氢原子电离计算(一阶微扰)

                     

贡献者: addis

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预备知识 跃迁概率(含时微扰)

   本文使用原子单位制,用平面波近似末态库伦函数.

1. 长度规范

   归一化的平面波和归一化的氢原子基态为

\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = (2\pi)^{-3/2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }, \qquad \left\lvert 0 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e} ^{-r}~. \end{equation}
长度规范下的跃迁偶极子,可以在极坐标系中积分(令 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} $ 方向为极轴,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 与其夹角为 $\theta$)
\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{r}} \middle| 0 \right\rangle = \frac{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} }{(2\pi)^{3/2}\sqrt{\pi}} \int_0^{+\infty} \int_0^\pi \mathrm{e} ^{-r} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k r \cos\theta} r \cos\theta \cdot 2\pi r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{r} \end{equation}
换元,令 $u = \cos\theta$,得1
\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{r}} \middle| 0 \right\rangle &= \frac{1}{\sqrt 2 \pi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \int_0^{+\infty} r^3 \mathrm{e} ^{-r} \int_{-1}^1 \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k r u} u \,\mathrm{d}{u} \cdot \,\mathrm{d}{r} \\ &= \mathrm{i} \frac{\sqrt2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} }{k\pi} \int_0^{+\infty} r^2 \mathrm{e} ^{-r} \left[ \cos\left(kr\right) - \frac{1}{kr} \sin\left(kr\right) \right] \,\mathrm{d}{r} \\ &= - \mathrm{i} \frac{8 \sqrt2}{\pi} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }{(k^2+1)^3} \end{aligned} \end{equation}

   Matlab 代码如下

代码 1:hydrogen_trans_dipole0.m
% hydrogen transition dipole, approximate Coulomb plane wave with plane wave
% since middle and right parts are symmetric,
%     assuming \vec k in z+ direction
% <\vec k|\vec r|n,0,0> = [0, 0, <\vec k|z|n,0,0>]
% output numerical integration and analytical result (HyIon2_eq1)
function [dipole_z, dipole_analy_z] = hydrogen_trans_dipole0(kz, ZZ, n)
% === params ===
rmax = 20; Nr = 200; Nth = 100;
% ==============
k = [0, 0, kz];
r = linspace(0, rmax, Nr); dr = rmax / (Nr-1);
th = linspace(0, pi, Nth); dth = pi / (Nth-1);
ph = 0;
[R, Th] = ndgrid(r, th);
Z = R .* cos(Th);
Psi_n = hydrogen_Psi(ZZ, n, 0, 0, r', th, ph);
% <\vec k|\vec r|0>
Psi_k = 1/(2*pi)^(3/2) * exp(1i*kz.*Z);
dipole_z = sum(sum(conj(Psi_k).*Z.*Psi_n .*R.^2.*sin(Th))) ...
    * dr * dth * 2*pi;
% HyIon2_eq1
if n == 1
    dipole_analy_z = -1i*(8*sqrt(2))/pi * kz / (dot(k,k) + 1)^3;
end
end

2. 速度规范

   注意一阶微扰理论中的初态和末态波函数都是无微扰(无外场)情况下的,与规范无关.要计算 $ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol\nabla \middle| 0 \right\rangle $,先看积分

\begin{equation} \int \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) \exp\left(-r\right) \,\mathrm{d}^{3}{r} = \frac{8\pi }{(k^2 + 1)^2} \end{equation}
使用算符 $ \boldsymbol\nabla $ 的反厄米性得
\begin{equation} \begin{aligned} &\int \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) \boldsymbol\nabla \exp\left(-r\right) \,\mathrm{d}^{3}{r} = -\int [ \boldsymbol\nabla \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) ]^* \exp\left(-r\right) \,\mathrm{d}^{3}{r} \\ &= \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \int \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) \exp\left(-r\right) \,\mathrm{d}^{3}{r} = \mathrm{i} \frac{8 \pi \boldsymbol{\mathbf{k}} }{(k^2 + 1)^2} \end{aligned} \end{equation}
乘以归一化系数得
\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol\nabla \middle| 0 \right\rangle = \mathrm{i} \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\frac{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }{(k^2 + 1)^2} \end{equation}
该式代入式 9 ($q = -1$)得微分截面为
\begin{equation} \frac{\partial \sigma}{\partial \Omega} = \frac{32}{mc\omega} \frac{k( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} )^2}{(k^2 + 1)^4} = \frac{64}{mc} \frac{k( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} )^2}{(k^2 + 1)^5} \end{equation}
对于质子数为 $Z$ 类氢原子有
\begin{equation} \frac{\partial \sigma}{\partial \Omega} = \frac{32 Z^5}{mc\omega} \frac{k( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} )^2}{(k^2 + Z^2)^4} \end{equation}

3. 两种规范对比

   如果 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle $ 是库仑函数(能量本征态)应该有(式 2

\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{r}} \middle| 0 \right\rangle = -\frac{ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol\nabla \middle| 0 \right\rangle }{m\omega_{k0}} \end{equation}
其中 $\omega_{k0} = k^2/2 + 1/2$,但实际上式 3 式 6 满足
\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{r}} \middle| 0 \right\rangle = -2\frac{ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol\nabla \middle| 0 \right\rangle }{m\omega_{k0}} \end{equation}
这说明在使用平面波近似库伦函数时,长度规范的 transition amplitude 恰好是速度规范的 2 倍,截面是四倍(待求证).

   教材中推导微分截面一般使用速度规范,因为速度规范的结果与实验吻合更好.

4. 使用库仑平面波

   理论上若把上面的平面波换成库仑平面波(库仑势能中的精确散射态),那么理论上用不同的规范结果是一样的.笔者没有见过该积分的解析解,长度规范的 Matlab 数值积分代码如下:

代码 2:hydrogen_trans_dipole.m
% exact hydrogen transition dipole with Coulomb plane wave
% since middle and right parts are symmetric,
%     assuming \vec k in z+ direction
% <C_{\vec k}|\vec r|n,0,0> = [0, 0, <C_{\vec k}|z|n,0,0>]
function dipole_z = hydrogen_trans_dipole(kz, ZZ, n)
% === params ===
rmax = 25; Nr = 300; Nth = 180;
Sign = -1; % plane wave out
% ==============
k = [0, 0, kz];
dr = rmax / Nr; dth = pi / Nth;
r = linspace(dr/2, rmax-dr/2, Nr);
th = linspace(dth/2, pi-dth/2, Nth); 
ph = 0;
Psi_n = hydrogen_Psi(ZZ, n, 0, 0, r', th, ph);
[R, Th] = ndgrid(r, th); Ph = ones(size(R)) * ph;
[X, Y, Z] = Sph2Cart(R, Th, Ph); % Y all 0
Psi_k = coulomb_plane_par(k, X, Y, Z, ZZ, Sign);
% <C_{\vec k}|\vec r|0>
dipole_z = sum(sum(conj(Psi_k).*Z.*Psi_n .*R.^2.*sin(Th))) ...
    * dr * dth * 2*pi;
end

  

未完成:速度规范数值积分,验证


1. ^ 最后一步可通过 Wolfram Alpha 获得


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