积分表

                     

贡献者: addis

预备知识 不定积分

   这里给出一个基本积分表和一个常用积分表,前者建议熟记。部分积分有的给出计算步骤,没有给出则是由基本初等函数的导数直接逆向得出。所有的不定积分公式都可以通过求导验证。

   应用换元积分法,表中任何积分都可以拓展为

\begin{equation} \int f(ax+b) \,\mathrm{d}{x} = \frac1a F(ax+b) + C~. \end{equation}

1. 基本积分表

\begin{equation} \int x^a \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{a + 1} x^{a + 1} + C \quad(a \in R, a \ne - 1)~. \end{equation}
\begin{equation} \int \frac{1}{x} \,\mathrm{d}{x} = \ln \left\lvert x \right\rvert + C \quad\text{(例 6)}~. \end{equation}
\begin{equation} \int \cos x \,\mathrm{d}{x} = \sin x + C ~. \end{equation}
\begin{equation} \int \sin x \,\mathrm{d}{x} = - \cos x + C~. \end{equation}
\begin{equation} \int \tan x \,\mathrm{d}{x} = -\ln \left\lvert \cos x \right\rvert + C \quad\text{(例 2)}~. \end{equation}
\begin{equation} \int \cot x \,\mathrm{d}{x} = \ln \left\lvert \sin x \right\rvert + C \quad\text{(例 3)}~. \end{equation}
\begin{equation} \int \frac{1}{\cos^2 x} \,\mathrm{d}{x} = \tan x + C~. \end{equation}
\begin{equation} \int \frac{1}{1 + x^2} \,\mathrm{d}{x} = \arctan x + C~. \end{equation}
\begin{equation} \int \mathrm{e} ^x \,\mathrm{d}{x} = \mathrm{e} ^x + C~. \end{equation}
\begin{equation} \int x{ \mathrm{e} ^x} \,\mathrm{d}{x} = \mathrm{e} ^x (x-1) + C \quad\text{(例 7)}~. \end{equation}
\begin{equation} \int a^x \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{\ln a} a^x + C \quad\text{(例 1)}~. \end{equation}

2. 常用积分表

\begin{equation} \int \sin^2 x \,\mathrm{d}{x} = \frac12 (x - \sin x\cos x) + C \quad\text{(例 4)}~. \end{equation}
\begin{equation} \int \cos^2 x \,\mathrm{d}{x} = \frac12 (x + \sin x \cos x) + C \quad\text{(例 5)}~. \end{equation}
\begin{equation} \int \sec x \,\mathrm{d}{x} = \ln \left\lvert \tan x + \sec x \right\rvert + C \quad\text{(例 11)}~. \end{equation}
\begin{equation} \int \ln x \,\mathrm{d}{x} = x\ln x - x + C \quad\text{(例 8)}~. \end{equation}
\begin{equation} \int \sqrt{a^2 - x^2} \,\mathrm{d}{x} = \frac12 \left(x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2\arcsin\frac xa \right) + C \quad\text{(例 9)}~. \end{equation}
\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\mathrm{d}{x} = \arcsin\left(x\right) + C \quad\text{(例 10)}~. \end{equation}
\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \,\mathrm{d}{x} = \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) + C = \sinh^{-1} x + C \quad\text{(例 12)}~. \end{equation}

3. 定积分

\begin{equation} \int_0^{\pi/2} \cos^{n}\theta \,\mathrm{d}{\theta} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{\Gamma(n/2+1/2)}{\Gamma(n/2+1)}~, \end{equation}
其中 $n$ 是满足 $ \operatorname{Re} [n] > -1$ 的任意复数1

例 1 

  

\begin{equation} \int a^x \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
我们已经知道如何算 $ \mathrm{e} ^x$ 的积分,而 $a = \mathrm{e} ^{\ln a}$,再根据式 1 就有
\begin{equation} \int \mathrm{e} ^{ \ln\left(a\right) x} \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{\ln a} \mathrm{e} ^{ \ln\left(a\right) x} + C = \frac{1}{\ln a}a^x + C~. \end{equation}

