电偶极子

             

预备知识 电势 电势能

1. 电偶极子

   在电磁学和基础的电动力学框架下,“电荷” 可以被认为是一种粒子,它没有大小,同时具有一个特征,该特征用标量(数字)来刻画,也就是电荷.电荷能产生电场,同时由于电荷是一个标量,没有方向之分,这种电场也就是球对称的.

   现在我们介绍的模型可以被认为是一种新的粒子,也没有大小,同时具有一个特征,称作电偶极矩,但是该特征用一个向量来刻画.电偶极子也能产生电场,但是由于电偶极矩是向量,有方向之分,这种电场就不再是球对称的了.我们从实际模型出发,来导入电偶极子的概念.

定义 1 物理电偶极子

   在电磁学框架下,给定两个等量异号的电荷,假设它们的电荷量分别是 $\pm q$,其中 $q\geq 0$.如果负电荷到正电荷的位移向量是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $,那么我们把这两个粒子构成的系统看成一个叫物理电偶极子(physical electric dipole)的对象.物理电偶极子电荷量为 $0$,但是它有另一个性质叫电偶极矩(electric dipole moment)来取代电荷的概念.电偶极矩定义为 $q \boldsymbol{\mathbf{r}} $,是一个向量.

   电磁学框架下的 “粒子”,是没有大小但可以具有确定空间位置的一个存在.我们希望用同样的视角来看待电偶极子,把它也当成一个没有大小但是具有确定空间位置的一个存在.物理电偶极子显然不能达到这个效果,因为它必须有长度,正负电荷的位置是不一样的——如果一样,电偶极矩就为 $0$ 了.不过,如果我们考虑问题的空间尺度远大于电偶极子的长度,那么我们可以近似地看成正负电荷的位置是一样的,这样就可以确定电偶极子的位置了.更进一步,为了形式上简洁,我们抽象出了一个原本不存在的新概念,理想电偶极子.

定义 2 理想电偶极子

   在电磁学框架下引入新的粒子,称作理想电偶极子(ideal electric dipole).理想电偶极子是一个点粒子,其标量电荷量为 $0$,但是有一个向量电偶极矩(electric dipole moment).理想电偶极子能产生电场,该电场的分布取决于电偶极矩的大小和方向.

   理想电偶极子是物理电偶极子的抽象,抹去了 “大小” 的概念.那么电偶极子的产生的电场是什么样子的呢?从引入理想电偶极子的角度考虑,我们希望的是,在可以忽略物理电偶极子长度的情形下,我们可以直接把它们视为理想电偶极子.这就使得理想电偶极子的性质需要从物理电偶极子来导出了.

   这些性质包括理想电偶极子是如何产生电场的.导出的方法是,我们首先计算物理电偶极子的电场分布,这是电磁学框架下可以做到的;然后在保持电偶极矩不变的情况下缩短两电荷间的距离.正负电荷的间距趋于 $0$ 时的电场分布,就是理想电偶极子的电场分布了.

   我们接下来就应用这个思想来推导电偶极子产生的电场和电势.

2. 物理电偶极子的电场

   令空间中两个位置不同的点电荷具有等量的异号电荷,则他们构成一对物理电偶极子,令他们的电荷量分别为 $-q$ 和 $q$,位置矢量分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$,则它们的总电场为两个电荷各自电场的矢量和(见式 5

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{-q( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert ^3} + \frac{q( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert ^3} \right) \end{equation}
总电势同样是两个点电荷的电势之和
\begin{equation} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{-q}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert } + \frac{q}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert } \right) \end{equation}

   这个电偶极子的电偶极矩(electric dipole moment)

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = -q \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 + q \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 = q ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1) \end{equation}

   如果改用电偶极矩来描述 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \gg\\ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert + \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert $ 时的情况,即所谓的 “远处”,则电势分布为

\begin{equation} V_d( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }{r^3} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{r^2} \end{equation}
对电势求梯度就能得到远处的电场分布
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} _d( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{r^3} [3( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} - \boldsymbol{\mathbf{p}} ] \end{equation}
注意这两个量分别随 $r$ 的平方反比和三次方反比下降.

   从远处,也就是 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \gg\\ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert + \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert $ 的地方看来,电偶极子的长度是可以忽略的,所以我们可以把式 4 式 5 看成是理想电偶极子的电势和电场分布.

   换句话说,物理电偶极子在远处时的性质,就是理想电偶极子在任意位置的性质.这就是我们需要理想电偶极子所具有的性质.

