积分表

贡献者： addis

预备知识　不定积分

　　这里给出一个基本积分表和一个常用积分表，前者建议熟记。部分积分有的给出计算步骤，没有给出则是由基本初等函数的导数直接逆向得出。所有的不定积分公式都可以通过求导验证。

　　应用换元积分法，表中任何积分都可以拓展为

\begin{matrix} (1) & \int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C . \end{matrix}

1. 基本积分表

\begin{matrix} (2) & \int x^{a} d x = \frac{1}{a + 1} x^{a + 1} + C (a \in R, a \neq - 1) . \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & \int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C （例 6） . \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & \int \cos x d x = \sin x + C . \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & \int \sin x d x = - \cos x + C . \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & \int \tan x d x = - \ln | \cos x | + C （例 2） . \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & \int \cot x d x = \ln | \sin x | + C （例 3） . \end{matrix}

\begin{matrix} (8) & \int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \tan x + C . \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \arctan x + C . \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & \int e^{x} d x = e^{x} + C . \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & \int x e^{x} d x = e^{x} (x - 1) + C （例 7） . \end{matrix}

\begin{matrix} (12) & \int a^{x} d x = \frac{1}{\ln a} a^{x} + C （例 1） . \end{matrix}

2. 常用积分表

\begin{matrix} (13) & \int \sin^{2} x d x = \frac{1}{2} (x - \sin x \cos x) + C （例 4） . \end{matrix}

\begin{matrix} (14) & \int \cos^{2} x d x = \frac{1}{2} (x + \sin x \cos x) + C （例 5） . \end{matrix}

\begin{matrix} (15) & \int \sec x d x = \ln | \tan x + \sec x | + C （例 11） . \end{matrix}

\begin{matrix} (16) & \int \ln x d x = x \ln x - x + C （例 8） . \end{matrix}

\begin{matrix} (17) & \int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x = \frac{1}{2} (x \sqrt{a^{2} - x^{2}} + a^{2} \arcsin \frac{x}{a}) + C （例 9） . \end{matrix}

\begin{matrix} (18) & \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = \arcsin (x) + C （例 10） . \end{matrix}

\begin{matrix} (19) & \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) + C = \sinh^{- 1} x + C （例 12） . \end{matrix}

3. 定积分

\begin{matrix} (20) & \int_{0}^{π / 2} \cos^{n} θ d θ = \frac{\sqrt{π}}{2} \frac{Γ (n / 2 + 1 / 2)}{Γ (n / 2 + 1)}, \end{matrix}

其中

n

是满足

Re [n] > - 1

的任意复数¹。

例 1　

\begin{matrix} (21) & \int a^{x} d x . \end{matrix}

我们已经知道如何算

e^{x}

的积分，而

a = e^{\ln a}

，再根据式 1 就有

\begin{matrix} (22) & \int e^{\ln (a) x} d x = \frac{1}{\ln a} e^{\ln (a) x} + C = \frac{1}{\ln a} a^{x} + C . \end{matrix}

例 2　

\begin{matrix} (23) & \int \tan x d x . \end{matrix}

这个积分用第一类换元积分法（式 2 ）

\begin{matrix} (24) & \int f [u (x)] u^{'} (x) d x = F [u (x)] + C . \end{matrix}

首先

\tan x = \sin x / \cos x

，令

u (x) = \cos x

，则

\sin x = - u^{'} (x)

，对比得

f (x) = - 1 / x

其原函数为

F (x) = - \ln | x |

，所以

\begin{matrix} (25) & \int \tan x d x = \int f [u (x)] u^{'} (x) d x = F [u (x)] + C = - \ln | \cos x | + C . \end{matrix}

例 3　

　　类似例 2 ， $\cot x = \cos x / \sin x$ ，令 $u (x) = \sin x$ ，则 $\cos x = u^{'} (x)$ ，对比得 $f (x) = 1 / x$ ，原函数为 $F (x) = \ln | x |$ （式 3 ），所以

\begin{matrix} (26) & \int \cot x d x = F [u (x)] + C = \ln | \sin x | + C . \end{matrix}

例 4　

\begin{matrix} (27) & \int \sin^{2} x d x . \end{matrix}

用降幂公式（式 10 ）和不定积分的线性（式 4 ）把上式变为常数的积分和

\cos 2 x

的积分，再利用式 4 和式 1 计算后者即可

\begin{matrix} (28) & \begin{aligned} \int \sin^{2} x d x & = \int \frac{1}{2} d x - \frac{1}{2} \int \cos 2 x d x \\ = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 x) = \frac{1}{2} (x - \sin x \cos x) + C . \end{aligned} \end{matrix}

例 5　

\begin{matrix} (29) & \int \cos^{2} x d x . \end{matrix}

与例 4 类似，用三角恒等式

\cos^{2} (x) = [1 + \cos (2 x)] / 2

得

\begin{matrix} (30) & \begin{aligned} \int \cos^{2} x d x & = \int \frac{1}{2} d x + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x \\ = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) = \frac{1}{2} (x + \sin x \cos x) + C . \end{aligned} \end{matrix}

