反常积分

             

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预备知识 定积分

1. 积分限为无穷的反常积分

定义 1 反常积分

   设函数 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续(或分段连续),对于任意 $t > a$,积分 $\displaystyle \int^t_af(x)\mathrm{d} x$ 存在,则定义 $\displaystyle \int ^{+\infty}_a f(x)\mathrm{d} x=\lim_{t\rightarrow+\infty }\int _a^{+\infty}f(x)\mathrm{d} x$,并称 $\displaystyle \int ^{+\infty}_a f(x)\mathrm{d} x $ 为 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 的反常积分.

   如果 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow+\infty }\int _a^{+\infty}f(x)\mathrm{d} x$ 存在,则称反常积分 $\displaystyle \int ^{+\infty}_a f(x)\mathrm{d} x$ 收敛,且该极限值称为反常积分的值;若此极限不存在,则称反常积分 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow+\infty }\int _a^{+\infty}f(x)\mathrm{d} x$ 发散

   同样地,可以定义在 $(-\infty,b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 的反常积分为 $\displaystyle \int ^b _{-\infty}f(x)\mathrm{d} x=\lim_{t\rightarrow-\infty }\int ^b _{-\infty}f(x)\mathrm{d} x$

   对于定义在 $(-\infty,+\infty )$ 上的连续函数 $f(x)$ 的反常积分 $\displaystyle \int ^{+\infty}_{-\infty}f(x)\mathrm{d} x$ 作如下定义 $$\displaystyle \int ^{+\infty}_{-\infty}f(x)\mathrm{d} x=\displaystyle \int ^{+\infty}_c f(x)\mathrm{d} x+\displaystyle \int ^c _{-\infty}f(x)\mathrm{d} x$$ 其中 $c$ 是任意实数.当且仅当等式右边的两个积分同时收敛时,称反常积分 $\displaystyle \int ^{+\infty}_{-\infty}f(x)\mathrm{d} x$ 收敛,且右端两个积分值的和称为反常积分 $\displaystyle \int ^{+\infty}_{-\infty}f(x)\mathrm{d} x$ 的值;否则称 $\displaystyle \int ^{+\infty}_{-\infty}f(x)\mathrm{d} x$ 发散.

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