含连续态的不含时微扰理论（量子力学）
贡献者： addis
预备知识 二阶不含时微扰理论（量子力学）
，库仑散射（量子）
若不含时微扰需要包含连续态（例如氢原子 stark 效应），那么一阶微扰的式 20 到式 22 以及二阶微扰的式 3 中，$ \left\lvert \psi_n^0 \right\rangle $ 仍然是束缚态，$ \left\lvert \psi_n^1 \right\rangle $ 是束缚态和连续态叠加 s。$ \left\langle \psi_m^0 \right\rvert $ 可以是束缚态或者连续态。
这样的改变对束缚态的 $E_n^1$ 修正没有任何影响，但式 8 和式 1 的求和中需要包含连续态。
对于氢原子来说，包含连续态是很重要的。若不含，则 $E_n^2$ 会比实际值偏小！
\begin{equation}
\psi_n^1 = \sum_m^{E_m^0 \ne E_n^0} \frac{ \left\langle \psi_m^0 \middle| H^1 \middle| \psi_n^0 \right\rangle }{E_n^0 - E_m^0} \psi_m^0
+ \int \frac{ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| H^1 \middle| \psi_n^0 \right\rangle }{E_n^0 - E^0( \boldsymbol{\mathbf{k}} )} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } ~,
\end{equation}
\begin{equation}
E_n^2 = \sum_{m}^{E_m\ne E_n} \frac{ \left\lvert \left\langle \psi_m^0 \middle| H^1 \middle| \psi_n^0 \right\rangle \right\rvert ^2}{E_n^0-E_m^0}
+ \int \frac{ \left\lvert \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| H^1 \middle| \psi_n^0 \right\rangle \right\rvert ^2}{E_n^0-E^0( \boldsymbol{\mathbf{k}} )} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 只是描述连续态的一个参数，且连续态需要满足正交归一。
\begin{equation}
\left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = \delta( \boldsymbol{\mathbf{k}} '- \boldsymbol{\mathbf{k}} )~.
\end{equation}
例如在
氢原子的 Stark 效应中，这里的 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle $ 可以表示库仑平面波，但实时上用球面波基底更方便。
具体例子见 Stark 效应。
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