分部积分法

             

预备知识 牛顿—莱布尼兹公式

   若积分中的被积函数可以表示为两个函数的乘积,则我们可以使用分部积分公式,$f(x)$ 和 $g(x)$ 分别为 $F(x)$ 和 $G(x)$ 的导函数,有

\begin{equation} \int F(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = F(x)G(x) - \int f(x)G(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
\begin{equation} \int_a^b F(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = \left. F(x)G(x) \right\rvert _a^b - \int_a^b f(x)G(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
用 $f^{(n)}(x)$ 表示 $n$ 阶导数, $f^{[n]}(x)$ 表示 $n$ 次不定积分1,连续使用 $n$ 次分部积分公式,有
\begin{equation} \begin{aligned} \int f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} &= f(x)g^{[1]}(x) - f^{(1)}(x)g^{[2]}(x) + \dots + (-1)^{n-1} f^{(n-1)}(x) g^{[n]}(x)\\ &+ (-1)^n \int f^{(n)}(x) g^{[n]}(x) \,\mathrm{d}{x} \end{aligned} \end{equation}

1. 推导

   令 $f(x) = F'(x)$, $g(x) = G'(x)$,根据乘法的求导公式

\begin{equation} [F(x)G(x)]' = f(x)G(x) + F(x)g(x) \end{equation}
\begin{equation} F(x)g(x) = [F(x)G(x)]' - f(x)G(x) \end{equation}
两边不定积分(积分常数可任取)得
\begin{equation} \int F(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = F(x)G(x) - \int f(x)G(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
所以如果被积函数等于两个函数的乘积,则可选择其中一个($F$)为 “求导项” 进行求导,另一个($g$)为 “积分项” 进行不定积分(积分常数可任取),然后代入该式即可.

   若要计算定积分,既可以先计算不定积分然后使用牛顿—莱布尼兹公式,也可以直接对式 5 进行定积分得

\begin{equation} \int_a^b F(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = \left[F(x)G(x) \right] _a^b - \int_a^b f(x)G(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

例 1 求 $x \mathrm{e} ^{ - x}$ 的不定积分和从 $0$ 到 $+\infty$ 的定积分

   令 $x$ 项为 “求导项”,导数为 1,$ \mathrm{e} ^{ - x}$ 为 “积分项”,积分为 $- \mathrm{e} ^{ - x}$.代入式 6

\begin{equation} \int x \mathrm{e} ^{ - x} \,\mathrm{d}{x} = x(- \mathrm{e} ^{ - x}) - \int 1 \times (- \mathrm{e} ^{ - x}) \,\mathrm{d}{x} = - x \mathrm{e} ^{ - x} - \mathrm{e} ^{ - x} + C \end{equation}
如果直接计算定积分,把 “求导项” 和 “积分项” 直接代入式 7
\begin{equation} \int_0^{+\infty} x \mathrm{e} ^{-x} \,\mathrm{d}{x} = \left. x( - \mathrm{e} ^{-x}) \right\rvert _0^{ + \infty } - \int_0^{+\infty} 1 \times (- \mathrm{e} ^{-x}) \,\mathrm{d}{x} = 0 - \left. \mathrm{e} ^{-x} \right\rvert _0^{+\infty} = 1 \end{equation}

2. 多次分部积分

   由于 $f(x)$ 的 $n$ 次导数可以记为 $f^{(n)}(x)$,不妨把 $g(x)$ 的 $n$ 次不定积分($n$ 个积分常数任取)记为 $g^{[n]}(x)$.则分部积分式 6 可记为

\begin{equation} \int f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = f(x) g^{[1]}(x) - \int f^{(1)}(x) g^{[1]}(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
再对第二项利用分部积分,仍然将 $f^{(1)}$ 作为 “求导项”,$g^{[1]}$ 作为 “积分项”,得
\begin{equation} \int f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = f(x) g^{[1]}(x) - f^{(1)}(x) g^{[2]}(x) + \int f^{(2)}(x) g^{[2]}(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
再把 $f^{(2)}$ 作为 “求导项”,$g^{[2]}$ 作为 “积分项”,分布积分得
\begin{equation} \begin{aligned} \int f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} &= f(x) g^{[1]}(x) - f^{(1)}(x) g^{[2]}(x) + f^{(2)}(x)g^{[3]}(x) \\ &- \int f^{(3)}(x) g^{[3]}(x) \,\mathrm{d}{x} \end{aligned} \end{equation}
可以发现若要使用 $N$ 次分部积分,第 $i \leqslant N$ 项等于第 $i-1$ 项中的 “求导项” 求导,“积分项” 积分,再取相反数,最后不定积分中只需把 “求导项” 额外求一次导即可.


1. ^ 这是笔者自己发明的符号

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利