积分表

             

预备知识 不定积分

   这里给出一个基本积分表和一个常用积分表,前者建议熟记.部分积分有的给出计算步骤,没有给出则是由基本初等函数的导数 直接逆向得出.所有的不定积分公式都可以通过求导验证.

   应用换元积分法,表中任何积分都可以拓展为

\begin{equation} \int f(ax+b) \,\mathrm{d}{x} = \frac1a F(ax+b) + C \end{equation}

1. 基本积分表

\begin{equation} \int x^a \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{a + 1} x^{a + 1} + C \quad(a \in R, a \ne - 1) \end{equation}
\begin{equation} \int \frac{1}{x} \,\mathrm{d}{x} = \ln \left\lvert x \right\rvert + C \quad\text{(例 6)} \end{equation}
\begin{equation} \int \cos x \,\mathrm{d}{x} = \sin x + C \end{equation}
\begin{equation} \int \sin x \,\mathrm{d}{x} = - \cos x + C \end{equation}
\begin{equation} \int \tan x \,\mathrm{d}{x} = -\ln \left\lvert \cos x \right\rvert + C \quad\text{(例 2)} \end{equation}
\begin{equation} \int \cot x \,\mathrm{d}{x} = \ln \left\lvert \sin x \right\rvert + C \quad\text{(例 3)} \end{equation}
\begin{equation} \int \frac{1}{\cos^2 x} \,\mathrm{d}{x} = \tan x + C \end{equation}
\begin{equation} \int \frac{1}{1 + x^2} \,\mathrm{d}{x} = \arctan x + C \end{equation}
\begin{equation} \int \mathrm{e} ^x \,\mathrm{d}{x} = \mathrm{e} ^x + C \end{equation}
\begin{equation} \int x{ \mathrm{e} ^x} \,\mathrm{d}{x} = \mathrm{e} ^x (x-1) + C \quad\text{(例 7)} \end{equation}
\begin{equation} \int a^x \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{\ln a} a^x + C \quad\text{(例 1)} \end{equation}

2. 常用积分表

\begin{equation} \int \sin^2 x \,\mathrm{d}{x} = \frac12 (x - \sin x\cos x) + C \quad\text{(例 4)} \end{equation}
\begin{equation} \int \cos^2 x \,\mathrm{d}{x} = \frac12 (x + \sin x \cos x) + C \quad\text{(例 5)} \end{equation}
\begin{equation} \int \sec x \,\mathrm{d}{x} = \ln \left\lvert \tan x + \sec x \right\rvert + C \quad\text{(例 11)} \end{equation}
\begin{equation} \int \ln x \,\mathrm{d}{x} = x\ln x - x + C \quad\text{(例 8)} \end{equation}
\begin{equation} \int \sqrt{a^2 - x^2} \,\mathrm{d}{x} = \frac12 \left(x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2\arcsin\frac xa \right) + C \quad\text{(例 9)} \end{equation}
\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\mathrm{d}{x} = \arcsin\left(x\right) + C \quad\text{(例 10)} \end{equation}
\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \,\mathrm{d}{x} = \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) + C = \sinh^{-1} x + C \quad\text{(例 12)} \end{equation}

3. 定积分

\begin{equation} \int_0^{\pi/2} \cos^{n}\theta \,\mathrm{d}{\theta} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{\Gamma(n/2+1/2)}{\Gamma(n/2+1)} \end{equation}
其中 $n$ 是满足 $ \operatorname{Re} [n] > -1$ 的任意复数1

例 1 

  

\begin{equation} \int a^x \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
我们已经知道如何算 $ \mathrm{e} ^x$ 的积分,而 $a = \mathrm{e} ^{\ln a}$,再根据式 1 就有
\begin{equation} \int \mathrm{e} ^{ \ln\left(a\right) x} \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{\ln a} \mathrm{e} ^{ \ln\left(a\right) x} + C = \frac{1}{\ln a}a^x + C \end{equation}

