 $\stackrel{1}{\bigwedge }V$ 和 $\stackrel{2}{\bigwedge }V$ 之间也可以进行楔积，并且满足结合律：$x\wedge (y\wedge z)=(x\wedge y)\wedge z$，由此可以拿掉结合括号，定义 $x\wedge y\wedge z=x\wedge (y\wedge z)=(x\wedge y)\wedge z$。集合 $\{x\wedge y\wedge z|x,y,z\in V\}$ 张成的线性空间，记为 $\stackrel{3}{\bigwedge }V$。

　　 同理，我们可以构造出任意阶的 $\stackrel{k}{\bigwedge }V$。要注意的是，如果 $k>\dim V$，那么 $\stackrel{k}{\bigwedge }V=\{0\}$（幂零性使然）。另外，把 $V$ 的基本域 $\mathbb{F}$ 看成一个一维线性空间，记 $\mathbb{F}=\stackrel{0}{\bigwedge }V$。

　　 不同线性空间之间可以用直和组合在一起，因此以上这些空间也都可以作直和，得到一个 $\bigwedge V=\underset{k=0}{\overset{\dim V}{⨁}}\stackrel{k}{\bigwedge }V=\mathbb{F}\oplus \stackrel{1}{\bigwedge }V\oplus \stackrel{2}{\bigwedge }V\cdots$。这个 $\bigwedge V$，就被称作 $V$ 上的外积空间（exterior product space）或楔积空间（wedge product space）。总结上述限制条件，我们便得到了外代数的运算结构。

　　 外代数中的元素可以有形象的几何理解。$\stackrel{1}{\bigwedge }V$ 中的元素就是 $V$ 中的元素，我们可以想象成箭头。$\stackrel{2}{\bigwedge }V$ 中的元素可以看成箭头对，或者是箭头对表示的平行四边形。同样，$\stackrel{k}{\bigwedge }V$ 中的元素都可以看成是 $k$ 个箭头张成的一个 $k$ 维对象。

　　 外代数有一个重要的性质，我们用习题 1 和习题 2 来阐述：

　　 设 $\{{\mathbf{e}}_i{\}}_{i=0}^n$ 为线性空间 $V$ 的基。则 $\stackrel{k}{\bigwedge }V$ 的基由 $k$ 个基向量外积得到，维度为 $C_n^k$。比如对于基矢组为 $\{{\mathbf{e}}_i{\}}_{i=1}^3$ 的三维向量空间，$\stackrel{2}{\bigwedge }V$ 上的基为 $\{{\mathbf{e}}_1\wedge {\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_2\wedge {\mathbf{e}}_3,{\mathbf{e}}_1\wedge {\mathbf{e}}_3\}$。

　　 三维欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^3$ 中的叉乘实际上就是外积。这是因为，$\dim {\mathbb{R}}^3=\dim \stackrel{2}{\bigwedge }{\mathbb{R}}^3$，这样一来，如果给定 ${\mathbb{R}}^3$ 的标准正交基 $\{x,y,z\}$，那么我们可以建立同构 $\ast :\stackrel{2}{\bigwedge }\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3$，使得 $\ast (x\wedge y)=z,\ast (y\wedge z)=x,\ast (z\wedge x)=y$，这样就可以通过这个同构来把外积变成 ${\mathbb{R}}^3$ 内部的向量积。这一映射也是叉乘的 “右手定则” 的来源，我们也完全可以规定 $\ast (x\wedge y)=-z,\ast (y\wedge z)=-x,\ast (z\wedge x)=-y$，这样定义出来的叉乘就是符合左手定则的了。

　　 三维线性空间是唯一可以构造反交换代数的非平凡空间，就是因为只有三维的 $V$ 才满足 $\dim V=\dim \stackrel{2}{\bigwedge }V$，因而可以建立 $\stackrel{2}{\bigwedge }V$ 和 $V$ 之间的同构，从而把楔积变成叉积。相应地，比复数更高维的可除代数只有四元数。

　　 外代数是一个 “分次线性空间（graded vector space）”，就是说，它作为一个线性空间，每个向量具有一个 “次数”，定义如下：每个 $\stackrel{k}{\bigwedge }V$ 中的向量，其次数（grade）就是 $k$；对于任意向量 $v\in \bigwedge V$，我们总可以把它拆分成各 $\stackrel{k}{\bigwedge }V$ 中基向量的线性组合，这些基向量中次数最高的就定义为 $v$ 的次数。

2. 对偶空间的外代数

　　 实流形上极为常见的外代数是微分形式生成的外代数，也就是所谓的外微分。由于一个微分 $k$-形式可以看成是将 $k$ 个向量场变成一个光滑函数的映射，也就是在每个切点处都是一个将 $k$ 个切向量变成一个实数的张量，因此要研究微分形式的外代数，首先就要搞清楚对偶空间的外代数。

　　 对偶空间中的元素，都是主空间中的线性函数。$k$ 个线性函数的外积，被定义为 “将 $k$ 个主空间向量映射为一个数” 的多重线性映射。我们自然想到将 $k$ 个向量的映射联系到对偶空间外代数中的 $k$ 阶元素。

　　 具体来说，假如我们有两个多重线性映射 $f$ 和 $g$，分别是 $n$ 阶和 $m$ 阶的，那么我们定义 $f\wedge g$ 为如下 $n+m$ 阶多重线性映射：

　　 最简单的例子，就是两个对偶向量的外积。设 $V^{\ast }$ 是线性空间 $V$ 的对偶空间，令 $f,g\in V^{\ast }$，那么对于任意 $\mathbf{v},\mathbf{u}\in V$，我们有：