氢原子的跃迁偶极子矩阵元列表

             

预备知识 氢原子的跃迁偶极子矩阵元和选择定则

1. $z$ 方向跃迁偶极子矩阵元

   表 1 给出了核电荷数 $Z=1$ 时的 $ \left\langle \psi_{n',l',m'} \middle| z \middle| \psi_{n,l,m} \right\rangle $,由于这是一个对称矩阵,只给出矩阵的上半三角.当 $Z > 1$ 时把表中每个矩阵元除以 $Z$ 即可.这是因为 $\psi_{n,l,m}$ 与 $Z$ 成反比进行缩放(保持归一化),导致 $ \left\lvert \psi_{n,l,m} \right\rvert ^2$ 和 $z$ 的平均值也是如此.

表1:$ \left\langle \psi_{n',l',0} \middle| z \middle| \psi_{n,l,0} \right\rangle $ 的上半三角,$Z=1$
$ \left\lvert n,l,m \right\rangle $ $ \left\lvert 1,0,0 \right\rangle $ $ \left\lvert 2,0,0 \right\rangle $ $ \left\lvert 2,1,0 \right\rangle $ $ \left\lvert 3,0,0 \right\rangle $ $ \left\lvert 3,1,0 \right\rangle $ $ \left\lvert 3,2,0 \right\rangle $ $ \left\lvert 4,0,0 \right\rangle $ $ \left\lvert 4,1,0 \right\rangle $ $ \left\lvert 4,2,0 \right\rangle $ $ \left\lvert 4,3,0 \right\rangle $
$ \left\lvert 1,0,0 \right\rangle $ 0
$ \left\lvert 2,0,0 \right\rangle $ 0 0
$ \left\lvert 2,1,0 \right\rangle $ $\frac{128\sqrt 2}{243}$ $-3$ 0
$ \left\lvert 3,0,0 \right\rangle $ 0 0 $\frac{3456\sqrt 6}{15625}$ 0
$ \left\lvert 3,1,0 \right\rangle $ $\frac{27}{64\sqrt 2}$ $\frac{27648}{15625}$ 0 $-3\sqrt 6$ 0
$ \left\lvert 3,2,0 \right\rangle $ 0 0 $\frac{110592\sqrt 3}{78125}$ 0 $-3 \sqrt 3$ 0
$ \left\lvert 4,0,0 \right\rangle $ 0 0 $\frac{1024\sqrt 2}{6561}$ 0 $\frac{5750784 \sqrt 2}{5764801}$ 0 0
$ \left\lvert 4,1,0 \right\rangle $ $\frac{6144}{15625 \sqrt 5}$ $\frac{512\sqrt{10}}{2187}$ 0 $\frac{4700160 \sqrt{15}}{5764801}$ 0 $\frac{3538944}{5764801}\sqrt{\frac 65}$ $-6\sqrt 5$ 0
$ \left\lvert 4,2,0 \right\rangle $ 0 0 $\frac{4096\sqrt 2}{6561}$ 0 $\frac{15925248 \sqrt 2}{5764801}$ 0 0 $-\frac{24}{\sqrt 5}$ 0
$ \left\lvert 4,3,0 \right\rangle $ 0 0 0 0 0 $\frac{191102976}{40353607}\sqrt{\frac 65}$ 0 0 $-\frac{18}{\sqrt 5}$ 0

   这可以用于计算类氢原子斯塔克效应以及跃迁率(未完成)等.

   Mathematica 代码(请自行修改矩阵尺寸和循环范围),HydrogenR 函数见类氢原子的束缚态

DipoleZ[Z_, n1_, l1_, m1_, n2_, l2_, 
   m2_] := (-1)^
    m1 Sqrt[(2 l1 + 1) (2 l2 + 1)] ThreeJSymbol[{l1, 0}, {1, 0}, {l2, 
     0}] Integrate[
    HydrogenR[Z, n1, l1, r]\[Conjugate] HydrogenR[Z, n2, l2, 
      r] r^3, {r, 0, +\[Infinity]}] ThreeJSymbol[{l1, -m1}, {1, 
     0}, {l2, m2}];
d = ConstantArray[0, {10, 10}];
i1 = 0; i2 = 0;
For[n1 = 1, n1 <= 4, n1++, For[l1 = 0, l1 < n1, l1++,
  ++i1; i2 = 0;
  For[n2 = 1, n2 <= 4, n2++, For[l2 = 0, l2 < n2, l2++,
    ++i2;
    d[[i1, i2]] = DipoleZ[1, n1, l1, 0, n2, l2, 0];
  ]]
]];
Print[d // MatrixForm];

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