贡献者： addis
这里列出几个高中常见的三角函数恒等式。以下用到的两个高中数学不常见的三角函数分别为 $\csc \alpha= 1/\sin \alpha$，$\sec \alpha = 1/\cos \alpha$，分别读作 cosecant 和 secant。
勾股定理
\begin{equation}
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1~.
\end{equation}
等式两边同除 $\cos^2 \alpha$ 和 $\sin^2 \alpha$ 得
\begin{gather}
\tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha~,\\
1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha~.
\end{gather}
两角和公式
\begin{gather}
\sin\left(\alpha\pm \beta\right) = \sin \alpha\cos \beta \pm \cos \alpha\sin \beta~,\\
\cos\left(\alpha\pm \beta\right) = \cos \alpha\cos \beta \mp \sin \alpha\sin \beta~,\\
\tan\left(\alpha\pm \beta\right) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}~.
\end{gather}
二倍角公式
令式 4 中 $\beta=\alpha$ 取上号得
\begin{gather}
\sin 2\alpha = 2\sin \alpha\cos \alpha~,\\
\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha~,\\
\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}~.
\end{gather}
降幂公式
结合式 8 和 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ 可以得到
\begin{gather}
\sin^2 \alpha = \frac12 (1- \cos 2\alpha) ~, \\
\cos^2 \alpha = \frac12 (1+\cos 2\alpha) ~.
\end{gather}
由此可得半角公式
\begin{gather}
\sin\frac{ \alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}~,\\
\cos\frac{ \alpha}{2}= \pm\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}~,\\
\tan\frac{ \alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}~.
\end{gather}
注意正负号的选择需要根据 $\alpha$ 所在的区间判断，如果需要恒等式则两边取平方。
和差化积公式
\begin{gather}
\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right) ~,\\
\sin \alpha - \sin \beta = 2\sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right) \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) ~,\\
\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2} \right) \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2} \right) ~,\\
\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2} \right) \sin \left(\frac{\alpha-\beta}{2} \right) ~.
\end{gather}
积化和差公式
根据上文的和差化积公式，我们也可以直接写出积化和差公式
\begin{gather}
\sin \alpha\sin \beta = \frac12 [ \cos\left(\alpha - \beta\right) - \cos\left(\alpha + \beta\right) ]~,\\
\cos \alpha\cos \beta = \frac12 [ \cos\left(\alpha + \beta\right) + \cos\left(\alpha - \beta\right) ]~,\\
\sin \alpha\cos \beta = \frac12 [ \sin\left(\alpha + \beta\right) + \sin\left(\alpha - \beta\right) ]~.
\end{gather}
辅助角公式
\begin{equation}
a\sin \alpha + b\cos \alpha = \sqrt{a^2+b^2} \sin\left(\alpha + \phi\right) \qquad \left(\phi = \tan^{-1}\frac{b}{a} \right) ~.
\end{equation}
1. 证明
两角和公式
图 1：两角和公式
如图 1 ，要证明式 4 ，令 $OB = 1$，那么 $ \sin\left(\alpha+\beta\right) = BD = AC + BE$，而 $AC = OA \sin\alpha$，$OA = \cos\beta$；$BE = AB\cos\alpha$，$AB = \sin\beta$，代入得 $ \sin\left(\alpha+\beta\right) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$。注意当 $\alpha$ 或 $\beta$ 取其他任意值时，重新画图同样可以证明该关系。所以给 $\beta$ 取相反数，就得到 $ \sin\left(\alpha-\beta\right) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$
要证明式 5 ，$ \cos\left(\alpha+\beta\right) = OD = OC - EA$，而 $OC = OA\cos\alpha$，$OA = \cos\beta$；$EA = AB\sin\alpha$，$AB = \sin\beta$，代入得 $ \cos\left(\alpha+\beta\right) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$，$\beta$ 取相反数得 $ \cos\left(\alpha-\beta\right) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$。证毕。
两角和公式（几何矢量）
把以上过程用几何矢量语言可以表达得更自然。令 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 分别是图 1 直角坐标的单位矢量，$OA$ 方向的单位矢量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{a}}} $，$AB$ 方向的单位矢量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{b}}} $。易得
\begin{gather}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{a}}} = \cos\alpha\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\alpha\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~,\\
\hat{\boldsymbol{\mathbf{b}}} = -\sin\alpha\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\alpha\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~.
\end{gather}
同样以 $O$ 为原点，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{a}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{b}}} $ 可以看成 $x$-$y$ 直角坐标系旋转后的坐标系中的单位矢量。令 $OB$ 矢量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} $，那么 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} = \cos\beta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{a}}} + \sin\beta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{b}}} $，把以上两式代入得
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~,
\end{equation}
这就同时证明了两个两角和公式。证毕。
和差化积
以式 17 为例，$\cos \alpha, \cos \beta$ 和 $\cos \alpha + \cos \beta$ 分别等于图 2 中矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $（令它们的模长为 1）和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 在水平方向的投影长度，而 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 在水平方向的投影长度等为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \cos[(\alpha+\beta)/2]$，其中 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert = 2\cos [(\beta-\alpha)/2]$，代入可得式 17 。利用 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 在竖直方向的投影可得式 15 ，把式 15 和式 17 中的 $\beta$ 分别替换成 $-\beta$ 和 $\beta+\pi$ 可推导出式 16 和式 18 。
图 2：和差化积公式推导
未完成：图中 $x,y$ 改为 $\alpha,\beta$
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