格林函数与静电边值问题

             

贡献者: _Eden_

预备知识 静电势的泊松方程

   静电学问题中有一类非常常见的边值问题,例如已知接地导体的空腔中有电荷分布,求空腔内的电势;求带电导体在空间中产生的电场等.使用格林定理可以帮助我们高效率地计算边值问题.

   设真空中的电荷分布为 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,则空间中的静电势满足泊松方程

\begin{equation} \nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation}

   定义函数 $\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$:

\begin{equation} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')=\frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \end{equation}
它则满足以下泊松方程(下式中 $\nabla'^2$ 代表以 $r'$ 为自变量的拉普拉斯算子)
\begin{equation} \nabla'^2 \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')=-4\pi\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \end{equation}

定理 1 格林定理

   设 $\phi,\psi$ 为区域 $V$ 上的标量函数,则通常有

\begin{equation} \int_V (\phi \nabla^2 \psi -\psi\nabla^2\phi) \,\mathrm{d}{V} =\int_{\partial V}(\phi \nabla \psi-\psi\nabla\phi) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } \end{equation}

   证明: 由高斯定理,$\int_V \nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{V} =\int_{\partial V} \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } $,

\begin{equation} \begin{aligned} \int_{\partial V}&(\phi\nabla\psi-\psi\nabla\phi) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } =\int_V \nabla \cdot (\phi\nabla\psi-\psi\nabla\phi) \,\mathrm{d}{V} \\ &=\int_V((\nabla\phi)\cdot(\nabla\psi)+\phi\nabla^2\psi-(\nabla\psi)\cdot(\nabla\phi)-\psi\nabla^2\phi) \,\mathrm{d}{V} \\ &=\int_V(\phi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\phi) \,\mathrm{d}{V} \end{aligned} \end{equation}

   下面我们用格林定理来解决静电边值问题.下面的体积分以及面积分都是以 $r'$ 为自变量作积分.将 式 1 式 3 中的 $\phi,\psi$ 代入 式 4 中,等式左边为

\begin{equation} \begin{aligned} &\int_V(\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\nabla'^2\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')-\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\nabla'^2\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')) \,\mathrm{d}{V} \\ &=\int_V(-\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')4\pi \delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')+\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\frac{1}{\epsilon_0}\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')) \,\mathrm{d}{V} \\ &=-4\pi\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )+\frac{1}{\epsilon_0}\int_V\frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \,\mathrm{d}{V} \end{aligned} \end{equation}
等式右边为
\begin{equation} \begin{aligned} &\int_{\partial V}(\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\nabla'\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')-\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\nabla'\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} '))\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } \\ &=\int_{\partial V} \left(\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\nabla'\frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}-\frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}\nabla'\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \right) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } \end{aligned} \end{equation}
因此有
\begin{equation} \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \,\mathrm{d}{V} +\frac{1}{4\pi}\int_{\partial V} \left(\frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}\nabla'\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')-\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\nabla'\frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \right) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } \end{equation}
上式中第一项描述了区域内电荷密度对电势的贡献,第二项描述了区域边界上的面电荷密度对区域内电势的贡献.

   不难看出,为了得到 $V$ 内部的 $\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,我们需要同时代入 $\phi$ 和 $\partial \phi/\partial n$ 在边界上的取值.但一般情况下我们只知道其中之一,如果同时给定 $\phi$ 和 $\partial \phi/\partial n$ 在边界上的取值会因过约束而导致矛盾.根据静电势的唯一性定理(在词条中有定理的描述和证明),只要知道 $\phi$ 或 $\partial \phi/\partial n$ 其中之一在边界上的取值,就可以得出唯一的电势分布.下面我们分别对它们进行讨论.

1. Dirichlet 边界条件下的 Green 函数

   我们需要找到一个新的函数来替换之前的 $\psi$.定义 $G_D( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$ 满足以下条件:

\begin{equation} \begin{cases} \nabla'^2G_D( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')=-4\pi\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\\ G_D( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')|_{\partial V}=0 \end{cases} \end{equation}

   我们称 $G_D( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$ 为格林函数.用 $G_D$ 代替 $\psi$ 代入格林定理,可以得到

\begin{equation} \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')G_D( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{V} -\frac{1}{4\pi}\int_{\partial V} \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\nabla'G_D( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } \end{equation}

   对于某个特定区域形状($\partial V$ 的形状),我们可以预先求出它的格林函数 $G_D( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$.在求解具体问题时,给定任意的电荷分布 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$ 以及 Dirichlet 边界条件 $\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')|_{\partial V}$,都可以用式 10 求出电势分布.这就是格林函数方法的高效之处1

   大部分情况下手动解出格林函数是极其困难的,但对于一些特殊的边界,有很漂亮的格林函数.例如下面这个例子.

