盒中的电磁波

贡献者：待更新

预备知识　电场波动方程，分离变量法

　　空间中一个电阻不计的金属盒中有电磁波。金属盒的大小为 $(0 ⩽ x ⩽ a, 0 ⩽ y ⩽ b, 0 ⩽ z ⩽ c)$ ，电场的波动方程为

\begin{matrix} (1) & \nabla^{2} \cdot E = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} . \end{matrix}

矢量相等的充要条件是三个分量分别相等

\begin{matrix} (2) & \nabla^{2} E_{x} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial t^{2}}, \nabla^{2} E_{y} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial t^{2}}, \nabla^{2} E_{z} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial t^{2}} . \end{matrix}

下面以

E_{x}

为例，用分离变量法得出通解。先令

E_{x} = X (x) Y (y) Z (z) T (t)

。代入上式，两边同除

X (x) Y (y) Z (z) T (t)

得

\begin{matrix} (3) & \frac{d^{2} X}{d x^{2}} / X + \frac{d^{2} Y}{d y^{2}} / Y + \frac{d^{2} Z}{d z^{2}} / Z = \frac{1}{c^{2}} \frac{d^{2} T}{d t^{2}} / T . \end{matrix}

由于上式每一项都是一个独立变量的函数，所以每一项都等于一个常数。令这些常数为

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \frac{d^{2} X}{d x^{2}} / X = - k_{x}^{2}, \frac{d^{2} Y}{d y^{2}} / Y = - k_{y}^{2}, \\ \frac{d^{2} Z}{d z^{2}} / Z = - k_{z}^{2}, \frac{1}{c^{2}} \frac{d^{2} T}{d t^{2}} / T = - ω^{2} . \end{aligned} \end{matrix}

（取负号是因为我们只对三角函数解感兴趣，指数函数解在这里无关）代入上式，这些常数满足

\begin{matrix} (5) & k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2} = ω^{2} . \end{matrix}

上面三式的通解是

\begin{matrix} (6) & {\begin{cases} X = C_{1} \cos (k_{x} x) + C_{2} \sin (k_{x} x) \\ Y = C_{3} \cos (k_{y} y) + C_{4} \sin (k_{y} y) \\ Z = C_{5} \cos (k_{z} z) + C_{6} \sin (k_{z} z) \end{cases} \end{matrix}

时间函数的解取

T = C \cos (ω t)

（时间函数的相位不重要）由理想导体的电磁场边界条件

\begin{matrix} (7) & E_{/ /} = 0, \frac{\partial E_{⊥}}{\partial n} = 0, \end{matrix}

\partial E_{x} / \partial x = 0

（

x \to a

时）;

E_{x} = 0

（

y \to b

或

z \to c

时）。把上面的通解代入条件，得

\begin{matrix} (8) & X = C_{1} \cos (\frac{n_{x} π}{a} x), Y = C_{4} \sin (\frac{n_{y} π}{b} y), Z = C_{6} \sin (\frac{n_{z} π}{c} z) . \end{matrix}

三个变量相乘，令

C_{1} C_{4} C_{6} = E_{x 0}

，得

\begin{matrix} (9) & E_{x} = E_{x 0} \cos (\frac{n_{x} π}{a} x) \sin (\frac{n_{y} π}{b} y) \sin (\frac{n_{z} π}{c} z) . \end{matrix}

同理对

E_{y}

，

E_{z}

分析，得到电场的三个分量在盒内的分布

\begin{matrix} (10) & {\begin{array}{r} E_{x} = E_{x 0} \cos (\frac{n_{x} π}{a} x) \sin (\frac{n_{y} π}{b} y) \sin (\frac{n_{z} π}{c} z) \\ E_{y} = E_{y 0} \sin (\frac{n_{x} π}{a} x) \cos (\frac{n_{y} π}{b} y) \sin (\frac{n_{z} π}{c} z) \\ E_{z} = E_{z 0} \sin (\frac{n_{x} π}{a} x) \sin (\frac{n_{y} π}{b} y) \cos (\frac{n_{z} π}{c} z) \end{array} \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & T = C \cos (ω t) . \end{matrix}

且满足

ω = π \sqrt{n_{x}^{2} / a^{2} + n_{y}^{2} / b^{2} + n_{z}^{2} / c^{2}}

特殊地，当盒子是立方体的时候，

a = b = c = L

时，

ω = π \sqrt{n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}} / L

。

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