二项式定理

             

预备知识 组合

   二项式展开公式为

\begin{equation} (a + b)^n = \sum_{i = 0}^n \begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} a^i b^{n - i} \quad (n \text{为正整数}) \end{equation}
其中表示组合(combination),定义为
\begin{equation} \begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} = \frac{n(n - 1)\dots (n - i + 1)}{i!} = \frac{n!}{i!(n - i)!} \end{equation}

1. 推导

   若展开多项式的时候先不合并同类项(每项前面的系数都是 1)则

   这就相当于用 $a$ 和 $b$ 填满 $n$ 个有序的位置,每个位置都可以取 $a$ 或 $b$,共有 $2^n$ 种排列,每种排列就是一项,所以共有 $2^n$ 项.

   下面把 $2^n$ 项中的相同项进行合并,把其中出现了 $i$ 个 $a$ 及 $n-i$ 个 $b$ 的项都记为 $a^i b^{n-i}$,那么共有 $ \begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} $ 个这样的项.把它们相加得 $ \begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} a^i b^{n-i}$.所以

\begin{equation} (a + b)^n = \sum_{i = 0}^n \begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} a^i b^{n - i} \end{equation}
证毕.

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