格林函数与静电边值问题

贡献者： _Eden_

预备知识　静电边值条件与唯一性定理

　　静电学问题中有一类非常常见的边值问题，例如已知接地导体的空腔中有电荷分布，求空腔内的电势；求带电导体在空间中产生的电场等。使用格林定理可以帮助我们高效率地计算边值问题。

　　设真空中的电荷分布为 $ρ (r)$ ，则空间中的静电势满足泊松方程

\begin{matrix} (1) & \nabla^{2} ϕ = - \frac{ρ}{ϵ_{0}} . \end{matrix}

　　定义函数 $ψ (r, r^{'})$ ：

\begin{matrix} (2) & ψ (r, r^{'}) = \frac{1}{| r - r^{'} |} . \end{matrix}

它则满足以下泊松方程（下式中

\nabla^{' 2}

代表以

r^{'}

为自变量的拉普拉斯算子）

\begin{matrix} (3) & \nabla^{' 2} ψ (r, r^{'}) = - 4 π δ (r - r^{'}) . \end{matrix}

定理 1　格林定理

　　设 $ϕ, ψ$ 为区域 $V$ 上的标量函数，则通常有

\begin{matrix} (4) & \int_{V} (ϕ \nabla^{2} ψ - ψ \nabla^{2} ϕ) d V = \int_{\partial V} (ϕ \nabla ψ - ψ \nabla ϕ) d S . \end{matrix}

　　 证明： 由电场的高斯定律， $\int_{V} \nabla \cdot F d V = \int_{\partial V} F d S$ ，

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \int_{\partial V} & (ϕ \nabla ψ - ψ \nabla ϕ) d S = \int_{V} \nabla \cdot (ϕ \nabla ψ - ψ \nabla ϕ) d V \\ = \int_{V} ((\nabla ϕ) \cdot (\nabla ψ) + ϕ \nabla^{2} ψ - (\nabla ψ) \cdot (\nabla ϕ) - ψ \nabla^{2} ϕ) d V \\ = \int_{V} (ϕ \nabla^{2} ψ - ψ \nabla^{2} ϕ) d V . \end{aligned} \end{matrix}

　　下面我们用格林定理来解决静电边值问题。下面的体积分以及面积分都是以 $r^{'}$ 为自变量作积分。将式 1 式 3 中的 $ϕ, ψ$ 代入式 4 中，等式左边为

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} \int_{V} (ϕ (r^{'}) \nabla^{' 2} ψ (r, r^{'}) - ψ (r, r^{'}) \nabla^{' 2} ϕ (r^{'})) d V \\ = \int_{V} (- ϕ (r^{'}) 4 π δ (r - r^{'}) + ψ (r, r^{'}) \frac{1}{ϵ_{0}} ρ (r^{'})) d V \\ = - 4 π ϕ (r) + \frac{1}{ϵ_{0}} \int_{V} \frac{ρ (r^{'})}{| r - r^{'} |} d V . \end{aligned} \end{matrix}

等式右边为

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} \int_{\partial V} (ϕ (r^{'}) \nabla^{'} ψ (r^{'}) - ψ (r^{'}) \nabla^{'} ϕ (r^{'})) \cdot d S \\ = \int_{\partial V} (ϕ (r^{'}) \nabla^{'} \frac{1}{| r - r^{'} |} - \frac{1}{| r - r^{'} |} \nabla^{'} ϕ (r^{'})) d S . \end{aligned} \end{matrix}

因此有

\begin{matrix} (8) & ϕ (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{V} \frac{ρ (r^{'})}{| r - r^{'} |} d V + \frac{1}{4 π} \int_{\partial V} (\frac{1}{| r - r^{'} |} \nabla^{'} ϕ (r^{'}) - ϕ (r^{'}) \nabla^{'} \frac{1}{| r - r^{'} |}) d S . \end{matrix}