例 2 

  

\begin{equation} \int \tan x \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
这个积分用第一类换元积分法(式 2
\begin{equation} \int f[u(x)]u'(x) \,\mathrm{d}{x} = F[u(x)] + C~. \end{equation}
首先 $\tan x = \sin x/ \cos x$,令 $u(x) = \cos x$,则 $\sin x = -u'(x)$,对比得 $f(x) = -1/x$ 其原函数为 $F(x) = -\ln \left\lvert x \right\rvert $,所以
\begin{equation} \int \tan x \,\mathrm{d}{x} = \int f[u(x)] u'(x) \,\mathrm{d}{x} = F[u(x)] + C = -\ln \left\lvert \cos x \right\rvert + C~. \end{equation}

例 3 

   类似例 2 ,$\cot x = \cos x/\sin x$,令 $u(x) = \sin x$,则 $\cos x = u'(x)$,对比得 $f(x) = 1/x$,原函数为 $F(x) = \ln \left\lvert x \right\rvert $(式 3 ),所以

\begin{equation} \int \cot x \,\mathrm{d}{x} = F[u(x)] + C = \ln \left\lvert \sin x \right\rvert + C~. \end{equation}

例 4 

  

\begin{equation} \int \sin^2 x \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
用降幂公式(式 10 )和不定积分的线性(式 4 )把上式变为常数的积分和 $\cos 2x$ 的积分,再利用式 4 式 1 计算后者即可
\begin{equation} \begin{aligned} \int \sin^2 x \,\mathrm{d}{x} &= \int \frac12 \,\mathrm{d}{x} - \frac12\int \cos 2x \,\mathrm{d}{x} \\ &= \frac{x}{2} - \frac14 \sin\left(2x\right) = \frac12 (x - \sin x \cos x) + C~. \end{aligned} \end{equation}

例 5 

  

\begin{equation} \int \cos^2 x \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
例 4 类似,用三角恒等式 $\cos^2(x) = [1 + \cos\left(2x\right) ]/2$ 得
\begin{equation} \begin{aligned} \int \cos^2 x \,\mathrm{d}{x} &= \int \frac12 \,\mathrm{d}{x} + \frac12\int \cos\left(2x\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \frac{x}{2} + \frac14 \sin\left(2x\right) = \frac12 (x + \sin x \cos x) + C~. \end{aligned} \end{equation}

例 6 

  

\begin{equation} \int \frac1x \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
首先在区间 $(0,+\infty)$ 内,由于 $\ln x$ 的导数是 $1/x$,所以积分结果为 $\ln x + C$。现在再来考虑区间 $(-\infty, 0)$,注意 $\ln x$ 在这里没有定义,不妨看看 $ \ln\left(-x\right) $,由复合函数求导,其导数恰好为 $1/x$。所以在除去原点的实数范围内,有
\begin{equation} \int \frac1x \,\mathrm{d}{x} = \ln \left\lvert x \right\rvert + C~. \end{equation}
事实上,由于 $1/x$ 在 $x=0$ 没有定义,更广义的原函数可以取
\begin{equation} \int \frac1x \,\mathrm{d}{x} = \begin{cases} \ln x + C_1 & (x > 0)\\ \ln\left(-x\right) + C_2 & (x < 0) \end{cases}~. \end{equation}
其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是两个不相同的待定常数。

例 7 

  

\begin{equation} \int x \mathrm{e} ^x \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
使用用分部积分式 1
\begin{equation} \int F(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = F(x)G(x) - \int f(x)G(x) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
令 $F(x) = x$,求导得 $f(x) = 1$,令 $g(x) = \mathrm{e} ^x$,由式 10 ,$G(x) = \mathrm{e} ^x$。代入分部积分得
\begin{equation} \int x \mathrm{e} ^x \,\mathrm{d}{x} = x \mathrm{e} ^x - \int 1\cdot \mathrm{e} ^x \,\mathrm{d}{x} = \mathrm{e} ^x(x - 1) + C~. \end{equation}

