三角恒等式

贡献者： addis

预备知识　三角函数（高中）

　　这里列出几个高中常见的三角函数恒等式。以下用到的两个高中数学不常见的三角函数分别为 $\csc α = 1 / \sin α$ ， $\sec α = 1 / \cos α$ ，分别读作 cosecant 和 secant。

勾股定理

\begin{matrix} (1) & \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1 . \end{matrix}

等式两边同除

\cos^{2} α

和

\sin^{2} α

得

\begin{matrix} (2) & \tan^{2} α + 1 = \sec^{2} α, \\ (3) & 1 + \cot^{2} α = \csc^{2} α . \end{matrix}

两角和公式

\begin{matrix} (4) & \sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β, \\ (5) & \cos (α \pm β) = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β, \\ (6) & \tan (α \pm β) = \frac{\tan α \pm \tan β}{1 \mp \tan α \tan β} . \end{matrix}

二倍角公式

　　令式 4 中 $β = α$ 取上号得

\begin{matrix} (7) & \sin 2 α = 2 \sin α \cos α, \\ (8) & \cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α, \\ (9) & \tan 2 α = \frac{2 \tan α}{1 - \tan^{2} α} . \end{matrix}

降幂公式

　　结合式 8 和 $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ 可以得到

\begin{matrix} (10) & \sin^{2} α = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 α), \\ (11) & \cos^{2} α = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 α) . \end{matrix}

由此可得半角公式

\begin{matrix} (12) & \sin \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}}, \\ (13) & \cos \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}}, \\ (14) & \tan \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}} = \frac{\sin α}{1 + \cos α} = \frac{1 - \cos α}{\sin α} . \end{matrix}

注意正负号的选择需要根据

α

所在的区间判断，如果需要恒等式则两边取平方。

和差化积公式

\begin{matrix} (15) & \sin α + \sin β = 2 \sin (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2}), \\ (16) & \sin α - \sin β = 2 \sin (\frac{α - β}{2}) \cos (\frac{α + β}{2}), \\ (17) & \cos α + \cos β = 2 \cos (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2}), \\ (18) & \cos α - \cos β = - 2 \sin (\frac{α + β}{2}) \sin (\frac{α - β}{2}) . \end{matrix}

积化和差公式

　　根据上文的和差化积公式，我们也可以直接写出积化和差公式

\begin{matrix} (19) & \sin α \sin β = \frac{1}{2} [\cos (α - β) - \cos (α + β)], \\ (20) & \cos α \cos β = \frac{1}{2} [\cos (α + β) + \cos (α - β)], \\ (21) & \sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)] . \end{matrix}

辅助角公式

\begin{matrix} (22) & a \sin α + b \cos α = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (α + ϕ) (ϕ = \tan^{- 1} \frac{b}{a}) . \end{matrix}

1. 证明

两角和公式

图 1：两角和公式

　　如图 1 ，要证明式 4 ，令 $O B = 1$ ，那么 $\sin (α + β) = B D = A C + B E$ ，而 $A C = O A \sin α$ ， $O A = \cos β$ ； $B E = A B \cos α$ ， $A B = \sin β$ ，代入得 $\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β$ 。注意当 $α$ 或 $β$ 取其他任意值时，重新画图同样可以证明该关系。所以给 $β$ 取相反数，就得到 $\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$

　　要证明式 5 ， $\cos (α + β) = O D = O C - E A$ ，而 $O C = O A \cos α$ ， $O A = \cos β$ ； $E A = A B \sin α$ ， $A B = \sin β$ ，代入得 $\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$ ， $β$ 取相反数得 $\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$ 。证毕。

两角和公式（几何矢量）

　　把以上过程用几何矢量语言可以表达得更自然。令 $\hat{x}, \hat{y}$ 分别是图 1 直角坐标的单位矢量， $O A$ 方向的单位矢量为 $\hat{a}$ ， $A B$ 方向的单位矢量为 $\hat{b}$ 。易得

\begin{matrix} (23) & \hat{a} = \cos α \hat{x} + \sin α \hat{y}, \\ (24) & \hat{b} = - \sin α \hat{x} + \cos α \hat{y} . \end{matrix}

同样以

O

为原点，

\hat{a}, \hat{b}

可以看成

x

y

直角坐标系旋转后的坐标系中的单位矢量。令

O B

矢量为

\hat{u}

，那么

\hat{u} = \cos β \hat{a} + \sin β \hat{b}

，把以上两式代入得

\begin{matrix} (25) & \hat{u} = (\cos α \cos β - \sin α \sin β) \hat{x} + (\sin α \cos β + \cos α \sin β) \hat{y}, \end{matrix}

这就同时证明了两个两角和公式。证毕。

和差化积

　　以式 17 为例， $\cos α, \cos β$ 和 $\cos α + \cos β$ 分别等于图 2 中矢量 $A, B$ （令它们的模长为 1）和 $A + B$ 在水平方向的投影长度，而 $A + B$ 在水平方向的投影长度等为 $| A + B | \cos [(α + β) / 2]$ ，其中 $| A + B | = 2 \cos [(β - α) / 2]$ ，代入可得式 17 。利用 $A + B$ 在竖直方向的投影可得式 15 ，把式 15 和式 17 中的 $β$ 分别替换成 $- β$ 和 $β + π$ 可推导出式 16 和式 18 。

图 2：和差化积公式推导

未完成：图中

x, y

改为

α, β

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。