贡献者： addis
这里给出一个基本积分表和一个常用积分表，前者建议熟记。部分积分有的给出计算步骤，没有给出则是由基本初等函数的导数直接逆向得出。所有的不定积分公式都可以通过求导验证。
应用换元积分法，表中任何积分都可以拓展为
\begin{equation}
\int f(ax+b) \,\mathrm{d}{x} = \frac1a F(ax+b) + C~.
\end{equation}
1. 基本积分表
\begin{equation}
\int x^a \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{a + 1} x^{a + 1} + C \quad(a \in R, a \ne - 1)~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int \frac{1}{x} \,\mathrm{d}{x} = \ln \left\lvert x \right\rvert + C \quad\text{（例 6）}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int \cos x \,\mathrm{d}{x} = \sin x + C ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int \sin x \,\mathrm{d}{x} = - \cos x + C~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int \tan x \,\mathrm{d}{x} = -\ln \left\lvert \cos x \right\rvert + C \quad\text{（例 2）}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int \cot x \,\mathrm{d}{x} = \ln \left\lvert \sin x \right\rvert + C \quad\text{（例 3）}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int \frac{1}{\cos^2 x} \,\mathrm{d}{x} = \tan x + C~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int \frac{1}{1 + x^2} \,\mathrm{d}{x} = \arctan x + C~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int \mathrm{e} ^x \,\mathrm{d}{x} = \mathrm{e} ^x + C~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int x{ \mathrm{e} ^x} \,\mathrm{d}{x} = \mathrm{e} ^x (x-1) + C \quad\text{（例 7）}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int a^x \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{\ln a} a^x + C \quad\text{（例 1）}~.
\end{equation}
2. 常用积分表
\begin{equation}
\int \sin^2 x \,\mathrm{d}{x} = \frac12 (x - \sin x\cos x) + C \quad\text{（例 4）}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int \cos^2 x \,\mathrm{d}{x} = \frac12 (x + \sin x \cos x) + C \quad\text{（例 5）}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int \sec x \,\mathrm{d}{x} = \ln \left\lvert \tan x + \sec x \right\rvert + C \quad\text{（例 11）}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int \ln x \,\mathrm{d}{x} = x\ln x - x + C \quad\text{（例 8）}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int \sqrt{a^2 - x^2} \,\mathrm{d}{x} = \frac12 \left(x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2\arcsin\frac xa \right) + C \quad\text{（例 9）}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\mathrm{d}{x} = \arcsin\left(x\right) + C \quad\text{（例 10）}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \,\mathrm{d}{x} = \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) + C = \sinh^{-1} x + C \quad\text{（例 12）}~.
\end{equation}
3. 定积分
\begin{equation}
\int_0^{\pi/2} \cos^{n}\theta \,\mathrm{d}{\theta}
= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{\Gamma(n/2+1/2)}{\Gamma(n/2+1)}~,
\end{equation}
其中 $n$ 是满足 $ \operatorname{Re} [n] > -1$ 的任意复数
1。
例 1
\begin{equation}
\int a^x \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
我们已经知道如何算 $ \mathrm{e} ^x$ 的积分，而 $a = \mathrm{e} ^{\ln a}$，再根据
式 1 就有
\begin{equation}
\int \mathrm{e} ^{ \ln\left(a\right) x} \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{\ln a} \mathrm{e} ^{ \ln\left(a\right) x} + C = \frac{1}{\ln a}a^x + C~.
\end{equation}
例 2
\begin{equation}
\int \tan x \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
这个积分用第一类换元积分法（
式 2 ）
\begin{equation}
\int f[u(x)]u'(x) \,\mathrm{d}{x} = F[u(x)] + C~.
