氢原子的跃迁偶极子矩阵元列表

贡献者： addis; 切糕糕

预备知识　氢原子的跃迁偶极子矩阵元和选择定则

1. $z$ 方向跃迁偶极子矩阵元

　　表 1 给出了核电荷数 $Z=1$ 时的 $ \left\langle \psi_{n',l',m'} \middle| z \middle| \psi_{n,l,m} \right\rangle $，由于这是一个实对称矩阵，只给出矩阵的下半三角。当 $Z > 1$ 时把表中每个矩阵元除以 $Z$ 即可。这是因为 $\psi_{n,l,m}$ 与 $Z$ 成反比进行缩放（保持归一化），导致 $ \left\lvert \psi_{n,l,m} \right\rvert ^2$ 和 $z$ 的平均值也是如此。

表1：$ \left\langle \psi_{n',l',0} \middle| z \middle| \psi_{n,l,0} \right\rangle $ 的下半三角，$Z=1$

$ \left\lvert n,l,m \right\rangle $	$ \left\lvert 1,0,0 \right\rangle $	$ \left\lvert 2,0,0 \right\rangle $	$ \left\lvert 2,1,0 \right\rangle $	$ \left\lvert 3,0,0 \right\rangle $	$ \left\lvert 3,1,0 \right\rangle $	$ \left\lvert 3,2,0 \right\rangle $	$ \left\lvert 4,0,0 \right\rangle $	$ \left\lvert 4,1,0 \right\rangle $	$ \left\lvert 4,2,0 \right\rangle $	$ \left\lvert 4,3,0 \right\rangle $
$ \left\lvert 1,0,0 \right\rangle $	0
$ \left\lvert 2,0,0 \right\rangle $	0	0
$ \left\lvert 2,1,0 \right\rangle $	$\frac{128\sqrt 2}{243}$	$-3$	0
$ \left\lvert 3,0,0 \right\rangle $	0	0	$\frac{3456\sqrt 6}{15625}$	0
$ \left\lvert 3,1,0 \right\rangle $	$\frac{27}{64\sqrt 2}$	$\frac{27648}{15625}$	0	$-3\sqrt 6$	0
$ \left\lvert 3,2,0 \right\rangle $	0	0	$\frac{110592\sqrt 3}{78125}$	0	$-3 \sqrt 3$	0
$ \left\lvert 4,0,0 \right\rangle $	0	0	$\frac{1024\sqrt 2}{6561}$	0	$\frac{5750784 \sqrt 2}{5764801}$	0	0
$ \left\lvert 4,1,0 \right\rangle $	$\frac{6144}{15625 \sqrt 5}$	$\frac{512\sqrt{10}}{2187}$	0	$\frac{4700160 \sqrt{15}}{5764801}$	0	$\frac{3538944}{5764801}\sqrt{\frac 65}$	$-6\sqrt 5$	0
$ \left\lvert 4,2,0 \right\rangle $	0	0	$\frac{4096\sqrt 2}{6561}$	0	$\frac{15925248 \sqrt 2}{5764801}$	0	0	$-\frac{24}{\sqrt 5}$	0
$ \left\lvert 4,3,0 \right\rangle $	0	0	0	0	0	$\frac{191102976}{40353607}\sqrt{\frac 65}$	0	0	$-\frac{18}{\sqrt 5}$	0

　　这可以用于计算类氢原子斯塔克效应以及跃迁率（未完成）等。

　　 Mathematica 代码（请自行修改矩阵尺寸和循环范围），HydrogenR 函数见类氢原子的束缚态。

DipoleZ[Z_, n1_, l1_, m1_, n2_, l2_, 
   m2_] := (-1)^
    m1 Sqrt[(2 l1 + 1) (2 l2 + 1)] ThreeJSymbol[{l1, 0}, {1, 0}, {l2, 
     0}] Integrate[
    HydrogenR[Z, n1, l1, r]\[Conjugate] HydrogenR[Z, n2, l2, 
      r] r^3, {r, 0, +\[Infinity]}] ThreeJSymbol[{l1, -m1}, {1, 
     0}, {l2, m2}];
d = ConstantArray[0, {10, 10}];
i1 = 0; i2 = 0;
For[n1 = 1, n1 <= 4, n1++, For[l1 = 0, l1 < n1, l1++,
  ++i1; i2 = 0;
  For[n2 = 1, n2 <= 4, n2++, For[l2 = 0, l2 < n2, l2++,
    ++i2;
    d[[i1, i2]] = DipoleZ[1, n1, l1, 0, n2, l2, 0];
  ]]
]];
Print[d // MatrixForm];

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损，并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。