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若积分中的被积函数可以表示为两个函数的乘积，则我们可以使用分部积分公式，$f(x)$ 和 $g(x)$ 分别为 $F(x)$ 和 $G(x)$ 的导函数，有
\begin{equation}
\int F(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = F(x)G(x) - \int f(x)G(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\int_a^b F(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = \left. F(x)G(x) \right\rvert _a^b - \int_a^b f(x)G(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
用 $f^{(n)}(x)$ 表示 $n$ 阶导数， $f^{[n]}(x)$ 表示 $n$ 次不定积分
1，连续使用 $n$ 次分部积分公式，有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} &= f(x)g^{[1]}(x) - f^{(1)}(x)g^{[2]}(x) + \dots + (-1)^{n-1} f^{(n-1)}(x) g^{[n]}(x)\\
&+ (-1)^n \int f^{(n)}(x) g^{[n]}(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
1. 推导
令 $f(x) = F'(x)$， $g(x) = G'(x)$，根据乘法的求导公式
\begin{equation}
[F(x)G(x)]' = f(x)G(x) + F(x)g(x)~.
\end{equation}
即
\begin{equation}
F(x)g(x) = [F(x)G(x)]' - f(x)G(x)~.
\end{equation}
两边不定积分（积分常数可任取）得
\begin{equation}
\int F(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = F(x)G(x) - \int f(x)G(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
所以如果被积函数等于两个函数的乘积，则可选择其中一个（$F$）为 “求导项” 进行求导，另一个（$g$）为 “积分项” 进行不定积分（积分常数可任取），然后代入该式即可。
若要计算定积分，既可以先计算不定积分然后使用牛顿—莱布尼兹公式，也可以直接对式 5 进行定积分得
\begin{equation}
\int_a^b F(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = \left[F(x)G(x) \right] _a^b - \int_a^b f(x)G(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
例 1 求 $x \mathrm{e} ^{ - x}$ 的不定积分和从 $0$ 到 $+\infty$ 的定积分
令 $x$ 项为 “求导项”，导数为 1，$ \mathrm{e} ^{ - x}$ 为 “积分项”，积分为 $- \mathrm{e} ^{ - x}$。代入式 6 得
\begin{equation}
\int x \mathrm{e} ^{ - x} \,\mathrm{d}{x} = x(- \mathrm{e} ^{ - x}) - \int 1 \times (- \mathrm{e} ^{ - x}) \,\mathrm{d}{x} = - x \mathrm{e} ^{ - x} - \mathrm{e} ^{ - x} + C~.
\end{equation}
如果直接计算定积分，把 “求导项” 和 “积分项” 直接代入
式 7 得
\begin{equation}
\int_0^{+\infty} x \mathrm{e} ^{-x} \,\mathrm{d}{x} = \left. x( - \mathrm{e} ^{-x}) \right\rvert _0^{ + \infty } - \int_0^{+\infty} 1 \times (- \mathrm{e} ^{-x}) \,\mathrm{d}{x} = 0 - \left. \mathrm{e} ^{-x} \right\rvert _0^{+\infty} = 1~.
\end{equation}
2. 多次分部积分
由于 $f(x)$ 的 $n$ 次导数可以记为 $f^{(n)}(x)$，不妨把 $g(x)$ 的 $n$ 次不定积分（$n$ 个积分常数任取）记为 $g^{[n]}(x)$。则分部积分式 6 可记为
\begin{equation}
\int f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = f(x) g^{[1]}(x) - \int f^{(1)}(x) g^{[1]}(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
再对第二项利用分部积分，仍然将 $f^{(1)}$ 作为 “求导项”，$g^{[1]}$ 作为 “积分项”，得
\begin{equation}
\int f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = f(x) g^{[1]}(x) - f^{(1)}(x) g^{[2]}(x) + \int f^{(2)}(x) g^{[2]}(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
再把 $f^{(2)}$ 作为 “求导项”，$g^{[2]}$ 作为 “积分项”，分布积分得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} &= f(x) g^{[1]}(x) - f^{(1)}(x) g^{[2]}(x) + f^{(2)}(x)g^{[3]}(x) \\
&- \int f^{(3)}(x) g^{[3]}(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
可以发现若要使用 $N$ 次分部积分，第 $i \leqslant N$ 项等于第 $i-1$ 项中的 “求导项” 求导，“积分项” 积分，再取相反数，最后不定积分中只需把 “求导项” 额外求一次导即可。
1. ^ 这是笔者自己发明的符号
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