含连续态的不含时微扰理论（量子力学）
贡献者： addis
预备知识 二阶不含时微扰理论（量子力学）
，库仑散射（量子）
若不含时微扰需要包含连续态（例如氢原子 stark 效应），那么一阶微扰的式 20 到式 22 以及二阶微扰的式 3 中，$ \left\lvert \psi_n^0 \right\rangle $ 仍然是束缚态，$ \left\lvert \psi_n^1 \right\rangle $ 是束缚态和连续态叠加 s。$ \left\langle \psi_m^0 \right\rvert $ 可以是束缚态或者连续态。
这样的改变对束缚态的 $E_n^1$ 修正没有任何影响，但式 8 和式 1 的求和中需要包含连续态。
对于氢原子来说，包含连续态是很重要的。若不含，则 $E_n^2$ 会比实际值偏小！
\begin{equation}
\psi_n^1 = \sum_m^{E_m^0 \ne E_n^0} \frac{ \left\langle \psi_m^0 \middle| H^1 \middle| \psi_n^0 \right\rangle }{E_n^0 - E_m^0} \psi_m^0
+ \int \frac{ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| H^1 \middle| \psi_n^0 \right\rangle }{E_n^0 - E^0( \boldsymbol{\mathbf{k}} )} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } ~,
\end{equation}
\begin{equation}
E_n^2 = \sum_{m}^{E_m\ne E_n} \frac{ \left\lvert \left\langle \psi_m^0 \middle| H^1 \middle| \psi_n^0 \right\rangle \right\rvert ^2}{E_n^0-E_m^0}
+ \int \frac{ \left\lvert \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| H^1 \middle| \psi_n^0 \right\rangle \right\rvert ^2}{E_n^0-E^0( \boldsymbol{\mathbf{k}} )} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 只是描述连续态的一个参数，且连续态需要满足正交归一。
\begin{equation}
\left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = \delta( \boldsymbol{\mathbf{k}} '- \boldsymbol{\mathbf{k}} )~.
\end{equation}
例如在氢原子的 stark 效应
中，这里的 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle $ 可以表示库仑平面波，但实时上用球面波基底更方便。
具体例子见 stark 效应。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。