盒中的电磁波

                     

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预备知识 电场波动方程分离变量法

   空间中一个电阻不计的金属盒中有电磁波。金属盒的大小为 (0xa,0yb,0zc),电场的波动方程为

(1)2E=1c22Et2 .
矢量相等的充要条件是三个分量分别相等
(2)2Ex=1c22Ext2 ,2Ey=1c22Ext2 ,2Ez=1c22Ext2 .
下面以 Ex 为例,用分离变量法得出通解。 先令 Ex=X(x)Y(y)Z(z)T(t)。代入上式,两边同除 X(x)Y(y)Z(z)T(t)
(3)d2Xdx2/X+d2Ydy2/Y+d2Zdz2/Z=1c2d2Tdt2/T .
由于上式每一项都是一个独立变量的函数,所以每一项都等于一个常数。令这些常数为
(4)d2Xdx2/X=kx2 ,d2Ydy2/Y=ky2 ,d2Zdz2/Z=kz2 ,1c2d2Tdt2/T=ω2 .
(取负号是因为我们只对三角函数解感兴趣,指数函数解在这里无关)代入上式,这些常数满足
(5)kx2+ky2+kz2=ω2 .
上面三式的通解是
(6){X=C1cos(kxx)+C2sin(kxx)Y=C3cos(kyy)+C4sin(kyy)Z=C5cos(kzz)+C6sin(kzz) 
时间函数的解取 T=Ccos(ωt)(时间函数的相位不重要) 由理想导体的电磁场边界条件
(7)E//=0 ,En=0 ,
Ex/x=0xa 时); Ex=0ybzc 时)。把上面的通解代入条件,得
(8)X=C1cos(nxπax) ,Y=C4sin(nyπby) ,Z=C6sin(nzπcz) .
三个变量相乘,令 C1C4C6=Ex0, 得
(9)Ex=Ex0cos(nxπax)sin(nyπby)sin(nzπcz) .
同理对 EyEz 分析,得到电场的三个分量在盒内的分布
(10){Ex=Ex0cos(nxπax)sin(nyπby)sin(nzπcz)Ey=Ey0sin(nxπax)cos(nyπby)sin(nzπcz)Ez=Ez0sin(nxπax)sin(nyπby)cos(nzπcz) 
(11)T=Ccos(ωt) .
且满足 ω=πnx2/a2+ny2/b2+nz2/c2 特殊地,当盒子是立方体的时候,a=b=c=L 时,ω=πnx2+ny2+nz2/L


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