基本初等函数的导数

             

预备知识 导数

1. 基本初等函数

   基本初等函数由以下五类函数构成($a$ 是常数)

   由以上函数经过有限次四则运算和有限次函数复合所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例如

\begin{equation} y = \sqrt{1 - x^2}\qquad y = \sin ^2 x\qquad y = \sqrt{\cot \frac{x}{2}} \end{equation}

2. 基本初等函数的导数

   基本初等函数在其定义域内都是可导的,导函数如下

3. 幂函数证明

   由导数的代数定义,$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} [f(x + h) - f(x)]/h$,而

\begin{equation} (x + h)^a - x^a = x^a [(1 + h/x)^a - 1] \end{equation}
由于 $h \to 0$, $h/x \to 0$.令 $\varepsilon = h/x$,由非整数二项式定理
\begin{equation} (1 + \varepsilon)^a = 1 + a\varepsilon + \frac{a(a - 1)}{2!} \varepsilon ^2 + \frac{a(a - 1)(a - 2)}{3!} \varepsilon ^3\dots \end{equation}
所以
\begin{equation} \begin{aligned} (x^a)' &= x^a \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{( 1 + \varepsilon )^a - 1}{\varepsilon x} \\ &= x^{a - 1} \lim_{\varepsilon \to 0} \left(a + \frac{a(a - 1)}{2!}\varepsilon + \frac{a (a - 1)(a - 2)}{3!}{\varepsilon ^2}\dots \right) = a x^{a - 1} \end{aligned} \end{equation}

4. 正弦函数证明

   使用三角函数和差化积公式化简极限

\begin{equation} \sin'x = \lim_{h \to 0} \frac{ \sin\left(x + h\right) - \sin x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{ \sin\left(h/2\right) }{h/2} \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) \end{equation}
由小角正弦值极限中的结论,其中
\begin{equation} \lim_{h \to 0} \frac{ \sin\left(h/2\right) }{h/2} = 1 \end{equation}
所以
\begin{equation} \sin'x = \lim_{h \to 0} \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) = \cos x \end{equation}

5. 余弦函数证明

   若 $f'(x) = g(x)$,且 $b$ 为任意常数,根据导数的定义 $f'(x + b) = g(x + b)$ 同样成立(证明略).所以 $\sin'(x + \pi/2) = \cos\left(x + \pi/2\right) $.而 $ \sin\left(x + \pi/2\right) = \cos x$, $ \cos\left(x + \pi/2\right) = - \sin x$ 所以 $\cos' x = - \sin x$

6. 正切函数证明

   根据求导法则,因为 $\tan x = \sin x/\cos x$,所以

\begin{equation} \tan' x = \frac{\sin' x \cos x - \cos' x\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos ^2 x} = \sec ^2 x \end{equation}

7. 对数函数证明

   先证明 $\ln' x = {1}/{x}$. $ \ln\left(x + h\right) - \ln x = \ln\left(1 + h/x\right) $,所以

\begin{equation} \ln 'x = \lim_{h \to 0} \frac{ \ln\left(x + h\right) - \ln x}{h} = \frac{1}{x} \lim_{h \to 0} \frac{ \ln\left(1 + h/x\right) }{h/x} \end{equation}
令 $\varepsilon = h/x$,则
\begin{equation} \ln' x = \frac{1}{x} \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{ \ln\left(1 + \varepsilon\right) }{\varepsilon } = \frac{1}{x} \lim_{\varepsilon \to 0} \ln\left(1 + \varepsilon\right) ^{\frac{1}{\varepsilon }} \end{equation}

   由自然对数底的定义,$\lim\limits_{\varepsilon \to 0} (1 + \varepsilon)^{\frac{1}{\varepsilon }} = \mathrm{e} $,所以

\begin{equation} \ln 'x = \frac{\ln \mathrm{e} }{x} = \frac{1}{x} \end{equation}
再证明 $\log'_a x = {1}/(x\ln a)$. 由对数函数的性质 $\log_a b = \ln b/\ln a$
\begin{equation} \log'_a x = \left(\frac{\ln x}{\ln a} \right) ' = \frac{1}{\ln a}\ln' x = \frac{1}{x\ln a} \end{equation}

8. 指数函数证明

   先证明 $( \mathrm{e} ^x)' = \mathrm{e} ^x$. 由于上面已经证明了 $ \ln'x = 1/x$,而 $ \mathrm{e} ^x$ 是 $\ln x$ 的反函数.所以令 $f(x) = \ln x$,$f'(x) = 1/x$, $f^{ - 1} (x) = \mathrm{e} ^x$,代入反函数的求导法则

\begin{equation} [f^{-1} (x)]' = \frac{1}{f'[f^{ - 1}(x)]} \end{equation}
\begin{equation} ( \mathrm{e} ^x)' = \frac{1}{1/ \mathrm{e} ^x} = \mathrm{e} ^x \end{equation}
再证明 $(a^x)' = a^x \ln a$. $(a^x)' = \left[ \left( \mathrm{e} ^{\ln a} \right) ^x \right] ' = \left( \mathrm{e} ^{(\ln a) x} \right) '$.把 $ \mathrm{e} ^{(\ln a) x}$ 看成是 $ \mathrm{e} ^u$ 和 $u = (\ln a) x$ 的复合函数,根据复合函数的求导法则,$(a^x)' = (\ln a) a^x$

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