贡献者: addis
若已知 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$,则 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)$ 的导函数为
\begin{equation}
[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'[f^{-1}(x)]}
\end{equation}
为了消除上式可能产生的歧义,记 $f(x)$ 的导函数为 $h(x)$, $f(x)$ 的反函数为 $g(x)$。上式变为
\begin{equation}
g'(x) = \frac{1}{h[g(x)]}
\end{equation}
例 1
在区间 $[0, \infty)$ 上,令函数 $f(x) = x^2$,那么反函数为 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$。已知 $f'(x) = 2x$(式 7 ),带入式 1 得反函数的导数为
\begin{equation}
[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{2\sqrt{x}}
\end{equation}
我们也可以通过直接对 $\sqrt{x} = x^{1/2}$ 求导来验证这一结果的正确性。
反函可导的条件
只有函数 $y = f(x)$,在某个区间 $(x_1, x_2)$ 内连续且单调时。因为如果一个 $y$ 有多个 $x$ 对应,反函数中将会出现一个 $x$ 对应多个 $y$ 的情况。
1. 反函数的定义
令满足上述条件的某函数和反函数分别为 $f(x)$, $g(x)$,在有定义的区间内的任何一对满足 $y = f(x)$ 的 $x$, $y$ 都满足 $g(y) = x$,则 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数。
2. 证明
图 1:在同一点处,$f'= \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $,$g'= \mathrm{d}{x}/\mathrm{d}{y} $,互为倒数
根据导数和微分的关系,$y = f(x)$ 在 曲线上的某点 $(x_0, y_0)$,有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{y} = f'(x_0) \,\mathrm{d}{x}
\end{equation}
同一点也满足 $g(y_0) = x_0$,且
\begin{equation}
g'(y_0) \,\mathrm{d}{y} = \,\mathrm{d}{x}
\end{equation}
对比
式 4 和
式 5 ,得
\begin{equation}
g'(y_0) = \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} = \frac{1}{f'(x_0)}
\end{equation}
可见
图 1 曲线上同一点处 $f'$ 和 $g'$ 互为倒数。把 ${x_0} = g(y_0)$ 代入上式,得
\begin{equation}
g'(y_0) = \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} = \frac{1}{f'[g(y_0)]}
\end{equation}
上式中,$y_0$ 可以是 $g$ 函数定义域的任意一点,所以
\begin{equation}
g'(y) = \frac{1}{f'[g(y)]}
\end{equation}
或者用习惯上的 $x$ 作为自变量,得
\begin{equation}
g'(x) = \frac{1}{f'[g(x)]}
\end{equation}
证毕。
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