\end{equation}
首先 $\tan x = \sin x/ \cos x$，令 $u(x) = \cos x$，则 $\sin x = -u'(x)$，对比得 $f(x) = -1/x$ 其原函数为 $F(x) = -\ln \left\lvert x \right\rvert $，所以
\begin{equation}
\int \tan x \,\mathrm{d}{x} = \int f[u(x)] u'(x) \,\mathrm{d}{x} = F[u(x)] + C = -\ln \left\lvert \cos x \right\rvert + C~.
\end{equation}
例 3
类似例 2 ，$\cot x = \cos x/\sin x$，令 $u(x) = \sin x$，则 $\cos x = u'(x)$，对比得 $f(x) = 1/x$，原函数为 $F(x) = \ln \left\lvert x \right\rvert $（式 3 ），所以
\begin{equation}
\int \cot x \,\mathrm{d}{x} = F[u(x)] + C = \ln \left\lvert \sin x \right\rvert + C~.
\end{equation}
例 4
\begin{equation}
\int \sin^2 x \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
用降幂公式（
式 10 ）和不定积分的线性（
式 4 ）把上式变为常数的积分和 $\cos 2x$ 的积分，再利用
式 4 和
式 1 计算后者即可
\begin{equation} \begin{aligned}
\int \sin^2 x \,\mathrm{d}{x} &= \int \frac12 \,\mathrm{d}{x} - \frac12\int \cos 2x \,\mathrm{d}{x} \\
&= \frac{x}{2} - \frac14 \sin\left(2x\right) = \frac12 (x - \sin x \cos x) + C~.
\end{aligned} \end{equation}
例 5
\begin{equation}
\int \cos^2 x \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
与
例 4 类似，用三角恒等式 $\cos^2(x) = [1 + \cos\left(2x\right) ]/2$ 得
\begin{equation} \begin{aligned}
\int \cos^2 x \,\mathrm{d}{x} &= \int \frac12 \,\mathrm{d}{x} + \frac12\int \cos\left(2x\right) \,\mathrm{d}{x} \\
&= \frac{x}{2} + \frac14 \sin\left(2x\right) = \frac12 (x + \sin x \cos x) + C~.
\end{aligned} \end{equation}
例 6
\begin{equation}
\int \frac1x \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
首先在区间 $(0,+\infty)$ 内，由于 $\ln x$ 的导数是 $1/x$，所以积分结果为 $\ln x + C$。现在再来考虑区间 $(-\infty, 0)$，注意 $\ln x$ 在这里没有定义，不妨看看 $ \ln\left(-x\right) $，由复合函数求导，其导数恰好为 $1/x$。所以在除去原点的实数范围内，有
\begin{equation}
\int \frac1x \,\mathrm{d}{x} = \ln \left\lvert x \right\rvert + C~.
\end{equation}
事实上，由于 $1/x$ 在 $x=0$ 没有定义，更广义的原函数可以取
\begin{equation}
\int \frac1x \,\mathrm{d}{x} =
\begin{cases}
\ln x + C_1 & (x > 0)\\
\ln\left(-x\right) + C_2 & (x < 0)
\end{cases}~.
\end{equation}
其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是两个不相同的待定常数。
例 7
\begin{equation}
\int x \mathrm{e} ^x \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
使用用分部积分
式 1
\begin{equation}
\int F(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = F(x)G(x) - \int f(x)G(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
令 $F(x) = x$，求导得 $f(x) = 1$，令 $g(x) = \mathrm{e} ^x$，由
式 10 ，$G(x) = \mathrm{e} ^x$。代入分部积分得
\begin{equation}
\int x \mathrm{e} ^x \,\mathrm{d}{x} = x \mathrm{e} ^x - \int 1\cdot \mathrm{e} ^x \,\mathrm{d}{x} = \mathrm{e} ^x(x - 1) + C~.
