二元关系

                     

贡献者: hfb25; JierPeter; addis; xiaokuc; lrqlrqlrq

预备知识 集合

1. 关系

   在 “集合” 中我们只关心了集合的基数,即集合中元素的数目。在这种语境下,任何两个元素数量相同的集合都可以看作是同一个集合。但是仅仅讨论集合的基数未免太过单调,缺少了很多有意思的理论,于是我们希望在集合的元素之间建立一些结构,来进行更细致的划分和研究。

   关系(relation)是集合上最基础的一种结构。给定一个关系,我们就可以讨论一些元素之间是否满足这个关系。比如说,如果取一家三口构成一个集合,$\sim$ 代表的是 “年龄大于”,那么我们可以说 “爸爸对于孩子具有这个关系”,但是反过来 “孩子对于爸爸不具有这个关系”。从这个例子可以看出,关系的表达方式很灵活,而且可以是有方向性的。讨论关系时,我们唯一关心的是给定元素之间是否具有这样的关系。

   关系可以用在两个元素之间,也可以用在三个元素之间,甚至可以用在不特定的元素之间。

2. 二元关系

   在绝大多数数学和物理领域,我们只关心集合上的二元关系(binary relation)。如果 $\sim$ 是在集合 $A$ 上定义的一个二元关系,那么任意给定两个元素,我们都可以讨论它们之间是否具有这种关系,但如果给定三个元素,讨论就没有意义了。比如,如果 $\sim$ 的定义是 “年龄大于”,那么把三个人的年龄都拿过来比较就没有意义;不过,如果 $\sim$ 的定义是 “比后面两个人的年龄都大”,那么 $\sim$ 就可以用在三个人身上。

   对于集合 $A$ 上的二元关系 $\sim$,如果 $x, y\in A$ 满足这个关系,我们可以把这句话表述为 $x\sim y$。如果不满足,则可以表述为 $x\not\sim y$。用这样简洁的表示方法,我们可以把以上 “年龄大于” 的关系表述如下:

\begin{equation} \text{爸爸}\sim\text{孩子} \qquad \text{妈妈}\sim\text{孩子} \qquad \text{孩子}\not\sim\text{爸爸} \qquad \text{孩子}\not\sim\text{妈妈} \qquad \end{equation}
爸爸和妈妈之间,在没有进一步信息的情况下,无法判断是否满足这个关系,但这个关系是存在的。也就是说,元素间的关系一共有两种状态:满足和不满足。

   在数学上,二元关系的严格定义是:

定义 1 二元关系

   设 $A \times A$ 的子集 $R$,如果集合 $A$ 中的两个元素 $a,b$ 满足 $(a,b) \in R$ ,那么就称 $a,b$ 满足关系 $R$。也称 $a,b$ 是 $R-$ 相关的,并且记作 $aRb$.

   下面是一个简单的例子:

例 1 

   设集合 $A=\{1,2\}$ 上的关系 $R$ 为 $a < b,\ \forall (a,b)\in A^2$.

   集合 $A$ 的笛卡尔积为:

\begin{equation} A^2 = \{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\} \end{equation}
那么就有:
\begin{equation} R=\{(1,2)\}\subset A^2 \end{equation}

   我们注意到在 $\mathbb{R}$ 上,装备着小于关系和大于关系,它们间有一种对偶的联系,因此我们引入对偶关系来描述这种联系。

3. 对偶关系

定义 2 对偶关系

   设 $R$ 是非空集合 $A$ 上的一个二元关系. 我们定义 $A$ 上的另一个关系 $R^{d}$ 如下:

   $(x, y) \in R^{d} \Leftrightarrow(y, x) \in R$

   我们称 $R^{d}$ 是 $R$ 的对偶关系

   对偶关系描述的是二元关系的对称性,同时容易验证,存在着一些二元关系,它们的对偶关系是自身。

4. 等价关系

   最基础的一类关系,是等价关系(equivalence),它也是一类满足对偶关系是自己的关系(即对称性)

定义 3 等价关系

   在集合 $A$ 上定义的关系 $\sim$ 是一个等价关系,要求满足条件:

  1. 自反性:$\forall x\in A, x\sim x$;
  2. 对称性:$\forall x, y\in A, x\sim y \Rightarrow y\sim x$;
  3. 传递性:$\forall x, y, z\in A, x\sim y, y\sim z\Rightarrow x\sim z$。

   注:等价关系定义中的自反性可去除,因对称性和传递性可以推出自反性。

   如果把 “具有关系 $\sim$” 看成是两个元素间相互连接(没有方向性,因为对称性),传递性保证了当多个元素相连时,这些元素也两两互联;自反性甚至保证了每个元素必然和自身相连。由此一来,我们可以根据等价关系把集合 $A$ 划分成等价类(equivalence class),每个等价类都是 $A$ 的一个子集,所包含的元素彼此相连。

   等价类的划分是数学中非常重要的思维方法,它可以将每一个等价类中的元素都看成是无差别的,大大简化一个集合的复杂程度。有了等价关系后,我们可以用相应的等价类来组成一个新的集合,这样的集合被称作商集(quotient set)。和原来集合中的元素不一样,商集中的元素是原集合中的子集。

   作为例子,我们取全体非负整数的集合 $\mathbb{Z}$,并在上面定义关系 $\sim$ 为 “两数的差是 3 的倍数”,那么容易验证,$1\sim4, 7\sim304, 0\not\sim 77, 77\not\sim 1$。利用这个等价关系,我们可以把非负整数集合划分成三个等价类,分别是 $\{0, 3, 6, 9, 12\cdots \}$,$\{1, 4, 7, 10, 13\cdots\}$ 和 $\{2, 5, 8, 11, 14\cdots\}$。这样,我们可以得到一个含有三个元素的商集,用数学专业术语来说,叫做集合 $A$ 模去关系 $\sim$ 所得的商集。这里的模(mod)的意思来自于 “除法”,在群论中会看到为什么用除法来命名商集。

  

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5. 序关系

   另一类比较基础的关系是序关系(ordering relation)。在集合 $A$ 上定义的关系 $\prec$(一般也可以写成 $\leq$ 或 $\leqslant$)是一个序关 系,要求满足条件:

  1. 自反性:$\forall x\in A,x\prec x$;
  2. 反对称性:$\forall x,y\in A,\ x\prec y,\ y\prec x \Rightarrow x = y $;
  3. 传递性:$\forall x,y,z\in A,\ x\prec y,\ y\prec z \Rightarrow x\prec z $。

   序关系是比较基础的一类关系,它在数学各个学科中广泛运用。

   序关系也是序论的中心课题。接下来,我们将主要探讨序关系。


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