例 6　

\begin{matrix} (31) & \int \frac{1}{x} d x . \end{matrix}

首先在区间

(0, + \infty)

内，由于

\ln x

的导数是

1 / x

，所以积分结果为

\ln x + C

。现在再来考虑区间

(- \infty, 0)

，注意

\ln x

在这里没有定义，不妨看看

\ln (- x)

，由复合函数求导，其导数恰好为

1 / x

。所以在除去原点的实数范围内，有

\begin{matrix} (32) & \int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C . \end{matrix}

事实上，由于

1 / x

在

x = 0

没有定义，更广义的原函数可以取

\begin{matrix} (33) & \int \frac{1}{x} d x = {\begin{cases} \ln x + C_{1} & (x > 0) \\ \ln (- x) + C_{2} & (x < 0) \end{cases} . \end{matrix}

其中

C_{1}

和

C_{2}

是两个不相同的待定常数。

例 7　

\begin{matrix} (34) & \int x e^{x} d x . \end{matrix}

使用用分部积分式 1

\begin{matrix} (35) & \int F (x) g (x) d x = F (x) G (x) - \int f (x) G (x) d x . \end{matrix}

令

F (x) = x

，求导得

f (x) = 1

，令

g (x) = e^{x}

，由式 10 ，

G (x) = e^{x}

。代入分部积分得

\begin{matrix} (36) & \int x e^{x} d x = x e^{x} - \int 1 \cdot e^{x} d x = e^{x} (x - 1) + C . \end{matrix}

例 8　

\begin{matrix} (37) & \int \ln x d x . \end{matrix}

方法一： 使用第二类换元法式 8

\begin{matrix} (38) & \int f (x) d x = \int f [x (t)] d [x (t)] = \int f [x (t)] x^{'} (t) d t . \end{matrix}

令²

x = e^{t}

，求导得

x^{'} (t) = e^{t}

，换元得

\begin{matrix} (39) & \int \ln x d x = \int \ln (e^{t}) e^{t} d t = \int t e^{t} d t . \end{matrix}

由例 7 中的分部积分得

\begin{matrix} (40) & \int \ln x d x = e^{t} (t - 1) + C = e^{\ln x} (\ln x - 1) + C = x (\ln x - 1) + C . \end{matrix}

方法二： 直接使用分部积分法式 1 ，对常数 1 积分，对

\ln x

求导，得

\begin{matrix} (41) & \int \ln x d x = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} d x = x \ln x - x + C . \end{matrix}

例 9　

\begin{matrix} (42) & \int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x . \end{matrix}

使用第二类换元法式 8 ，令

x = a \sin t

得

\begin{matrix} (43) & \int a \cos t d (a \sin t) = a^{2} \int \cos^{2} t d t . \end{matrix}

将例 5 的结论代入得

a^{2} (t + \sin t \cos t) + C

，再将

t = \arcsin (x / a)

代入得

\begin{matrix} (44) & \int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x = \frac{1}{2} (x \sqrt{a^{2} - x^{2}} + a^{2} \arcsin \frac{x}{a}) + C . \end{matrix}

例 10　

\begin{matrix} (45) & \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x . \end{matrix}

使用第二类换元法式 8 ，令

x = \sin t

得

\begin{matrix} (46) & \int \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} t}} d (\sin t) = \int d t = t + C = \arcsin x + C . \end{matrix}

例 11　

\begin{matrix} (47) & \int \sec x d x . \end{matrix}

分子分母同时乘以

\sec x + \tan x

，可以发现分子是分母的导数。再用第一类换元积分法（式 2 ），令

u (x) = \sec x + \tan x

，再使用式 3 即可

\begin{matrix} (48) & \begin{aligned} \int \sec x d x & = \int \frac{\sec^{2} x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} d x = \int \frac{u^{'} (x)}{u} d x = \int \frac{1}{u} d u \\ = \ln | u | + C = \ln | \sec x + \tan x | + C . \end{aligned} \end{matrix}

例 12　

\begin{matrix} (49) & \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x . \end{matrix}

使用第二类换元法式 8 ，令

x = \tan t

，再利用 “三角恒等式” 的式 2 和式 3 得

\begin{matrix} (50) & \int \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} t}} d (\tan t) = \int \frac{1}{\sec t} \sec^{2} t d t = \ln | \tan t + \sec t | + C . \end{matrix}

由同一三角恒等式，

\sec t = \sqrt{1 + \tan^{2} t} = \sqrt{1 + x^{2}}

，所以

\begin{matrix} (51) & \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) + C . \end{matrix}

注意上式中

\ln

后面的绝对值符号消失是因为

x + \sqrt{1 + x^{2}} ⩾ 0

恒成立。另外由 “双曲函数” 中例 1 可知上式又等于

\sinh^{- 1} x + C

。

1. ^ 结果来自 Wolfram Alpha
2. ^ 注意被积函数只在 $x > 0$ 区间有定义，否则使用 $x = e^{t}$ 将会自动忽略 $x ⩽ 0$ 的情况。

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