上式中第一项描述了区域内电荷密度对电势的贡献，第二项描述了区域边界上的面电荷密度对区域内电势的贡献。

　　不难看出，为了得到 $V$ 内部的 $ϕ (r)$ ，我们需要同时代入 $ϕ$ 和 $\partial ϕ / \partial n$ 在边界上的取值。但一般情况下我们只知道其中之一，如果同时给定 $ϕ$ 和 $\partial ϕ / \partial n$ 在边界上的取值会因过约束而导致矛盾。根据静电势的唯一性定理（定理 1 ），只要知道 $ϕ$ 或 $\partial ϕ / \partial n$ 其中之一在边界上的取值，就可以得出唯一的电势分布。下面我们分别对它们进行讨论。

1. Dirichlet 边界条件下的 Green 函数

　　我们需要找到一个新的函数来替换之前的 $ψ$ 。定义 $G_{D} (r, r^{'})$ 满足以下条件：

\begin{matrix} (9) & {\begin{cases} \nabla^{' 2} G_{D} (r, r^{'}) = - 4 π δ (r - r^{'}) \\ G_{D} (r, r^{'}) |_{\partial V} = 0 \end{cases} . \end{matrix}

　　我们称 $G_{D} (r, r^{'})$ 为格林函数。用 $G_{D}$ 代替 $ψ$ 代入格林定理，可以得到

\begin{matrix} (10) & ϕ (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{V} ρ (r^{'}) G_{D} (r, r^{'}) d V - \frac{1}{4 π} \int_{\partial V} ϕ (r^{'}) \nabla^{'} G_{D} (r, r^{'}) d S . \end{matrix}

　　对于某个特定区域形状（ $\partial V$ 的形状），我们可以预先求出它的格林函数 $G_{D} (r, r^{'})$ 。在求解具体问题时，给定任意的电荷分布 $ρ (r^{'})$ 以及 Dirichlet 边界条件 $ϕ (r^{'}) |_{\partial V}$ ，都可以用式 10 求出电势分布。这就是格林函数方法的高效之处¹。

　　大部分情况下手动解出格林函数是极其困难的，但对于一些特殊的边界，有很漂亮的格林函数。例如下面这个例子。

例 1　无限大导体平面的 Dirichlet Green 函数

　　设三维空间中 $z = 0$ 下方是导体， $z = 0$ 上方是真空。在 $(0, 0, a) (a > 0)$ 处有一个电荷量为 $+ q$ 的电荷。求 $z = 0$ 上方空间的电势分布。²

　　区域 $V$ 为 $z = 0$ 上方空间。导体给出了边界条件 $ϕ (r^{'}) |_{\partial V} = 0$ 。用 Dirichlet 格林函数方法来求解。设 $r_{+} = (x, y, z), r_{-} = (x, y, - z)$ ，容易构造出以下函数

\begin{matrix} (11) & G_{D} (r_{+}, r^{'}) = \frac{1}{| r_{+} - r^{'} |} - \frac{1}{| r_{-} - r^{'} |}, \end{matrix}

它在区域

V

内满足 Dirichlet 格林函数的两个条件。然后就可以利用式 10 求解。设

r_{1} = (0, 0, a), r_{2} - = (0, 0, - a)

，得

\begin{matrix} (12) & ϕ (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q}{| r - r_{1} |} - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q}{| r - r_{2} |} . \end{matrix}

例 2　球形边界的 Dirichlet Green 函数

　　设空间内有两个半径为 $a$ 的金属半球壳，将它们放置成一个球体，球心位于原点。上半球（ $z > 0$ ）球面的电势为 $V$ ，下半球球面电势为 $- V$ 。求球内电势分布，并写出电势 $ϕ (0, 0, z)$ 的解析表达式。

　　区域 $V$ 为以 $(0, 0, 0)$ 为圆心， $a$ 为半径的球。可以构造 Dirichlet 格林函数：

\begin{matrix} (13) & G_{D} (r, r^{'}) = \frac{1}{| r - r^{'} |} - \frac{a / r^{'}}{| r - (a^{2} / r^{' 2}) r^{'} |}, \end{matrix}

