二项式定理

贡献者： addis

预备知识　组合

　　二项式展开公式为

\begin{matrix} (1) & (a + b)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} C_{n}^{i} a^{i} b^{n - i} (n 为正整数) . \end{matrix}

其中表示组合（combination），定义为

\begin{matrix} (2) & C_{n}^{i} = \frac{n (n - 1) \dots (n - i + 1)}{i!} = \frac{n!}{i! (n - i)!} . \end{matrix}

1. 证明

　　若展开多项式的时候先不合并同类项（每项前面的系数都是 1）则若不合并相同项：

$(a + b)^{0} = 1$ 有 1 项
$(a + b)^{1} = a + b$ 有 2 项
$(a + b)^{2} = a a + a b + b a + b b$ 有 4 项
$(a + b)^{3} = a a a + a a b + a b a + a b b + b a a + b a b + b b a + b b b$ 有 8 项
$(a + b)^{n}$ 有 $2^{n}$ 项

　　这就相当于用 $a$ 和 $b$ 填满 $n$ 个有序的位置，每个位置都可以取 $a$ 或 $b$ ，共有 $2^{n}$ 种排列，每种排列就是一项，所以共有 $2^{n}$ 项（不合并相同项）。

　　下面把 $2^{n}$ 项中的相同项进行合并，把其中出现了 $i$ 个 $a$ 及 $n - i$ 个 $b$ 的项都记为 $a^{i} b^{n - i}$ ，那么共有 $C_{n}^{i}$ 个这样的项。把它们相加得 $C_{n}^{i} a^{i} b^{n - i}$ 。所以

\begin{matrix} (3) & (a + b)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} C_{n}^{i} a^{i} b^{n - i} . \end{matrix}

证毕。

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