例 2 

  

\begin{equation} \int \tan x \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
这个积分用第一类换元积分法(式 2
\begin{equation} \int f[u(x)]u'(x) \,\mathrm{d}{x} = F[u(x)] + C \end{equation}
首先 $\tan x = \sin x/ \cos x$,令 $u(x) = \cos x$,则 $\sin x = -u'(x)$,对比得 $f(x) = -1/x$ 其原函数为 $F(x) = -\ln \left\lvert x \right\rvert $,所以
\begin{equation} \int \tan x \,\mathrm{d}{x} = \int f[u(x)] u'(x) \,\mathrm{d}{x} = F[u(x)] + C = -\ln \left\lvert \cos x \right\rvert + C \end{equation}

例 3 

   类似例 2 ,$\cot x = \cos x/\sin x$,令 $u(x) = \sin x$,则 $\cos x = u'(x)$,对比得 $f(x) = 1/x$,原函数为 $F(x) = \ln \left\lvert x \right\rvert $(式 3 ),所以

\begin{equation} \int \cot x \,\mathrm{d}{x} = F[u(x)] + C = \ln \left\lvert \sin x \right\rvert + C \end{equation}

例 4 

  

\begin{equation} \int \sin^2 x \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
用降幂公式(式 8 )和不定积分的线性(式 4 )把上式变为常数的积分和 $\cos 2x$ 的积分,再利用式 4 式 1 计算后者即可
\begin{equation} \begin{aligned} \int \sin^2 x \,\mathrm{d}{x} &= \int \frac12 \,\mathrm{d}{x} - \frac12\int \cos 2x \,\mathrm{d}{x} \\ &= \frac{x}{2} - \frac14 \sin\left(2x\right) = \frac12 (x - \sin x \cos x) + C \end{aligned} \end{equation}

例 5 

  

\begin{equation} \int \cos^2 x \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
例 4 类似,用三角恒等式 $\cos^2(x) = [1 + \cos\left(2x\right) ]/2$ 得
\begin{equation} \begin{aligned} \int \cos^2 x \,\mathrm{d}{x} &= \int \frac12 \,\mathrm{d}{x} + \frac12\int \cos\left(2x\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \frac{x}{2} + \frac14 \sin\left(2x\right) = \frac12 (x + \sin x \cos x) + C \end{aligned} \end{equation}

例 6 

  

\begin{equation} \int \frac1x \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
首先在区间 $(0,+\infty)$ 内,由于 $\ln x$ 的导数是 $1/x$,所以积分结果为 $\ln x + C$.现在再来考虑区间 $(-\infty, 0)$,注意 $\ln x$ 在这里没有定义,不妨看看 $ \ln\left(-x\right) $,由复合函数求导,其导数恰好为 $1/x$.所以在除去原点的实数范围内,有
\begin{equation} \int \frac1x \,\mathrm{d}{x} = \ln \left\lvert x \right\rvert + C \end{equation}
事实上,由于 $1/x$ 在 $x=0$ 没有定义,更广义的原函数可以取
\begin{equation} \int \frac1x \,\mathrm{d}{x} = \begin{cases} \ln x + C_1 & (x > 0)\\ \ln\left(-x\right) + C_2 & (x < 0) \end{cases} \end{equation}
其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是两个不相同的待定常数.

例 7 

  

\begin{equation} \int x \mathrm{e} ^x \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
使用用分部积分式 1
\begin{equation} \int F(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = F(x)G(x) - \int f(x)G(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
令 $F(x) = x$,求导得 $f(x) = 1$,令 $g(x) = \mathrm{e} ^x$,由式 10 ,$G(x) = \mathrm{e} ^x$.代入分部积分得
\begin{equation} \int x \mathrm{e} ^x \,\mathrm{d}{x} = x \mathrm{e} ^x - \int 1\cdot \mathrm{e} ^x \,\mathrm{d}{x} = \mathrm{e} ^x(x - 1) + C \end{equation}

