电偶极子 2

贡献者： addis; ACertainUser

预备知识　电偶极子

　　电偶极子的定义可以拓展到多个电荷的情况或者连续分布的情况

\begin{matrix} (1) & p = \sum_{i} r_{i} q_{i}, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & p = \int r ρ (r) d V . \end{matrix}

　　注意只有被求和或者积分的所有电荷之和为零，偶极子 $p$ 才不随参考系改变

\begin{matrix} (3) & \sum_{i} (r_{i} + d) q_{i} = \sum_{i} r_{i} q_{i} + d \sum_{i} q_{i} . \end{matrix}

若电荷之和不为零，我们可以定义一个和质心性质类似的中心

\begin{matrix} (4) & r_{0} = \frac{\sum_{i} r_{i} q_{i}}{\sum_{i} q_{i}} . \end{matrix}

可以证明这个位置和参考系无关。

\begin{matrix} (5) & \frac{\sum_{i} (r_{i} + d) q_{i}}{\sum_{i} q_{i}} = r_{0} + d . \end{matrix}

如果以

r_{0}

为原点，偶极子为零。

　　那多级展开到底应该关于哪一点进行呢？笔者认为最好的选择是（想像一个巨大的正电荷左右分别有两个等大反号的小电荷，中心当然应该是在大电荷上）

\begin{matrix} (6) & r_{0} = \frac{\sum_{i} r_{i} | q_{i} |}{\sum_{i} | q_{i} |}, \end{matrix}

这个位置同样与坐标系选取无关。

1. 匀强电场中电偶极子的势能

\begin{matrix} (7) & E = - p \cdot E . \end{matrix}

图 1：匀强电场中电偶极子的势能示意图，角度即为

p

与

E

的夹角

未完成：推导

如图 1 所示，我们选定夹角为

90^{\circ}

时为势能零点。当角度增大、电偶极子逆时针旋转时，需要外力做功来克服电场力（的力偶）¹，因此势能升高；反之，当角度增减小、电偶极子顺时针旋转时，电场力做功，势能降低。

1. ^ 如果你对力偶不太熟悉，可以这么想：逆时针旋转过程中，正电荷朝着电场反方向运动，因此电场力阻碍正电荷运动，因此需要外力以克服电场力

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