例 1 无限大导体平面的 Dirichlet Green 函数

   设三维空间中 $z=0$ 下方是导体,$z=0$ 上方是真空.在 $(0,0,a)(a > 0)$ 处有一个电荷量为 $+q$ 的电荷.求 $z=0$ 上方空间的电势分布.2

   区域 $V$ 为 $z=0$ 上方空间.导体给出了边界条件 $\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')|_{\partial V}=0$.用 Dirichlet 格林函数方法来求解.设 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _+=(x,y,z), \boldsymbol{\mathbf{r}} _-=(x,y,-z)$,容易构造出以下函数

\begin{equation} G_D( \boldsymbol{\mathbf{r}} _+, \boldsymbol{\mathbf{r}} ')=\frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} _+- \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}-\frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} _-- \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \end{equation}
它在区域 $V$ 内满足 Dirichlet 格林函数的两个条件.然后就可以利用式 10 求解.设 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1=(0,0,a), \boldsymbol{\mathbf{r}} _2-=(0,0,-a)$,得
\begin{equation} \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1|}-\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2|} \end{equation}

例 2 球形边界的 Dirichlet Green 函数

   设空间内有两个半径为 $a$ 的金属半球壳,将它们放置成一个球体,球心位于原点.上半球($z > 0$)球面的电势为 $V$,下半球球面电势为 $-V$.求球内电势分布,并写出电势 $\phi(0,0,z)$ 的解析表达式.

   区域 $V$ 为以 $(0,0,0)$ 为圆心,$a$ 为半径的球.可以构造 Dirichlet 格林函数:

\begin{equation} G_D( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')=\frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}-\frac{a/r'}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} -(a^2/r'^2) \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \end{equation}

   容易知道 $\nabla'^2G_D( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')=-4\pi\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$.再考虑该函数在边界上的取值.$ \boldsymbol{\mathbf{r}} ',(a^2/r'^2) \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 同向,对从原点指向球的任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} ^*$,设它和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的夹角为 $\theta$,那么可以用余弦定理化简:

\begin{equation} \begin{aligned} &\frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} ^*- \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}-\frac{a/r'}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} ^*-(a^2/r'^2) \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \\&=\frac{1}{\sqrt{a^2+r'^2-2ar'\cos\theta}}-\frac{a/r'}{\sqrt{a^2+a^4/r'^2-2a^3/r'\cos\theta}} \\&=\frac{1}{\sqrt{a^2+r'^2-2ar'\cos\theta}}-\frac{1}{\sqrt{a^2+r'^2-2ar'\cos\theta}} \\&=0 \end{aligned} \end{equation}
于是该函数完全满足式 9 的两个条件.

   下面来解决原问题.利用格林函数方法,可以推导 $\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的公式

\begin{equation} \begin{aligned} \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )&=-\frac{V}{4\pi}\int_{\text{上半球壳}}\nabla'G_D( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } +\frac{V}{4}\int_{\text{下半球壳}}\nabla'G_D( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } \\ &=-\frac{Va^2}{4\pi}\int_{0}^{\pi/2} \,\mathrm{d}{\theta} ' \int_{0}^{2\pi}\sin\theta' \,\mathrm{d}{\phi} '\frac{\partial }{\partial r'} \left(\frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}-\frac{a/r'}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} -(a^2/r'^2) \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \right) \\ &+\frac{Va^2}{4\pi}\int_{\pi/2}^{\pi} \,\mathrm{d}{\theta} ' \int_{0}^{2\pi}\sin\theta' \,\mathrm{d}{\phi} '\frac{\partial }{\partial r'} \left(\frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}-\frac{a/r'}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} -(a^2/r'^2) \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \right) \\ &=\frac{Va^2}{4\pi}\int_0^{\pi/2} \,\mathrm{d}{\theta} '\int_0^{2\pi}\sin\theta' \,\mathrm{d}{\phi} ' \left(\frac{(a^2-r^2)/a}{(a^2+r^2-2ar\cos\gamma)^{3/2}} \right) \\& + \frac{Va^2}{4\pi}\int_{\pi}^{\pi/2} \,\mathrm{d}{\theta} '\int_0^{2\pi}\sin\theta' \,\mathrm{d}{\phi} ' \left(\frac{(a^2-r^2)/a}{(a^2+r^2-2ar\cos\gamma)^{3/2}} \right) \end{aligned} \end{equation}
上式中 $\gamma$ 为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的夹角.可以用中心对称关系将两个积分合并为一个积分(在中心对称的变换下,$\gamma$ 变为 $\pi-\gamma$,$\cos\gamma$ 反号,$ \,\mathrm{d}{\theta} '$ 也反号),计算得
\begin{equation} \begin{aligned} \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )=&\frac{Va(a^2-r^2)}{4\pi}\int_{0}^{\pi/2} \,\mathrm{d}{\theta} '\int_0^{2\pi}\sin\theta' \,\mathrm{d}{\phi} '\\ & \left(\frac{1}{(a^2+r^2-2ar\cos\gamma)^{3/2}}-\frac{1}{(a^2+r^2+2ar\cos\gamma)^{3/2}} \right) \end{aligned} \end{equation}