例 8 

  

\begin{equation} \int \ln x \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
方法一: 使用第二类换元法式 8
\begin{equation} \int f(x) \,\mathrm{d}{x} = \int f[x(t)] \,\mathrm{d}{[x(t)]} = \int f[x(t)]x'(t) \,\mathrm{d}{t} ~. \end{equation}
2 $x = \mathrm{e} ^t$,求导得 $x'(t) = \mathrm{e} ^t$,换元得
\begin{equation} \int \ln x \,\mathrm{d}{x} = \int \ln\left( \mathrm{e} ^t\right) \mathrm{e} ^t \,\mathrm{d}{t} = \int t \mathrm{e} ^t \,\mathrm{d}{t} ~. \end{equation}
例 7 中的分部积分得
\begin{equation} \int \ln x \,\mathrm{d}{x} = \mathrm{e} ^t (t-1) + C = \mathrm{e} ^{\ln x} (\ln x -1) + C = x (\ln x-1) + C~. \end{equation}
方法二: 直接使用分部积分法式 1 ,对常数 1 积分,对 $\ln x$ 求导,得
\begin{equation} \int \ln x \,\mathrm{d}{x} = x\ln x - \int x\cdot \frac1x \,\mathrm{d}{x} = x\ln x - x + C~. \end{equation}

例 9 

  

\begin{equation} \int \sqrt{a^2 - x^2} \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
使用第二类换元法式 8 ,令 $x = a\sin t$ 得
\begin{equation} \int a\cos t \,\mathrm{d}\left(a\sin t \right) = a^2 \int \cos^2 t \,\mathrm{d}{t} ~. \end{equation}
例 5 的结论代入得 $a^2(t + \sin t\cos t) + C$,再将 $t = \arcsin\left(x/a\right) $ 代入得
\begin{equation} \int \sqrt{a^2 - x^2} \,\mathrm{d}{x} = \frac12 \left(x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2\arcsin\frac{x}{a} \right) + C~. \end{equation}

例 10 

  

\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
使用第二类换元法式 8 ,令 $x = \sin t$ 得
\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 t}} \,\mathrm{d}\left(\sin t \right) = \int \,\mathrm{d}{t} = t + C = \arcsin x + C~. \end{equation}

例 11 

  

\begin{equation} \int \sec x \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
分子分母同时乘以 $\sec x + \tan x$,可以发现分子是分母的导数。再用第一类换元积分法(式 2 ),令 $u(x) = \sec x + \tan x$,再使用式 3 即可
\begin{equation} \begin{aligned} \int \sec x \,\mathrm{d}{x} &= \int \frac{\sec^2 x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x} \,\mathrm{d}{x} = \int \frac{u'(x)}{u} \,\mathrm{d}{x} = \int \frac1u \,\mathrm{d}{u} \\ &= \ln \left\lvert u \right\rvert +C = \ln \left\lvert \sec x + \tan x \right\rvert +C~. \end{aligned} \end{equation}

例 12 

  

\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
使用第二类换元法式 8 ,令 $x = \tan t$,再利用 “三角恒等式” 的式 2 式 3
\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 t}} \,\mathrm{d}\left(\tan t \right) = \int \frac{1}{\sec t} \sec^2 t \,\mathrm{d}{t} = \ln \left\lvert \tan t + \sec t \right\rvert + C~. \end{equation}
由同一三角恒等式,$\sec t = \sqrt{1+\tan^2 t} = \sqrt{1+x^2}$,所以
\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \,\mathrm{d}{x} = \ln\left(x + \sqrt{1+x^2}\right) + C~. \end{equation}
注意上式中 $\ln$ 后面的绝对值符号消失是因为 $x + \sqrt{1+x^2}\geqslant 0 $ 恒成立。另外由 “双曲函数” 中例 1 可知上式又等于 $\sinh^{-1} x + C$。


1. ^ 结果来自 Wolfram Alpha
2. ^ 注意被积函数只在 $x>0$ 区间有定义,否则使用 $x = \mathrm{e} ^t$ 将会自动忽略 $x\leqslant 0$ 的情况。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利