\end{equation}
例 8
\begin{equation}
\int \ln x \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
使用第二类换元法
式 8
\begin{equation}
\int f(x) \,\mathrm{d}{x} = \int f[x(t)] \,\mathrm{d}{[x(t)]} = \int f[x(t)]x'(t) \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
令
2 $x = \mathrm{e} ^t$，求导得 $x'(t) = \mathrm{e} ^t$，换元得
\begin{equation}
\int \ln x \,\mathrm{d}{x} = \int \ln\left( \mathrm{e} ^t\right) \mathrm{e} ^t \,\mathrm{d}{t} = \int t \mathrm{e} ^t \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
由
例 7 中的分部积分得
\begin{equation}
\int \ln x \,\mathrm{d}{x} = \mathrm{e} ^t (t-1) + C = \mathrm{e} ^{\ln x} (\ln x -1) + C = x (\ln x-1) + C~.
\end{equation}
直接使用分部积分法
式 1 ，对常数 1 积分，对 $\ln x$ 求导，得
\begin{equation}
\int \ln x \,\mathrm{d}{x} = x\ln x - \int x\cdot \frac1x \,\mathrm{d}{x} = x\ln x - x + C~.
\end{equation}
例 9
\begin{equation}
\int \sqrt{a^2 - x^2} \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
使用第二类换元法
式 8 ，令 $x = a\sin t$ 得
\begin{equation}
\int a\cos t \,\mathrm{d}\left(a\sin t \right) = a^2 \int \cos^2 t \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
将
例 5 的结论代入得 $a^2(t + \sin t\cos t) + C$，再将 $t = \arcsin\left(x/a\right) $ 代入得
\begin{equation}
\int \sqrt{a^2 - x^2} \,\mathrm{d}{x} = \frac12 \left(x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2\arcsin\frac{x}{a} \right) + C~.
\end{equation}
例 10
\begin{equation}
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
使用第二类换元法
式 8 ，令 $x = \sin t$ 得
\begin{equation}
\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 t}} \,\mathrm{d}\left(\sin t \right) = \int \,\mathrm{d}{t} = t + C = \arcsin x + C~.
\end{equation}
例 11
\begin{equation}
\int \sec x \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
分子分母同时乘以 $\sec x + \tan x$，可以发现分子是分母的导数。再用第一类换元积分法（
式 2 ），令 $u(x) = \sec x + \tan x$，再使用
式 3 即可
\begin{equation} \begin{aligned}
\int \sec x \,\mathrm{d}{x} &= \int \frac{\sec^2 x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x} \,\mathrm{d}{x} = \int \frac{u'(x)}{u} \,\mathrm{d}{x} = \int \frac1u \,\mathrm{d}{u} \\
&= \ln \left\lvert u \right\rvert +C = \ln \left\lvert \sec x + \tan x \right\rvert +C~.
\end{aligned} \end{equation}
例 12
\begin{equation}
\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
使用第二类换元法
式 8 ，令 $x = \tan t$，再利用 “三角恒等式
” 的
式 2 和
式 3 得
\begin{equation}
\int \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 t}} \,\mathrm{d}\left(\tan t \right) = \int \frac{1}{\sec t} \sec^2 t \,\mathrm{d}{t}
= \ln \left\lvert \tan t + \sec t \right\rvert + C~.
\end{equation}
由同一三角恒等式，$\sec t = \sqrt{1+\tan^2 t} = \sqrt{1+x^2}$，所以
\begin{equation}
\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \,\mathrm{d}{x} = \ln\left(x + \sqrt{1+x^2}\right) + C~.
\end{equation}
注意上式中 $\ln$ 后面的绝对值符号消失是因为 $x + \sqrt{1+x^2}\geqslant 0 $ 恒成立。另外由 “双曲函数
” 中
例 1 可知上式又等于 $\sinh^{-1} x + C$。
1. ^ 结果来自 Wolfram Alpha
2. ^ 注意被积函数只在 $x>0$ 区间有定义，否则使用 $x = \mathrm{e} ^t$ 将会自动忽略 $x\leqslant 0$ 的情况。
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