贡献者： JierPeter; addis; ACertainUser
1. 物理电偶极子
定义 1 物理电偶极子
图 1：电偶极子示意图
若有两个等量异号 $\pm q$ 的电荷，且他们的间距始终为 r，那么我们把这两个粒子构成的系统看成一个物理电偶极子（physical electric dipole）。
物理电偶极子的总电荷量为 $0$，但是它有另一个性质叫电偶极矩（electric dipole moment），定义为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{p}} = q \boldsymbol{\mathbf{r}} ~,
\end{equation}
是一个向量。
2. 理想电偶极子
如果我们考虑问题的空间尺度远大于电偶极子的长度，那么我们就可以忽略两电荷之间的距离，但保留电偶极矩的特性。这样，我们抽象出了 “理想电偶极子” 的概念，即一个电荷为零、却有电偶极矩的点粒子。
定义 2 理想电偶极子
在电磁学框架下引入新的粒子，称作理想电偶极子（ideal electric dipole）。理想电偶极子是一个点粒子，其标量电荷量为 $0$，但是有一个向量电偶极矩（electric dipole moment）。理想电偶极子能产生电场，该电场的分布取决于电偶极矩的大小和方向。
如何导出理想电偶极子的性质呢？我们首先计算物理电偶极子的电场分布，这是电磁学框架下可以做到的；然后在保持电偶极矩不变的情况下缩短两电荷间的距离。正负电荷的间距趋于 $0$ 时的电场分布，就是理想电偶极子的电场分布了。
我们接下来就应用这个思想来推导电偶极子产生的电场和电势。
3. 物理电偶极子的电场与电势
令空间中两个位置不同的点电荷具有等量的异号电荷，则他们构成一对物理电偶极子，令他们的电荷量分别为 $-q$ 和 $q$，位置矢量分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$，则它们的总电场为两个电荷各自电场的矢量和（见式 5 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{-q( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert ^3} + \frac{q( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert ^3} \right) ~.
\end{equation}
总电势同样是两个点电荷的电势之和，这是因为电势是可以线性叠加的。(见
电势、电势能)
\begin{equation}
V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{-q}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert } + \frac{q}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert } \right) ~.
\end{equation}
4. 理想电偶极子的电场与电势
图 2：理想电偶极子的电场与等势面示意图
图 3：上图的重叠效果。可见电场处处垂直等势面。
这个电偶极子的电偶极矩（electric dipole moment）为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{p}} = -q \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 + q \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 = q ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)~.
\end{equation}
如果改用电偶极矩来描述 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \gg\\ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _1- \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert $ 时的情况，即所谓的 “远处”，则电势分布为
\begin{equation}
V_d( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }{r^3} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{r^2}~.
\end{equation}
对电势求梯度就能得到远处的电场分布
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} _d( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{r^3} [3( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} - \boldsymbol{\mathbf{p}} ]~,
\end{equation}
注意这两个量分别随 $r$ 的平方反比和三次方反比下降。
从远处，也就是 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \gg\\ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _1- \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert $ 的地方看来，电偶极子的长度是可以忽略的，所以我们可以把式 5 和式 6 看成是理想电偶极子的电势和电场分布。
换句话说，物理电偶极子在远处时的性质，就是理想电偶极子在任意位置的性质。这就是我们需要理想电偶极子所具有的性质。
5. 偶极子远处性质的推导
电势
我们从式 3 出发，并且考虑到 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \gg\\ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert + \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert $，$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{a}} - \boldsymbol{\mathbf{b}} \right\rvert =\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{a}} ^2+ \boldsymbol{\mathbf{b}} ^2-2 \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{b}} }$，以及 $\lim_{ \,\mathrm{d}{x} \rightarrow 0}\sqrt{x+ \,\mathrm{d}{x} }=\sqrt{x}+ \,\mathrm{d}{x} /2\sqrt{x}$，从而得到1：
\begin{equation}
\begin{aligned}
V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{-q}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert }+\frac{q}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert } \right) \\
&=\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert - \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert } \right) \\
&=\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2+ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1^2-2 \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _1}-\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2+ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2^2-2 \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _2}}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert } \right) \\
\doteq V_d( \boldsymbol{\mathbf{r}} )&=\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2}-\frac{2 \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _1}{2\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2}}-\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2}+\frac{2 \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _2}{2\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2}}}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2} \right) \\
