导数与函数极值(简明微积分)

             

预备知识 二阶导数
图
图 1:导数为零的三种点

   如图 1 ,若一个一元函数 $y = f(x)$ 在某区间内处处可导(即对区间内的任何 $x$ 导数 $f'(x)$ 都存在),若区间内存在某些 $x_i$ 能使 $f'(x_i) = 0$(即在这些点处函数曲线的斜率为零),这样的点被称为驻点

   而从函数曲线来看,驻点又分为三类:极大值极小值鞍点.我们以 $x_i$ 为中心取一个小区间,如果这个区间足够小,那么容易看出对于极大值点,$f'(x)$ 在小区间内递减,对于鞍点,$f'(x)$ 在小区间内恒为非负或恒为非正,对于极小值点,$f'(x)$ 在小区间内递增.所以为了判断驻点的类型,我们可以在驻点处求函数的二阶导数 $f''(x_i)$.假设二阶偏导存在,如果 $f''(x_i) < 0$,那么 $x_i$ 是极大值点,如果 $f''(x_i) > 0$,$x_i$ 是极小值点.要注意的是,如果 $f''(x_i) = 0$,不能直接判断 $x_i$ 鞍点,需要进一步分析:例如我们可以判断驻点左边和右边的一阶导数符号,如果同号则是驻点,左正右负则是极大值,左负右正则是极小值.

   另外,若某个极小值点是整个考察区间中函数值最小的点,它就被称为最小值点,若某个极大值点是该区间中函数值最大的点,它就被称为最大值点

例 1 

   二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的导函数为 $f'(x) = 2ax + b$,所以唯一的驻点为 $-b/(2a)$.函数的二阶导数是一个常数 $f''(x) = 2a$,所以当 $a > 0$ 时驻点是唯一的极小值点,即最小值点.同理,当 $a < 0$ 时驻点是最大值点.

图
图 2:例 2 函数图

例 2 

   函数 $f(x) = x+a/x \ \ (a > 0)$ 的一阶导函数为 $f'(x) = 1 - a/x^2$,若我们只考察区间 $(0, +\infty)$,唯一的驻点为 $x = \sqrt{a}$.函数的二阶导函数 $f''(x) = 2a/x^3$ 在驻点处的值为 $2/\sqrt{a} > 0$,所以该驻点为当前区间的最小值点(图 2 ).

例 3 

   函数 $f(x) = x^3$ 的一阶导函数为 $f'(x) = 3x^2$,唯一的驻点为 $x = 0$.函数的二阶导函数 $f''(x) = 6x$ 在驻点处的值为 $0$.由于 $f'(x)$ 在原点左侧和右侧都大于 0,所以这是一个鞍点.

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