   不幸的是,这个积分如此复杂,以至于我们只能借助计算软件得到数值结果.对于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} =(0,0,z)(|z| < r)$ 的情况,$\gamma=\theta'$.我们可以推出解析解:

\begin{equation} \begin{aligned} \phi(0,0,z)=&\frac{Va(a^2-z^2)}{2}\int_0^{\pi/2}\sin\theta' \,\mathrm{d}{\theta} '\\ & \left(\frac{1}{(a^2+z^2-2az\cos\theta')^{3/2}}-\frac{1}{(a^2+z^2+2az\cos\theta')^{3/2}} \right) \\ =&\frac{Va(a^2-z^2)}{2}\cdot \frac{1}{az} \left(\frac{1}{|a-z|}+\frac{1}{|a+z|}-\frac{2}{\sqrt{a^2+z^2}} \right) \\ =&V \left(\frac{a}{z}-\frac{a^2-z^2}{z\sqrt{a^2+z^2}} \right) , |z| < a \end{aligned} \end{equation}
要注意的是,如果要求球外($|r| > a$)的电势,那么就要取球外为区域 $V$,边界 $\partial V$ 的法向量就是朝内的了.前面 $\partial G_D/\partial n'$ 的计算结果就要添上一个负号.于是当 $|z| > a$ 时,有
\begin{equation} \begin{aligned} \phi(0,0,z)=&\frac{Va(z^2-a^2)}{2}\cdot \frac{1}{az} \left(\frac{1}{|a-z|}+\frac{1}{|a+z|}-\frac{2}{\sqrt{a^2+z^2}} \right) \\ =&V \left(\frac{|z|}{z}-\frac{z^2-a^2}{z\sqrt{a^2+z^2}} \right) , |z| > a \end{aligned} \end{equation}

2. Neumann 边界条件下的 Green 函数

   定义 $G_N( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$ 满足以下条件:

\begin{equation} \begin{cases} \nabla'^2G_N( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')=-4\pi\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\\ \left.\frac{\partial G_N( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{\partial n}\right|_{\partial V}=const \end{cases} \end{equation}
第二个条件之所以写 $const$ 而不写 $0$,是因为这将违反高斯定律.我们可以根据高斯定律计算这个 $const$ 的值:
\begin{equation} \begin{aligned} &\int_V \nabla'^2 G_N( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{V} =\int_{\partial V}\frac{\partial G_N( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{\partial n} \,\mathrm{d}{S} =\int_{\partial V}const \,\mathrm{d}{S} =const\cdot A\\ &\int_V \nabla'^2 G_N( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{V} =-4\pi\\ &\Rightarrow const=\frac{-4\pi}{A} \end{aligned} \end{equation}
其中 $A$ 为 $\partial V$ 的表面积.所以可以把式 19 改写为
\begin{equation} \begin{cases} \nabla'^2G_N( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')=-4\pi\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\\ \left.\frac{\partial G_N( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{\partial n}\right|_{\partial V}=-\frac{4\pi}{A} \end{cases} \end{equation}
代入格林定理后有
\begin{equation} \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')G_N( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{V} +\frac{1}{4\pi}\int_{\partial V} G_N(r,r')\nabla'\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } +\frac{1}{A}\int_{\partial V}\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \end{equation}

   注意,上式的最后一项只是一个常数,而静电势函数在 Neumann 边界问题中是无关紧要的(任意加减一个常数都仍然满足泊松方程和边界条件).所以可以直接将解写为

\begin{equation} \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')G_N( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{V} +\frac{1}{4\pi}\int_{\partial V} G_N(r,r')\nabla'\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } \end{equation}

例 3 无限大导体平面的 Neumann Green 函数

   设三维空间中 $z=0$ 下方是导体,$z=0$ 上方是真空.在 $(0,0,a)(a > 0)$ 处有一个电荷量为 $+q$ 的电荷.用 Dirichlet Green 函数、电像法都能很好地分析这个问题.这里我们试一下使用 Neumann 格林函数.

   设 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _+=(x,y,z),r_-=(x,y,-z)$,构造函数 $G_N( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$:

\begin{equation} G_N( \boldsymbol{\mathbf{r}} ^+, \boldsymbol{\mathbf{r}} ')=\frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} _+- \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}+\frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} _-- \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \end{equation}
容易验证该函数在边界 $z=0$ 上满足 $\partial G_N/\partial n'=0$,于是它是 Neumann 格林函数.设 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1=(0,0,a), \boldsymbol{\mathbf{r}} _2=(0,0,-a)$ 代入式 23 求得电势解:
\begin{equation} \begin{aligned} \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1|}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2|}-\frac{1}{2\pi} \left(\frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1|}\frac{\partial \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{\partial z'} \right) )\\ &=\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1|}+\frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2|} \right) +\frac{E_z( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{2\pi| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1|} \end{aligned} \end{equation}


1. ^ 大多数情况下手算仍是极其复杂的,但用计算机可以方便求解.
2. ^ 这个问题也可以用电像法来分析.


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