反常积分(简明微积分)

                     

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预备知识 牛顿—莱布尼兹公式(简明微积分)

1. 积分限为无穷的反常积分

引入

   在许多物理、数学问题中我们会遇到一些积分到无穷的积分。例如 势能(简介)中,我们定义势能是 $$E_P=\int ^\infty_a \boldsymbol{\mathbf{F}} _{in} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} r~.$$

   你可能会想,“功是力在位移上的作用量,如果物体在力的作用下运动了无穷远,那么力岂不做了无穷多的功?那这个结论还有什么意义?” 结果真的是这样吗?

   我们先看一个简单的例子:$\int^a_1 \frac{1}{x^2} \,\mathrm{d}{x} $(许多有心力遵循平方反比律),并令 $a\to+\infty$。

图
图 1:$f(x)=\frac{1}{x^2} \quad x>1$ 的图像
表1:积分结果
$a$ 的值 $\int^a_1 \frac{1}{x^2} \,\mathrm{d}{x} $ 的值
$a=10$ $0.9000$
$a=100$ $0.9900$
$a=1000$ $0.9990$
$a=10000$ $0.9999$

   看起来,随着 $a$ 的增大,$\int^a_1 \frac{1}{x^2} \,\mathrm{d}{x} $ 似乎并没有趋向无穷,而是趋向某一个确定的值 $1$。这也就启发我们,即使积分区间趋向无穷大,积分结果仍然可能是有意义的。这就要求我们扩展定积分的定义,玩一种很新的积分

定义

定义 1 反常积分

   设函数 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续(或分段连续),对于任意 $t>a$,积分 $\displaystyle \int^t_af(x)\mathrm{d} x$ 存在,则定义 $\displaystyle \int ^{+\infty}_a f(x)\mathrm{d} x=\lim_{t\rightarrow+\infty }\int _a^{+\infty}f(x)\mathrm{d} x$,并称 $\displaystyle \int ^{+\infty}_a f(x)\mathrm{d} x $ 为 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 的反常积分。

   如果 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow+\infty }\int _a^{+\infty}f(x)\mathrm{d} x$ 存在,则称反常积分 $\displaystyle \int ^{+\infty}_a f(x)\mathrm{d} x$ 收敛,且该极限值称为反常积分的值;若此极限不存在,则称反常积分 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow+\infty }\int _a^{+\infty}f(x)\mathrm{d} x$ 发散

   同样地,可以定义在 $(-\infty,b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 的反常积分为 $\displaystyle \int ^b _{-\infty}f(x)\mathrm{d} x=\lim_{t\rightarrow-\infty }\int ^b _{-\infty}f(x)\mathrm{d} x$

   对于定义在 $(-\infty,+\infty )$ 上的连续函数 $f(x)$ 的反常积分 $\displaystyle \int ^{+\infty}_{-\infty}f(x)\mathrm{d} x$ 作如下定义 $$\displaystyle \int ^{+\infty}_{-\infty}f(x)\mathrm{d} x=\displaystyle \int ^{+\infty}_c f(x)\mathrm{d} x+\displaystyle \int ^c _{-\infty}f(x)\mathrm{d} x~,$$ 其中 $c$ 是任意实数。当且仅当等式右边的两个积分同时收敛时,称反常积分 $\displaystyle \int ^{+\infty}_{-\infty}f(x)\mathrm{d} x$ 收敛,且右端两个积分值的和称为反常积分 $\displaystyle \int ^{+\infty}_{-\infty}f(x)\mathrm{d} x$ 的值;否则称 $\displaystyle \int ^{+\infty}_{-\infty}f(x)\mathrm{d} x$ 发散。

计算

   为了计算反常积分,我们仅需要简单地推广牛顿—莱布尼兹公式

\begin{equation} \displaystyle \int ^{+\infty}_a f(x)\mathrm{d} x=\lim_{t\rightarrow+\infty }\int _a^{t}f(x)\mathrm{d} x =\lim_{t\rightarrow+\infty }F(t) - F(a)~. \end{equation}
其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数。

