电偶极子

贡献者： JierPeter; addis; ACertainUser

预备知识　电势电势能

1. 物理电偶极子

定义 1　物理电偶极子

图 1：电偶极子示意图

　　若有两个等量异号 $\pm q$ 的电荷，且他们的间距始终为 r，那么我们把这两个粒子构成的系统看成一个物理电偶极子（physical electric dipole）。

　　物理电偶极子的总电荷量为 $0$ ，但是它有另一个性质叫电偶极矩（electric dipole moment），定义为

\begin{matrix} (1) & p = q r, \end{matrix}

是一个向量。

2. 理想电偶极子

　　如果我们考虑问题的空间尺度远大于电偶极子的长度，那么我们就可以忽略两电荷之间的距离，但保留电偶极矩的特性。这样，我们抽象出了 “理想电偶极子” 的概念，即一个电荷为零、却有电偶极矩的点粒子。

定义 2　理想电偶极子

　　在电磁学框架下引入新的粒子，称作理想电偶极子（ideal electric dipole）。理想电偶极子是一个点粒子，其标量电荷量为 $0$ ，但是有一个向量电偶极矩（electric dipole moment）。理想电偶极子能产生电场，该电场的分布取决于电偶极矩的大小和方向。

　　如何导出理想电偶极子的性质呢？我们首先计算物理电偶极子的电场分布，这是电磁学框架下可以做到的；然后在保持电偶极矩不变的情况下缩短两电荷间的距离。正负电荷的间距趋于 $0$ 时的电场分布，就是理想电偶极子的电场分布了。

　　我们接下来就应用这个思想来推导电偶极子产生的电场和电势。

3. 物理电偶极子的电场与电势

　　令空间中两个位置不同的点电荷具有等量的异号电荷，则他们构成一对物理电偶极子，令他们的电荷量分别为 $- q$ 和 $q$ ，位置矢量分别为 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，则它们的总电场为两个电荷各自电场的矢量和（见式 5 ）

\begin{matrix} (2) & E (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} (\frac{- q (r - r_{1})}{{| r - r_{1} |}^{3}} + \frac{q (r - r_{2})}{{| r - r_{2} |}^{3}}) . \end{matrix}

总电势同样是两个点电荷的电势之和，这是因为电势是可以线性叠加的。(见电势、电势能)

\begin{matrix} (3) & V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} (\frac{- q}{| r - r_{1} |} + \frac{q}{| r - r_{2} |}) . \end{matrix}

4. 理想电偶极子的电场与电势

图 2：理想电偶极子的电场与等势面示意图

图 3：上图的重叠效果。可见电场处处垂直等势面。

　　这个电偶极子的电偶极矩（electric dipole moment）为

\begin{matrix} (4) & p = - q r_{1} + q r_{2} = q (r_{2} - r_{1}) . \end{matrix}

　　如果改用电偶极矩来描述 $| r | ≫ | r_{1} - r_{2} |$ 时的情况，即所谓的 “远处”，则电势分布为

\begin{matrix} (5) & V_{d} (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{p \cdot r}{r^{3}} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{p \cdot \hat{r}}{r^{2}} . \end{matrix}

对电势求梯度就能得到远处的电场分布

\begin{matrix} (6) & E_{d} (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r^{3}} [3 (p \cdot \hat{r}) \hat{r} - p], \end{matrix}

注意这两个量分别随

r

的平方反比和三次方反比下降。

　　从远处，也就是 $| r | ≫ | r_{1} - r_{2} |$ 的地方看来，电偶极子的长度是可以忽略的，所以我们可以把式 5 和式 6 看成是理想电偶极子的电势和电场分布。

　　换句话说，物理电偶极子在远处时的性质，就是理想电偶极子在任意位置的性质。这就是我们需要理想电偶极子所具有的性质。

5. 偶极子远处性质的推导

电势

　　我们从式 3 出发，并且考虑到 $| r | ≫ | r_{1} | + | r_{2} |$ ， $| a - b | = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a \cdot b}$ ，以及 $lim_{d x \to 0} \sqrt{x + d x} = \sqrt{x} + d x / 2 \sqrt{x}$ ，从而得到¹：

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} V (r) & = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} (\frac{- q}{| r - r_{1} |} + \frac{q}{| r - r_{2} |}) \\ = \frac{q}{4 π ϵ_{0}} (\frac{| r - r_{1} | - | r - r_{2} |}{| r - r_{1} | | r - r_{2} |}) \\ = \frac{q}{4 π ϵ_{0}} (\frac{\sqrt{r^{2} + r_{1}^{2} - 2 r \cdot r_{1}} - \sqrt{r^{2} + r_{2}^{2} - 2 r \cdot r_{2}}}{| r - r_{1} | | r - r_{2} |}) \\ ≐ V_{d} (r) & = \frac{q}{4 π ϵ_{0}} (\frac{\sqrt{r^{2}} - \frac{2 r \cdot r_{1}}{2 \sqrt{r^{2}}} - \sqrt{r^{2}} + \frac{2 r \cdot r_{2}}{2 \sqrt{r^{2}}}}{r^{2}}) \\ = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} (\frac{q (r \cdot (r_{2} - r_{1}))}{r^{2} | r |}) \\ = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} (\frac{r \cdot p}{r^{3}}) . \end{aligned} \end{matrix}

