二项式定理
贡献者： addis
二项式展开公式为
\begin{equation}
(a + b)^n = \sum_{i = 0}^n C_n^i a^i b^{n - i} \quad (n \text{ 为正整数})~.
\end{equation}
其中表示
组合（combination），定义为
\begin{equation}
C_n^i = \frac{n(n - 1)\dots (n - i + 1)}{i!} = \frac{n!}{i!(n - i)!}~.
\end{equation}
1. 证明
若展开多项式的时候先不合并同类项（每项前面的系数都是 1）则若不合并相同项：
- $(a + b)^0 = 1$ 有 1 项
- $(a + b)^1 = a + b$ 有 2 项
- $(a + b)^2 = aa + ab + ba + bb$ 有 4 项
- $(a + b)^3 = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb$ 有 8 项
- $(a + b)^n$ 有 $2^n$ 项
这就相当于用 $a$ 和 $b$ 填满 $n$ 个有序的位置，每个位置都可以取 $a$ 或 $b$，共有 $2^n$ 种排列，每种排列就是一项，所以共有 $2^n$ 项（不合并相同项）。
下面把 $2^n$ 项中的相同项进行合并，把其中出现了 $i$ 个 $a$ 及 $n-i$ 个 $b$ 的项都记为 $a^i b^{n-i}$，那么共有 $C_n^i$ 个这样的项。把它们相加得 $C_n^i a^i b^{n-i}$。所以
\begin{equation}
(a + b)^n = \sum_{i = 0}^n C_n^i a^i b^{n - i}~.
\end{equation}
证毕。
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