盒中的电磁波
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空间中一个电阻不计的金属盒中有电磁波。金属盒的大小为 ,电场的波动方程为
矢量相等的充要条件是三个分量分别相等
下面以 为例,用分离变量法得出通解。
先令 。代入上式,两边同除 得
由于上式每一项都是一个独立变量的函数,所以每一项都等于一个常数。令这些常数为
(取负号是因为我们只对三角函数解感兴趣,指数函数解在这里无关)代入上式,这些常数满足
上面三式的通解是
时间函数的解取 (时间函数的相位不重要)
由理想导体的电磁场边界条件
( 时); ( 或 时)。把上面的通解代入条件,得
三个变量相乘,令 , 得
同理对 , 分析,得到电场的三个分量在盒内的分布
且满足
特殊地,当盒子是立方体的时候, 时,。
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