反函数求导（极简微积分）

贡献者： addis

预备知识 1　基本初等函数的导数

　　若已知 $f (x)$ 在某个区间上存在反函数 $f^{- 1} (x)$ ，且二者都在各自的区间上可导，则 $f (x)$ 的反函数 $f^{- 1} (x)$ 的导函数可以用以下公式计算

\begin{matrix} (1) & (f^{- 1} (x))^{'} = \frac{1}{f^{'} (f^{- 1} (x))} . \end{matrix}

为了消除上式可能产生的歧义，记

f (x)

的导函数为

h (x)

，

f (x)

的反函数为

g (y)

。上式变为

\begin{matrix} (2) & g^{'} (y) = \frac{1}{h (g (y))} . \end{matrix}

例 1　

　　在区间 $[0, \infty)$ 上，令函数 $f (x) = x^{2}$ ，那么反函数为 $f^{- 1} (y) = \sqrt{y}$ ，其定义域就是 $f (x)$ 所有可能的值的区间 $[0, \infty)$ 。显然，二者在各自的区间上都是处处可导的。已知 $f^{'} (x) = 2 x$ （式 7 ），带入式 1 得反函数的导数为

\begin{matrix} (3) & (f^{- 1} (y))^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{y}} (y \geq 0), \end{matrix}

我们也可以通过直接对

\sqrt{y} = y^{1 / 2}

求导来验证这一结果的正确性。

反函数存在的条件

　　令满足上述条件的某函数和反函数分别为 $f (x)$ ， $g (x)$ ，在有定义的区间内的任何一对满足 $y = f (x)$ 的 $x$ ， $y$ 都满足 $g (y) = x$ ，则 $g (y)$ 是 $f (x)$ 的反函数。

　　只有函数 $y = f (x)$ 在某个区间内连续且单调时才可能存在反函数。例如例 1 中若令 $f (x)$ 的定义域为所有实数，那么每个 $y > 0$ 就对应两个不同的 $x$ ，从而产生歧义。

1. 推导

预备知识 2　一元函数的微分、微分近似（极简微积分）

图 1：在同一点处，

f^{'} = d y / d x

，

g^{'} = d x / d y

，互为倒数

未完成：反函数

x = f (y)

可以把图像翻折一下看，把该图变为左右两个，关于虚线对称

根据导数和微分的关系，

y = f (x)

在曲线上的某点

(x_{0}, y_{0})

，有

\begin{matrix} (4) & d y = f^{'} (x_{0}) d x . \end{matrix}

同一点也满足

g (y_{0}) = x_{0}

，且

\begin{matrix} (5) & g^{'} (y_{0}) d y = d x . \end{matrix}

对比式 4 和式 5 ，得

\begin{matrix} (6) & g^{'} (y_{0}) = \frac{d x}{d y} = \frac{1}{f^{'} (x_{0})}, \end{matrix}

可见图 1 曲线上同一点处

f^{'}

和

g^{'}

互为倒数。把

x_{0} = g (y_{0})

代入上式，得

\begin{matrix} (7) & g^{'} (y_{0}) = \frac{d x}{d y} = \frac{1}{f^{'} (g (y_{0}))} . \end{matrix}

上式中，

y_{0}

可以是

g

函数定义域的任意一点，所以

\begin{matrix} (8) & g^{'} (y) = \frac{1}{f^{'} (g (y))} . \end{matrix}

或者用习惯上的

x

作为自变量，得

\begin{matrix} (9) & g^{'} (x) = \frac{1}{f^{'} (g (x))}, \end{matrix}

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