反函数求导

             

预备知识 基本初等函数的导数

   若已知 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$,则 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)$ 的导函数为

\begin{equation} [f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'[f^{-1}(x)]} \end{equation}
为了消除上式可能产生的歧义,记 $f(x)$ 的导函数为 $h(x)$, $f(x)$ 的反函数为 $g(x)$.上式变为
\begin{equation} g'(x) = \frac{1}{h[g(x)]} \end{equation}

例 1 

   在区间 $[0, \infty)$ 上,令函数 $f(x) = x^2$,那么反函数为 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$.已知 $f'(x) = 2x$(式 7 ),带入式 1 得反函数的导数为

\begin{equation} [f^{-1}(x)]' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{equation}
我们也可以通过直接对 $\sqrt{x} = x^{1/2}$ 求导来验证这一结果的正确性.

反函可导的条件

   只有函数 $y = f(x)$,在某个区间 $(x_1, x_2)$ 内连续且单调时.因为如果一个 $y$ 有多个 $x$ 对应,反函数中将会出现一个 $x$ 对应多个 $y$ 的情况.

1. 反函数的定义

   令满足上述条件的某函数和反函数分别为 $f(x)$, $g(x)$,在有定义的区间内的任何一对满足 $y = f(x)$ 的 $x$, $y$ 都满足 $g(y) = x$,则 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数.

2. 证明

图
图 1:在同一点处,$f'= \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $,$g'= \mathrm{d}{x}/\mathrm{d}{y} $,互为倒数

   根据导数和微分的关系,$y = f(x)$ 在 曲线上的某点 $(x_0, y_0)$,有

\begin{equation} \,\mathrm{d}{y} = f'(x_0) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
同一点也满足 $g(y_0) = x_0$,且
\begin{equation} g'(y_0) \,\mathrm{d}{y} = \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
对比式 4 式 5 ,得
\begin{equation} g'(y_0) = \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} = \frac{1}{f'(x_0)} \end{equation}
可见图 1 曲线上同一点处 $f'$ 和 $g'$ 互为倒数.把 ${x_0} = g(y_0)$ 代入上式,得
\begin{equation} g'(y_0) = \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} = \frac{1}{f'[g(y_0)]} \end{equation}
上式中,$y_0$ 可以是 $g$ 函数定义域的任意一点,所以
\begin{equation} g'(y) = \frac{1}{f'[g(y)]} \end{equation}
或者用习惯上的 $x$ 作为自变量,得
\begin{equation} g'(x) = \frac{1}{f'[g(x)]} \end{equation}
证毕.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利