   换句话说,如果 $\lim_{t\rightarrow+\infty } F(t)$ 存在,那么原反常积分就收敛(趋近于一个确定的值)。

例 1 计算 $\int^{+\infty}_1 \frac{1}{x^2} \,\mathrm{d}{x} $

   使用推广的牛顿—莱布尼兹公式计算上文中的 $\int^{+\infty}_1 \frac{1}{x^2} \,\mathrm{d}{x} $

   很显然,$f(x)=\frac{1}{x^2}$ 的原函数是 $F(x)=-\frac{1}{x}$,那么 $$\int^{+\infty}_1 \frac{1}{x^2} \,\mathrm{d}{x} =\lim_{t\rightarrow+\infty } (-\frac{1}{t}) - (-\frac{1}{1})=1~.$$

   因此,随着 $a$ 增大、积分结果趋向于 $1$ 并不是巧合。

例 2 计算 $\int^{+\infty}_1 \frac{1}{x} \,\mathrm{d}{x} $

图
图 2:$f(x) = \frac{1}{x}$(红)与 $f(x) = \frac{1}{x^2}$(蓝)的图像

   $$\int^{+\infty}_1 \frac{1}{x} \,\mathrm{d}{x} =\lim_{t\rightarrow+\infty } { \ln\left(t\right) } - \ln\left(1\right) ~.$$ 很遗憾,$\lim_{t\rightarrow+\infty } { \ln\left(t\right) } $ 是发散的,因此这个反常积分也是发散的。

   有人论证,这个结果似乎意味着二次元中引力势能是无穷大的,因此可怜的二次元宇航员永远没有足够的能量来摆脱母星的引力束缚。在三次元中,正如我们上文所见,引力势能是有限的。

习题 1 

   计算 $\int^{+\infty}_1 \frac{1}{x^{0.9}} \,\mathrm{d}{x} $ 与 $\int^{+\infty}_1 \frac{1}{x^{1.1}} \,\mathrm{d}{x} $。你发现了什么?

图
图 3:三者的函数图像

2. 瑕积分:被积函数趋向无穷的积分

图
图 4:$f(x)=\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ 的图像

   接下来,我们来处理一类被积函数趋近于无穷的问题。例如,积分 $\int_0^1 \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} \,\mathrm{d}{x} $。

   注意到当 $x=0$ 时,$\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ 发散,我们开始怀疑这个积分是否有意义。我们试着在 $t\to0$ 时积分 $\int_t^1 \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} \,\mathrm{d}{x} $

表2:积分结果
$t$ 的值 $\int_t^1 \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} \,\mathrm{d}{x} $ 的值
$t=10^{-8}$ $4.8744$
$t=10^{-9}$ $4.9208$
$t=10^{-10}$ $4.9500$

   与之前的例子类似,尽管 $t\to0$ 时被积函数 $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ 发散,但 $\int_t^1 \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} \,\mathrm{d}{x} $ 正趋向一个有限的值。这种情况再次提醒我们需要继续扩展定积分的定义,即允许一个发散的函数具有有限的定积分值。于是,我们引入了瑕积分的概念。

   计算瑕积分时,我们同样需要推广牛顿—莱布尼兹公式。

\begin{equation} \displaystyle \int ^{b}_a f(x)\mathrm{d} x=\lim_{t\rightarrow a+}\int _t^{b}f(x)\mathrm{d} x = F(b) - \lim_{t\rightarrow a+ }F(t)~. \end{equation}
其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数,在 $x=a$ 处 $f(x)$ 发散。

例 3 计算 $\int_t^1 \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} \,\mathrm{d}{x} $

   $\int_t^1 \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} \,\mathrm{d}{x} = 5\times(1)^{\frac{1}{5}} - \lim_{t\rightarrow 0+ }5t^{\frac{1}{5}}=5$


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