反函数求导(极简微积分)

                     

贡献者: addis

预备知识 基本初等函数的导数

   若已知 $f(x)$ 在某个区间上存在反函数 $f^{-1}(x)$,且二者都在各自的区间上可导,则 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)$ 的导函数可以用以下公式计算

\begin{equation} (f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} ~. \end{equation}
为了消除上式可能产生的歧义,记 $f(x)$ 的导函数为 $h(x)$, $f(x)$ 的反函数为 $g(x)$。上式变为
\begin{equation} g'(x) = \frac{1}{h(g(x))}~. \end{equation}

例 1 

   在区间 $[0, \infty)$ 上,令函数 $f(x) = x^2$,那么反函数为 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$,其定义域就是 $f(x)$ 所有可能的值的区间 $[0, \infty)$。显然,二者在各自的区间上都是处处可导的。已知 $f'(x) = 2x$(式 7 ),带入式 1 得反函数的导数为

\begin{equation} (f^{-1}(x))' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \qquad (x \ge 0)~, \end{equation}
我们也可以通过直接对 $\sqrt{x} = x^{1/2}$ 求导来验证这一结果的正确性。

反函数存在的条件

   令满足上述条件的某函数和反函数分别为 $f(x)$, $g(x)$,在有定义的区间内的任何一对满足 $y = f(x)$ 的 $x$, $y$ 都满足 $g(y) = x$,则 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数。

   只有函数 $y = f(x)$ 在某个区间内连续且单调时才可能存在反函数。例如例 1 中若令 $f(x)$ 的定义域为所有实数,那么每个 $y > 0$ 就对应两个不同的 $x$,从而产生歧义。

1. 推导

图
图 1:在同一点处,$f'= \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $,$g'= \mathrm{d}{x}/\mathrm{d}{y} $,互为倒数

  

未完成:反函数 $x = f(y)$ 可以把图像翻折一下看,把该图变为左右两个,关于虚线对称
根据导数和微分的关系,$y = f(x)$ 在曲线上的某点 $(x_0, y_0)$,有
\begin{equation} \,\mathrm{d}{y} = f'(x_0) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
同一点也满足 $g(y_0) = x_0$,且
\begin{equation} g'(y_0) \,\mathrm{d}{y} = \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
对比式 4 式 5 ,得
\begin{equation} g'(y_0) = \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} = \frac{1}{f'(x_0)}~, \end{equation}
可见图 1 曲线上同一点处 $f'$ 和 $g'$ 互为倒数。把 ${x_0} = g(y_0)$ 代入上式,得
\begin{equation} g'(y_0) = \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} = \frac{1}{f'(g(y_0))}~. \end{equation}
上式中,$y_0$ 可以是 $g$ 函数定义域的任意一点,所以
\begin{equation} g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))}~. \end{equation}
或者用习惯上的 $x$ 作为自变量,得
\begin{equation} g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}~, \end{equation}


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