换元积分法

             

预备知识 不定积分,复合函数求导

1. 第一类换元积分法

   由复合函数的求导法则,令 $F'(x) = f(x)$,则

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} F[u(x)] = f[u(x)]u'(x) \end{equation}
由于求导的逆运算是积分,有
\begin{equation} \int f[u(x)]u'(x) \,\mathrm{d}{x} = F[u(x)] + C \end{equation}
所以如果某个积分可以看成 $\int f[u(x)]u'(x) \,\mathrm{d}{x} $ 的形式,且 $F(x)$ 较容易求出,即可根据式 2 写出结果.这种方法叫做第一类换元积分法.这类换元积分法的技巧就在于如何看出被积函数的的结构是 $\int f[u(x)]u'(x) \,\mathrm{d}{x} $,只有多练习才能熟能生巧.

例 1 

   计算

\begin{equation} \int a \sin\left(ax + b\right) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
令 $f(x) = \sin\left(x\right) $,$u(x) = ax + b$,则上式刚好是 $\int f[u(x)]u'(x) \,\mathrm{d}{x} $ 的形式.从基本初等函数积分表 已知 $\sin x$ 的一个原函数是 $F(x) = -\cos x$,那么答案就是
\begin{equation} F[u(x)] + C = - \cos\left(ax + b\right) + C \end{equation}

   总结到更一般的情况,根据换元积分法,若已知 $\int f(x) \,\mathrm{d}{x} = F(x) + C$,则对于任意常数 $a$ 和 $b$,必有 $\int a \,f(ax + b) \,\mathrm{d}{x} = F(ax + b)$.根据积分的基本性质,两边同除 $a$,得

\begin{equation} \int f(ax + b) \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{a} F(ax + b) + C \end{equation}
该式使用频率很高,需要熟练掌握.类似例子还有
\begin{equation} \int \frac{1}{ax+b} \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{a} \ln\left(ax + b\right) +C \qquad \int \mathrm{e} ^{ax + b} \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{a} \mathrm{e} ^{ax + b}+C \end{equation}
等等.

2. 积分变量替换

   换元积分法的过程在形式上可以记为(见微分

\begin{equation} \begin{aligned} \int f[u(x)]u'(x) \,\mathrm{d}{x} &= \int f[u(x)] \,\mathrm{d}{[u(x)]} = \int f(u) \,\mathrm{d}{u} = F(u)+C\\ &= F[u(x)]+C \end{aligned} \end{equation}
该式把积分变量由 $x$ 换成了 $u$,故称为换元积分法

3. 第二类换元积分法

   第二类换元积分法从某种意义上和第一类换元积分相反.若要对一个函数积分,先把它的自变量看做另一个变量的函数,再逆向使用式 7 ,即可化简积分.

\begin{equation} \int f(x) \,\mathrm{d}{x} = \int f[x(t)] \,\mathrm{d}{[x(t)]} = \int f[x(t)]x'(t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
这个积分看似复杂了,但是如果 $x(t)$ 选取适当,反而可以使计算化简.

例 2 

   计算

\begin{equation} \int \frac{ \,\mathrm{d}{x} }{\sqrt{1-x^2}} \end{equation}
显然 $x \in ( - 1,1)$,选取 $x(t)=\sin t$.替换后的定义域为 $t \in ( -\pi/2,\pi/2)$,函数单调递增1.上面积分变为
\begin{equation} \int \frac{ \,\mathrm{d}{x} }{\sqrt{1-x^2}} = \int \frac{ \,\mathrm{d}{\sin t} }{\sqrt{1-\sin^2 t}} = \int \frac{\cos t \,\mathrm{d}{t} }{\cos t} = \int 1 \,\mathrm{d}{t} = t + C = \arcsin x + C \end{equation}
验证:根据反函数求导法则
\begin{equation} \arcsin'x = \frac{1}{ \cos\left(\arcsin x\right) } = \frac{1}{\sqrt {1 - {x^2}} } \end{equation}


1. ^ 注意任何积分换元法中的两个变量必须有一一对应的关系,即相互的函数关系在定义域内都为单调.

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