3. 偶极子远处性质的推导

电势

   我们从式 2 出发,并且考虑到 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \gg\\ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert + \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert $,$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{a}} - \boldsymbol{\mathbf{b}} \right\rvert =\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{a}} ^2+ \boldsymbol{\mathbf{b}} ^2-2 \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{b}} }$,以及 $\lim_{ \,\mathrm{d}{x} \rightarrow 0}\sqrt{x+ \,\mathrm{d}{x} }=\sqrt{x}+ \,\mathrm{d}{x} /2\sqrt{x}$,从而得到1

\begin{equation} \begin{aligned} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{-q}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert }+\frac{q}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert } \right) \\ &=\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert - \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert } \right) \\ &=\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2+ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1^2-2 \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _2}-\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2+ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2^2-2 \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _1}}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert } \right) \\ \doteq V_d( \boldsymbol{\mathbf{r}} )&=\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2}-\frac{2 \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _1}{2\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2}}-\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2}+\frac{2 \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _2}{2\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2}}}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2} \right) \\ &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{q( \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2- \boldsymbol{\mathbf{r}} _1))}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} ^2 \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert } \right) \\ &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} }{r^3} \right) \end{aligned} \end{equation}

电场

   理想电偶极子的电场,或者物理电偶极子在远处的电场,可以通过求电势的梯度来得到.引用式 9 ,令 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} = \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 为常量,$ \boldsymbol{\mathbf{b}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} /r^3$,并考虑球坐标系下的 nabla 算子:$\nabla=\hat{r}\partial/\partial r+\hat{\theta}r\partial/\partial\theta+\hat{\varphi}r\sin\theta\partial/\partial\varphi$,则有:

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{E}} _d( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) &= -\nabla V_d( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) =- \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \nabla \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }{r^3}\\ &=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left(( \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot\nabla)\frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }{r^3}+ \boldsymbol{\mathbf{p}} \times(\nabla\times\frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }{r^3}) \right) \\ &=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}( \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot\nabla)\frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }{r^3}\\ &=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}(p_x\frac{\partial}{\partial x}+p_y\frac{\partial}{\partial y}+p_z\frac{\partial}{\partial z}) \begin{pmatrix}\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\\\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\\\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\end{pmatrix} \\ &=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \begin{pmatrix}p_x\frac{x^2+y^2+z^2-3x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}+p_y\frac{-3xy}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}+p_z\frac{-3xz}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}\\ +p_x\frac{-3xy}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}+p_y\frac{x^2+y^2+z^2-3y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}+p_z\frac{-3yz}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}\\ +p_y\frac{-3xz}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}+p_y\frac{-3yz}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}+p_z\frac{x^2+y^2+z^2-3z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}})\end{pmatrix} \\ &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^3} \begin{pmatrix} p_x\frac{3x^2-r^2}{r^2}+p_y\frac{3xy}{r^2}+p_z\frac{3xz}{r^2}\\ p_x\frac{3xy}{r^2}+p_y\frac{3y^2-r^2}{r^2}+p_z\frac{3yz}{r^2}\\ p_y\frac{3xz}{r^2}+p_y\frac{3yz}{r^2}+p_z\frac{3z^2-r^2}{r^2}) \end{pmatrix} \\ &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^3} \left[ \begin{pmatrix} p_x\frac{3x^2}{r^2}+p_y\frac{3xy}{r^2}+p_z\frac{3xz}{r^2}\\ p_x\frac{3xy}{r^2}+p_y\frac{3y^2}{r^2}+p_z\frac{3yz}{r^2}\\ p_y\frac{3xz}{r^2}+p_y\frac{3yz}{r^2}+p_z\frac{3z^2}{r^2}) \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}p_x\\p_y\\p_z\end{pmatrix} \right] \\ &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^3} \left[3( \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} - \boldsymbol{\mathbf{p}} \right] \end{aligned} \end{equation}

4. 总结

   理想电偶极子是我们往电动力学框架中添加的模型,其来源是为了方便描述物理电偶极子在远处的性质.理想电偶极子和电荷一样产生电场,区别在于电荷是标量,其产生的电场是球对称的,而理想电偶极子是一个向量,其产生的电场只是关于该向量旋转对称.实际上存不存在理想电偶极子呢?这是电动力学框架下无法回答的.物理理论并不完美刻画现实,它们只是能很好地解释现实的数学模型.对于电的本质是什么,后续的理论,从量子力学,量子场论到规范场论,弦理论等,都会给出各自的解释,但是要记住它们都只是数学模型而已.

   除了作为标量的电荷、作为向量的理想电偶极子以外,我们还可以引入更多模型,如电四极子等,用来简化更多实际场景.具体方式请参见电多极矩相关词条.

未完成:有了电多极矩后进行引用.


1. ^ 符号 $\doteq$ 此处指约等于,或者取极限后的结果.

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