三角恒等式

             

预备知识 三角函数

   这里列出几个高中常见的三角函数恒等式,推导从略.以下用到的两个高中不常见的三角函数分别为 $\csc x= 1/\sin x$,$\sec x = 1/\cos x$,分别读作 cosecant 和 secant

勾股定理

\begin{equation} \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \end{equation}
等式两边同除 $\cos^2 x$ 得
\begin{equation} \tan^2 x + 1 = \sec^2 x \end{equation}

两角和公式

\begin{gather} \sin\left(x\pm y\right) = \sin x\cos y \pm \cos x\sin y\\ \cos\left(x\pm y\right) = \cos x\cos y \mp \sin x\sin y \end{gather}

二倍角公式

   令式 3 中 $y=x$ 取上号得

\begin{gather} \sin 2x = 2\sin x\cos x\\ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\\ \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} \end{gather}

降幂公式

   结合式 6 和 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 可以得到

\begin{gather} \sin^2 x = \frac12 (1- \cos 2x) \\ \cos^2 x = \frac12 (1+\cos 2x) \end{gather}

和差化积公式

\begin{gather} \sin x + \sin y = 2\sin \left(\frac{x + y}{2} \right) \cos \left(\frac{x - y}{2} \right) \\ \sin x - \sin y = 2\sin \left(\frac{x - y}{2} \right) \cos \left(\frac{x + y}{2} \right) \\ \cos x + \cos y = 2\cos \left(\frac{x+y}{2} \right) \cos \left(\frac{x-y}{2} \right) \\ \cos x - \cos y = -2\sin \left(\frac{x+y}{2} \right) \sin \left(\frac{x-y}{2} \right) \end{gather}

   这里介绍一种推导方法可方便记忆.以式 12 为例,$\cos x, \cos y$ 和 $\cos x + \cos y$ 分别等于图 1 中矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $(令它们的模长为 1)和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 在水平方向的投影长度,而 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 在水平方向的投影长度等为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \cos[(x+y)/2]$,其中 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert = 2\cos [(y-x)/2]$,代入可得式 12 .利用 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 在竖直方向的投影可得式 10 ,把式 10 式 12 中的 $y$ 分别替换成 $-y$ 和 $y+\pi$ 可推导出式 11 式 13

图
图 1:和差化积公式推导

1. 积化和差公式

   根据和差化积公式,我们也可以直接写出积化和差公式

\begin{gather} \sin x\sin y = \frac12 [ \cos\left(x - y\right) - \cos\left(x + y\right) ]\\ \cos x\cos y = \frac12 [ \cos\left(x + y\right) + \cos\left(x - y\right) ]\\ \sin x\cos y = \frac12 [ \sin\left(x + y\right) + \sin\left(x - y\right) ] \end{gather}

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