电场

　　理想电偶极子的电场，或者物理电偶极子在远处的电场，可以通过求电势的梯度来得到。引用式 9 ，令 $a = p$ 为常量， $b = r / r^{3}$ ，则有：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} E_{d} (r) & = - \nabla V_{d} (r) = - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \nabla \frac{p \cdot r}{r^{3}} \\ = - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} ((p \cdot \nabla) \frac{r}{r^{3}} + p \times (\nabla \times \frac{r}{r^{3}})) \\ = - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} (p \cdot \nabla) \frac{r}{r^{3}} \\ = - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} (p_{x} \frac{\partial}{\partial x} + p_{y} \frac{\partial}{\partial y} + p_{z} \frac{\partial}{\partial z}) (\begin{array}{c} \frac{x}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3 / 2}} \\ \frac{y}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3 / 2}} \\ \frac{z}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3 / 2}} \end{array}) \\ = - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} (\begin{array}{c} p_{x} \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3 x^{2}}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{5 / 2}} + p_{y} \frac{- 3 x y}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{5 / 2}} + p_{z} \frac{- 3 x z}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{5 / 2}} \\ + p_{x} \frac{- 3 x y}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{5 / 2}} + p_{y} \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3 y^{2}}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{5 / 2}} + p_{z} \frac{- 3 y z}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{5 / 2}} \\ + p_{x} \frac{- 3 x z}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{5 / 2}} + p_{y} \frac{- 3 y z}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{5 / 2}} + p_{z} \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3 z^{2}}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{5 / 2}} \end{array}) \\ = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r^{3}} (\begin{array}{c} p_{x} \frac{3 x^{2} - r^{2}}{r^{2}} + p_{y} \frac{3 x y}{r^{2}} + p_{z} \frac{3 x z}{r^{2}} \\ p_{x} \frac{3 x y}{r^{2}} + p_{y} \frac{3 y^{2} - r^{2}}{r^{2}} + p_{z} \frac{3 y z}{r^{2}} \\ p_{x} \frac{3 x z}{r^{2}} + p_{y} \frac{3 y z}{r^{2}} + p_{z} \frac{3 z^{2} - r^{2}}{r^{2}} \end{array}) \\ = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r^{3}} [(\begin{array}{c} p_{x} \frac{3 x^{2}}{r^{2}} + p_{y} \frac{3 x y}{r^{2}} + p_{z} \frac{3 x z}{r^{2}} \\ p_{x} \frac{3 x y}{r^{2}} + p_{y} \frac{3 y^{2}}{r^{2}} + p_{z} \frac{3 y z}{r^{2}} \\ p_{x} \frac{3 x z}{r^{2}} + p_{y} \frac{3 y z}{r^{2}} + p_{z} \frac{3 z^{2}}{r^{2}} \end{array}) - (\begin{array}{c} p_{x} \\ p_{y} \\ p_{z} \end{array})] \\ = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r^{3}} [3 (p \cdot \hat{r}) \hat{r} - p] . \end{aligned} \end{matrix}

6. 偶极子在电场中所受的力与力矩

图 4：偶极子在电场中的受力

　　如图所示，由于正、负电荷受相反的电场力，因此电场对偶极子的合力为零。但是，电场对偶极子有力矩的作用，方向是使 $p ∥ E,$

　　 $M_{+} = \frac{r}{2} \times q E,$

　　 $M_{-} = - \frac{r}{2} \times (- q) E,$

　　因此合力矩

\begin{matrix} (9) & M = r \times q E = p \times E . \end{matrix}

7. 总结

　　理想电偶极子是我们往电动力学框架中添加的模型，其来源是为了方便描述物理电偶极子在远处的性质。理想电偶极子和电荷一样产生电场，区别在于电荷是标量，其产生的电场是球对称的，而理想电偶极子是一个向量，其产生的电场只是关于该向量旋转对称。实际上存不存在理想电偶极子呢？这是电动力学框架下无法回答的。物理理论并不完美刻画现实，它们只是能很好地解释现实的数学模型。对于电的本质是什么，后续的理论，从量子力学，量子场论到规范场论，弦理论等，都会给出各自的解释，但是要记住它们都只是数学模型而已。

　　除了作为标量的电荷、作为向量的理想电偶极子以外，我们还可以引入更多模型，如电四极子等，用来简化更多实际场景。具体方式请参见电多极矩相关文章。

未完成：有了电多极矩后进行引用。

1. ^ 符号 $≐$ 此处指约等于，或者取极限后的结果。

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