分部积分法

                     

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预备知识 牛顿—莱布尼兹公式

   若积分中的被积函数可以表示为两个函数的乘积,则我们可以使用分部积分公式,$f(x)$ 和 $g(x)$ 分别为 $F(x)$ 和 $G(x)$ 的导函数,有

\begin{equation} \int F(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = F(x)G(x) - \int f(x)G(x) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
\begin{equation} \int_a^b F(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = \left. F(x)G(x) \right\rvert _a^b - \int_a^b f(x)G(x) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
用 $f^{(n)}(x)$ 表示 $n$ 阶导数, $f^{[n]}(x)$ 表示 $n$ 次不定积分1,连续使用 $n$ 次分部积分公式,有
\begin{equation} \begin{aligned} \int f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} &= f(x)g^{[1]}(x) - f^{(1)}(x)g^{[2]}(x) + \dots + (-1)^{n-1} f^{(n-1)}(x) g^{[n]}(x)\\ &+ (-1)^n \int f^{(n)}(x) g^{[n]}(x) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{aligned} \end{equation}

1. 推导

   令 $f(x) = F'(x)$, $g(x) = G'(x)$,根据乘法的求导公式

\begin{equation} [F(x)G(x)]' = f(x)G(x) + F(x)g(x)~. \end{equation}
\begin{equation} F(x)g(x) = [F(x)G(x)]' - f(x)G(x)~. \end{equation}
两边不定积分(积分常数可任取)得
\begin{equation} \int F(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = F(x)G(x) - \int f(x)G(x) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
所以如果被积函数等于两个函数的乘积,则可选择其中一个($F$)为 “求导项” 进行求导,另一个($g$)为 “积分项” 进行不定积分(积分常数可任取),然后代入该式即可。

   若要计算定积分,既可以先计算不定积分然后使用牛顿—莱布尼兹公式,也可以直接对式 5 进行定积分得

\begin{equation} \int_a^b F(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = \left[F(x)G(x) \right] _a^b - \int_a^b f(x)G(x) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}

例 1 求 $x \mathrm{e} ^{ - x}$ 的不定积分和从 $0$ 到 $+\infty$ 的定积分

   令 $x$ 项为 “求导项”,导数为 1,$ \mathrm{e} ^{ - x}$ 为 “积分项”,积分为 $- \mathrm{e} ^{ - x}$。代入式 6

\begin{equation} \int x \mathrm{e} ^{ - x} \,\mathrm{d}{x} = x(- \mathrm{e} ^{ - x}) - \int 1 \times (- \mathrm{e} ^{ - x}) \,\mathrm{d}{x} = - x \mathrm{e} ^{ - x} - \mathrm{e} ^{ - x} + C~. \end{equation}
如果直接计算定积分,把 “求导项” 和 “积分项” 直接代入式 7
\begin{equation} \int_0^{+\infty} x \mathrm{e} ^{-x} \,\mathrm{d}{x} = \left. x( - \mathrm{e} ^{-x}) \right\rvert _0^{ + \infty } - \int_0^{+\infty} 1 \times (- \mathrm{e} ^{-x}) \,\mathrm{d}{x} = 0 - \left. \mathrm{e} ^{-x} \right\rvert _0^{+\infty} = 1~. \end{equation}

2. 多次分部积分

   由于 $f(x)$ 的 $n$ 次导数可以记为 $f^{(n)}(x)$,不妨把 $g(x)$ 的 $n$ 次不定积分($n$ 个积分常数任取)记为 $g^{[n]}(x)$。则分部积分式 6 可记为

\begin{equation} \int f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = f(x) g^{[1]}(x) - \int f^{(1)}(x) g^{[1]}(x) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
再对第二项利用分部积分,仍然将 $f^{(1)}$ 作为 “求导项”,$g^{[1]}$ 作为 “积分项”,得
\begin{equation} \int f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = f(x) g^{[1]}(x) - f^{(1)}(x) g^{[2]}(x) + \int f^{(2)}(x) g^{[2]}(x) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
再把 $f^{(2)}$ 作为 “求导项”,$g^{[2]}$ 作为 “积分项”,分布积分得
\begin{equation} \begin{aligned} \int f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} &= f(x) g^{[1]}(x) - f^{(1)}(x) g^{[2]}(x) + f^{(2)}(x)g^{[3]}(x) \\ &- \int f^{(3)}(x) g^{[3]}(x) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{aligned} \end{equation}
可以发现若要使用 $N$ 次分部积分,第 $i \leqslant N$ 项等于第 $i-1$ 项中的 “求导项” 求导,“积分项” 积分,再取相反数,最后不定积分中只需把 “求导项” 额外求一次导即可。


1. ^ 这是笔者自己发明的符号


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