例 8 

  

\begin{equation} \int \ln x \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
方法一: 使用第二类换元法式 8
\begin{equation} \int f(x) \,\mathrm{d}{x} = \int f[x(t)] \,\mathrm{d}{[x(t)]} = \int f[x(t)]x'(t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
2 $x = \mathrm{e} ^t$,求导得 $x'(t) = \mathrm{e} ^t$,换元得
\begin{equation} \int \ln x \,\mathrm{d}{x} = \int \ln\left( \mathrm{e} ^t\right) \mathrm{e} ^t \,\mathrm{d}{t} = \int t \mathrm{e} ^t \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
例 7 中的分部积分得
\begin{equation} \int \ln x \,\mathrm{d}{x} = \mathrm{e} ^t (t-1) + C = \mathrm{e} ^{\ln x} (\ln x -1) + C = x (\ln x-1) + C \end{equation}
方法二: 直接使用分部积分法式 1 ,对常数 1 积分,对 $\ln x$ 求导,得
\begin{equation} \int \ln x \,\mathrm{d}{x} = x\ln x - \int x\cdot \frac1x \,\mathrm{d}{x} = x\ln x - x + C \end{equation}

例 9 

  

\begin{equation} \int \sqrt{a^2 - x^2} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
使用第二类换元法式 8 ,令 $x = a\sin t$ 得
\begin{equation} \int a\cos t \,\mathrm{d}\left(a\sin t \right) = a^2 \int \cos^2 t \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
例 5 的结论代入得 $a^2(t + \sin t\cos t) + C$,再将 $t = \arcsin\left(x/a\right) $ 代入得
\begin{equation} \int \sqrt{a^2 - x^2} \,\mathrm{d}{x} = \frac12 \left(x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2\arcsin\frac{x}{a} \right) + C \end{equation}

例 10 

  

\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
使用第二类换元法式 8 ,令 $x = \sin t$ 得
\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 t}} \,\mathrm{d}\left(\sin t \right) = \int \,\mathrm{d}{t} = t + C = \arcsin x + C \end{equation}

例 11 

  

\begin{equation} \int \sec x \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
分子分母同时乘以 $\sec x + \tan x$,可以发现分子是分母的导数.再用第一类换元积分法(式 2 ),令 $u(x) = \sec x + \tan x$,再使用式 3 即可
\begin{equation} \begin{aligned} \int \sec x \,\mathrm{d}{x} &= \int \frac{\sec^2 x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x} \,\mathrm{d}{x} = \int \frac{u'(x)}{u} \,\mathrm{d}{x} = \int \frac1u \,\mathrm{d}{u} \\ &= \ln \left\lvert u \right\rvert +C = \ln \left\lvert \sec x + \tan x \right\rvert +C \end{aligned} \end{equation}

例 12 

  

\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
使用第二类换元法式 8 ,令 $x = \tan t$,再利用 “三角恒等式” 的式 2 式 3
\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 t}} \,\mathrm{d}\left(\tan t \right) = \int \frac{1}{\sec t} \sec^2 t \,\mathrm{d}{t} = \ln \left\lvert \tan t + \sec t \right\rvert + C \end{equation}
由同一三角恒等式,$\sec t = \sqrt{1+\tan^2 t} = \sqrt{1+x^2}$,所以
\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \,\mathrm{d}{x} = \ln\left(x + \sqrt{1+x^2}\right) + C \end{equation}
注意上式中 $\ln$ 后面的绝对值符号消失是因为 $x + \sqrt{1+x^2}\geqslant 0 $ 恒成立.另外由 “双曲函数” 中例 1 可知上式又等于 $\sinh^{-1} x + C$.


1. ^ 结果来自 Wolfram Alpha
2. ^ 注意被积函数只在 $x > 0$ 区间有定义,否则使用 $x = \mathrm{e} ^t$ 将会自动忽略 $x\leqslant 0$ 的情况.

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