&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{q( \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2- \boldsymbol{\mathbf{r}} _1))}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2 \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert } \right) \\
&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} }{r^3} \right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
电场
理想电偶极子的电场，或者物理电偶极子在远处的电场，可以通过求电势的梯度来得到。引用式 9 ，令 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} = \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 为常量，$ \boldsymbol{\mathbf{b}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} /r^3$，则有：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{E}} _d( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) &= -\nabla V_d( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) =- \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \nabla \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }{r^3}\\
&=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left(( \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot\nabla)\frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }{r^3}+ \boldsymbol{\mathbf{p}} \times(\nabla\times\frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }{r^3}) \right) \\
&=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}( \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot\nabla)\frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }{r^3}\\
&=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}(p_x\frac{\partial}{\partial x}+p_y\frac{\partial}{\partial y}+p_z\frac{\partial}{\partial z}) \begin{pmatrix}\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\\\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\\\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\end{pmatrix} \\
&=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \begin{pmatrix}p_x\frac{x^2+y^2+z^2-3x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}+p_y\frac{-3xy}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}+p_z\frac{-3xz}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}\\
+p_x\frac{-3xy}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}+p_y\frac{x^2+y^2+z^2-3y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}+p_z\frac{-3yz}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}\\
+p_x\frac{-3xz}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}+p_y\frac{-3yz}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}+p_z\frac{x^2+y^2+z^2-3z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}\end{pmatrix} \\
&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^3} \begin{pmatrix}
p_x\frac{3x^2-r^2}{r^2}+p_y\frac{3xy}{r^2}+p_z\frac{3xz}{r^2}\\
p_x\frac{3xy}{r^2}+p_y\frac{3y^2-r^2}{r^2}+p_z\frac{3yz}{r^2}\\
p_x\frac{3xz}{r^2}+p_y\frac{3yz}{r^2}+p_z\frac{3z^2-r^2}{r^2}
\end{pmatrix}
\\
&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^3} \left[ \begin{pmatrix}
p_x\frac{3x^2}{r^2}+p_y\frac{3xy}{r^2}+p_z\frac{3xz}{r^2}\\
p_x\frac{3xy}{r^2}+p_y\frac{3y^2}{r^2}+p_z\frac{3yz}{r^2}\\
p_x\frac{3xz}{r^2}+p_y\frac{3yz}{r^2}+p_z\frac{3z^2}{r^2}
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}p_x\\p_y\\p_z\end{pmatrix}
\right] \\
&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^3} \left[3( \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} - \boldsymbol{\mathbf{p}} \right] ~.
\end{aligned}
\end{equation}
6. 偶极子在电场中所受的力与力矩
图 4：偶极子在电场中的受力
如图所示，由于正、负电荷受相反的电场力，因此电场对偶极子的合力为零。
但是，电场对偶极子有力矩的作用，方向是使 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} \parallel \boldsymbol{\mathbf{E}} ~,$
$ \boldsymbol{\mathbf{M}} _+= \frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }{2} \times q \boldsymbol{\mathbf{E}} ~,$
$ \boldsymbol{\mathbf{M}} _-= - \frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }{2} \times (-q) \boldsymbol{\mathbf{E}} ~,$
因此合力矩
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{M}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \times q \boldsymbol{\mathbf{E}} = \boldsymbol{\mathbf{p}} \times \boldsymbol{\mathbf{E}} ~.
\end{equation}
7. 总结
理想电偶极子是我们往电动力学框架中添加的模型，其来源是为了方便描述物理电偶极子在远处的性质。理想电偶极子和电荷一样产生电场，区别在于电荷是标量，其产生的电场是球对称的，而理想电偶极子是一个向量，其产生的电场只是关于该向量旋转对称。实际上存不存在理想电偶极子呢？这是电动力学框架下无法回答的。物理理论并不完美刻画现实，它们只是能很好地解释现实的数学模型。对于电的本质是什么，后续的理论，从量子力学，量子场论到规范场论，弦理论等，都会给出各自的解释，但是要记住它们都只是数学模型而已。
除了作为标量的电荷、作为向量的理想电偶极子以外，我们还可以引入更多模型，如电四极子等，用来简化更多实际场景。具体方式请参见电多极矩相关文章。
未完成：有了电多极矩后进行引用。
1. ^ 符号 $\doteq$ 此处指约等于，或者取极限后的结果。
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