类氢原子斯塔克效应(微扰)

             

贡献者: addis

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预备知识 不含时微扰理论

   微扰理论($\mathcal{E_z}$ 是 $z$ 方向电场):

\begin{equation} H' = \mathcal{E_z} z \end{equation}
矩阵元为
\begin{equation} H'_{l',l} = \mathcal{E_z} \left\langle \psi_{n,l',m} \middle| z \middle| \psi_{n,l,m} \right\rangle \end{equation}

例 1 氢原子 $n=2$ 的斯塔克效应

   先考虑 $n=2$,$m=0$ 的情况,这是一个二维希尔伯特子空间.根据表 1 式 2

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{H}} ' = -3\mathcal{E_z} \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} \end{equation}
本征值为 $E_{\pm}^1 = \mp 3\mathcal{E_z}$,好本征态为 $ \left\lvert 2\pm \right\rangle = ( \left\lvert 20 \right\rangle \pm \left\lvert 21 \right\rangle )/{\sqrt 2}$,也被称为 Stark 态

图
图 1:$ \left\lvert 2+ \right\rangle $ 的概率密度函数的 $x$-$z$ 切面,可见电子向下偏移,电场向上为正,所以本征能量变小.$ \left\lvert 2- \right\rangle $ 态是此图上下翻转,本征能量变大.

   不要以为图 1 是外电场扭曲波函数的结果,$ \left\lvert 2\pm \right\rangle $ 本身就是无电场的氢原子 $n=2$ 本征态.施加了电场后波函数反而需要进一步修正.

   从经典电磁学角度来理解,电偶极子在电场中的能量(式 7 )等于 $-d_z \mathcal{E}_z$,其中 $d_z$ 是 $z$ 方向电偶极子

\begin{equation} d_z^{(\pm)} = \left\langle 2\pm \middle| z \middle| 2\pm \right\rangle = \pm 3 \end{equation}

  

未完成:如果初始时,波函数处于 $n=2$ 子空间的任意状态,例如 $ \left\lvert 20 \right\rangle $,那么当逐渐施加电场后,波函数会如何变化?


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