氢原子电离计算(一阶微扰)

             

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预备知识 跃迁概率(含时微扰)

   本文使用原子单位制

1. 长度规范

   归一化的平面波和归一化的氢原子基态为

\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = (2\pi)^{-3/2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \qquad \left\lvert 0 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e} ^{-r} \end{equation}
长度规范下的跃迁偶极子,可以在极坐标系中积分
\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{r}} \middle| 0 \right\rangle = \frac{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} }{(2\pi)^{3/2}\sqrt{\pi}} \int_0^{+\infty} \int_0^\pi \mathrm{e} ^{-r} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k r \cos\theta} r \cos\theta \cdot 2\pi r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{r} \end{equation}
换元,令 $u = \cos\theta$,得1
\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{r}} \middle| 0 \right\rangle &= \frac{1}{\sqrt 2 \pi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \int_0^{+\infty} r^3 \mathrm{e} ^{-r} \int_{-1}^1 \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k r u} u \,\mathrm{d}{u} \cdot \,\mathrm{d}{r} \\ &= \mathrm{i} \frac{\sqrt2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} }{k\pi} \int_0^{+\infty} r^2 \mathrm{e} ^{-r} \left[ \cos\left(kr\right) - \frac{1}{kr} \sin\left(kr\right) \right] \,\mathrm{d}{r} \\ &= - \mathrm{i} \frac{8 \sqrt2}{\pi} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }{(k^2+1)^3} \end{aligned} \end{equation}
未完成:代入未完成

2. 速度规范

   注意一阶微扰理论中的初态和末态波函数都是无微扰(无外场)情况下的,与规范无关.要计算 $ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol\nabla \middle| 0 \right\rangle $,先看积分

\begin{equation} \int \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) \exp\left(-r\right) \,\mathrm{d}^{3}{r} = \frac{8\pi }{(k^2 + 1)^2} \end{equation}
使用算符 $ \boldsymbol\nabla $ 的反厄米性得
\begin{equation} \begin{aligned} &\int \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) \boldsymbol\nabla \exp\left(-r\right) \,\mathrm{d}^{3}{r} = -\int [ \boldsymbol\nabla \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) ]^* \exp\left(-r\right) \,\mathrm{d}^{3}{r} \\ &= \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \int \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) \exp\left(-r\right) \,\mathrm{d}^{3}{r} = \mathrm{i} \frac{8 \pi \boldsymbol{\mathbf{k}} }{(k^2 + 1)^2} \end{aligned} \end{equation}
乘以归一化系数得
\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol\nabla \middle| 0 \right\rangle = \mathrm{i} \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\frac{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }{(k^2 + 1)^2} \end{equation}
该式代入式 9 ($q = -1$)得微分截面为
\begin{equation} \frac{\partial \sigma}{\partial \Omega} = \frac{32}{mc\omega} \frac{k( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} )^2}{(k^2 + 1)^4} = \frac{64}{mc} \frac{k( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} )^2}{(k^2 + 1)^5} \end{equation}
对于质子数为 $Z$ 类氢原子有
\begin{equation} \frac{\partial \sigma}{\partial \Omega} = \frac{32 Z^5}{mc\omega} \frac{k( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} )^2}{(k^2 + Z^2)^4} \end{equation}

3. 两种规范对比

   如果 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle $ 是库仑函数(能量本征态)应该有(式 2

\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{r}} \middle| 0 \right\rangle = -\frac{ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol\nabla \middle| 0 \right\rangle }{m\omega_{k0}} \end{equation}
其中 $\omega_{k0} = k^2/2 + 1/2$,但实际上式 3 式 6 满足
\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{r}} \middle| 0 \right\rangle = -2\frac{ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol\nabla \middle| 0 \right\rangle }{m\omega_{k0}} \end{equation}
这说明在使用平面波近似库伦函数时,长度规范的 transition amplitude 恰好是速度规范的 2 倍,截面是四倍(待求证).

   教材中推导微分截面一般使用速度规范,因为速度规范的结果与实验吻合更好.


1. ^ 最后一步可通过 Wolfram Alpha 获得

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