三角恒等式

                     

贡献者: addis

预备知识 三角函数(高中)

   这里列出几个高中常见的三角函数恒等式.以下用到的两个高中数学不常见的三角函数分别为 $\csc \alpha= 1/\sin \alpha$,$\sec \alpha = 1/\cos \alpha$,分别读作 cosecant 和 secant.

勾股定理

\begin{equation} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \end{equation}
等式两边同除 $\cos^2 \alpha$ 和 $\sin^2 \alpha$ 得
\begin{gather} \tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha\\ 1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha \end{gather}

两角和公式

\begin{gather} \sin\left(\alpha\pm \beta\right) = \sin \alpha\cos \beta \pm \cos \alpha\sin \beta\\ \cos\left(\alpha\pm \beta\right) = \cos \alpha\cos \beta \mp \sin \alpha\sin \beta\\ \tan\left(\alpha\pm \beta\right) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \end{gather}

二倍角公式

   令式 4 中 $\beta=\alpha$ 取上号得

\begin{gather} \sin 2\alpha = 2\sin \alpha\cos \alpha\\ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\\ \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} \end{gather}

降幂公式

   结合式 8 和 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ 可以得到

\begin{gather} \sin^2 \alpha = \frac12 (1- \cos 2\alpha) \\ \cos^2 \alpha = \frac12 (1+\cos 2\alpha) \end{gather}
由此可得半角公式
\begin{gather} \sin\frac{ \alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}\\ \cos\frac{ \alpha}{2}= \pm\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}\\ \tan\frac{ \alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha} \end{gather}
注意正负号的选择需要根据 $\alpha$ 所在的区间判断,如果需要恒等式则两边取平方.

和差化积公式

\begin{gather} \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right) \\ \sin \alpha - \sin \beta = 2\sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right) \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \\ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2} \right) \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2} \right) \\ \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2} \right) \sin \left(\frac{\alpha-\beta}{2} \right) \end{gather}

积化和差公式

   根据上文的和差化积公式,我们也可以直接写出积化和差公式

\begin{gather} \sin \alpha\sin \beta = \frac12 [ \cos\left(\alpha - \beta\right) - \cos\left(\alpha + \beta\right) ]\\ \cos \alpha\cos \beta = \frac12 [ \cos\left(\alpha + \beta\right) + \cos\left(\alpha - \beta\right) ]\\ \sin \alpha\cos \beta = \frac12 [ \sin\left(\alpha + \beta\right) + \sin\left(\alpha - \beta\right) ] \end{gather}

辅助角公式

\begin{equation} a\sin \alpha + b\cos \alpha = \sqrt{a^2+b^2} \sin\left(\alpha + \phi\right) \qquad \left(\phi = \tan^{-1}\frac{b}{a} \right) \end{equation}

1. 证明

两角和公式

图
图 1:两角和公式

   如图 1 ,要证明式 4 ,令 $OB = 1$,那么 $ \sin\left(\alpha+\beta\right) = BD = AC + BE$,而 $AC = OA \sin\alpha$,$OA = \cos\beta$;$BE = AB\cos\alpha$,$AB = \sin\beta$,代入得 $ \sin\left(\alpha+\beta\right) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.注意当 $\alpha$ 或 $\beta$ 取其他任意值时,重新画图同样可以证明该关系.所以给 $\beta$ 取相反数,就得到 $ \sin\left(\alpha-\beta\right) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

   要证明式 5 ,$ \cos\left(\alpha+\beta\right) = OD = OC - EA$,而 $OC = OA\cos\alpha$,$OA = \cos\beta$;$EA = AB\sin\alpha$,$AB = \sin\beta$,代入得 $ \cos\left(\alpha+\beta\right) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$,$\beta$ 取相反数得 $ \cos\left(\alpha-\beta\right) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.证毕.

两角和公式(几何矢量)

   把以上过程用几何矢量 语言可以表达得更自然.令 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 分别是图 1 直角坐标的单位矢量,$OA$ 方向的单位矢量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{a}}} $,$AB$ 方向的单位矢量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{b}}} $.易得

\begin{gather} \hat{\boldsymbol{\mathbf{a}}} = \cos\alpha\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\alpha\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{b}}} = -\sin\alpha\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\alpha\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{gather}
同样以 $O$ 为原点,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{a}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{b}}} $ 可以看成 $x$-$y$ 直角坐标系旋转后的坐标系中的单位矢量.令 $OB$ 矢量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} $,那么 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} = \cos\beta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{a}}} + \sin\beta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{b}}} $,把以上两式代入得
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{equation}
这就同时证明了两个两角和公式.证毕.

和差化积

   以式 17 为例,$\cos \alpha, \cos \beta$ 和 $\cos \alpha + \cos \beta$ 分别等于图 2 中矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $(令它们的模长为 1)和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 在水平方向的投影长度,而 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 在水平方向的投影长度等为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \cos[(\alpha+\beta)/2]$,其中 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert = 2\cos [(\beta-\alpha)/2]$,代入可得式 17 .利用 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 在竖直方向的投影可得式 15 ,把式 15 式 17 中的 $\beta$ 分别替换成 $-\beta$ 和 $\beta+\pi$ 可推导出式 16 式 18

图
图 2:和差化积公式推导

  

未完成:图中 $x,y$ 改为 $\alpha,\beta$


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