　　容易知道 $\nabla^{' 2} G_{D} (r, r^{'}) = - 4 π δ (r - r^{'})$ 。再考虑该函数在边界上的取值。 $r^{'}, (a^{2} / r^{' 2}) r^{'}$ 同向，对从原点指向球的任意向量 $r^{*}$ ，设它和 $r^{'}$ 的夹角为 $θ$ ，那么可以用余弦定理化简：

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} \frac{1}{| r^{*} - r^{'} |} - \frac{a / r^{'}}{| r^{*} - (a^{2} / r^{' 2}) r^{'} |} \\ = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + r^{' 2} - 2 a r^{'} \cos θ}} - \frac{a / r^{'}}{\sqrt{a^{2} + a^{4} / r^{' 2} - 2 a^{3} / r^{'} \cos θ}} \\ = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + r^{' 2} - 2 a r^{'} \cos θ}} - \frac{1}{\sqrt{a^{2} + r^{' 2} - 2 a r^{'} \cos θ}} \\ = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

于是该函数完全满足式 9 的两个条件。

　　下面来解决原问题。利用格林函数方法，可以推导 $ϕ (r)$ 的公式

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} ϕ (r) & = - \frac{V}{4 π} \int_{上半球壳} \nabla^{'} G_{D} (r, r^{'}) d S + \frac{V}{4} \int_{下半球壳} \nabla^{'} G_{D} (r, r^{'}) d S \\ = - \frac{V a^{2}}{4 π} \int_{0}^{π / 2} d θ^{'} \int_{0}^{2 π} \sin θ^{'} d ϕ^{'} \frac{\partial}{\partial r^{'}} (\frac{1}{| r - r^{'} |} - \frac{a / r^{'}}{| r - (a^{2} / r^{' 2}) r^{'} |}) \\ + \frac{V a^{2}}{4 π} \int_{π / 2}^{π} d θ^{'} \int_{0}^{2 π} \sin θ^{'} d ϕ^{'} \frac{\partial}{\partial r^{'}} (\frac{1}{| r - r^{'} |} - \frac{a / r^{'}}{| r - (a^{2} / r^{' 2}) r^{'} |}) \\ = \frac{V a^{2}}{4 π} \int_{0}^{π / 2} d θ^{'} \int_{0}^{2 π} \sin θ^{'} d ϕ^{'} (\frac{(a^{2} - r^{2}) / a}{(a^{2} + r^{2} - 2 a r \cos γ)^{3 / 2}}) \\ + \frac{V a^{2}}{4 π} \int_{π}^{π / 2} d θ^{'} \int_{0}^{2 π} \sin θ^{'} d ϕ^{'} (\frac{(a^{2} - r^{2}) / a}{(a^{2} + r^{2} - 2 a r \cos γ)^{3 / 2}}) . \end{aligned} \end{matrix}

上式中

γ

为

r^{'}

与

r

的夹角。可以用中心对称关系将两个积分合并为一个积分（在中心对称的变换下，

γ

变为

π - γ

，

\cos γ

反号，

d θ^{'}

也反号），计算得

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} ϕ (r) = & \frac{V a (a^{2} - r^{2})}{4 π} \int_{0}^{π / 2} d θ^{'} \int_{0}^{2 π} \sin θ^{'} d ϕ^{'} \\ (\frac{1}{(a^{2} + r^{2} - 2 a r \cos γ)^{3 / 2}} - \frac{1}{(a^{2} + r^{2} + 2 a r \cos γ)^{3 / 2}}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　不幸的是，这个积分如此复杂，以至于我们只能借助计算软件得到数值结果。对于 $r = (0, 0, z) (| z | < r)$ 的情况， $γ = θ^{'}$ 。我们可以推出解析解：

\begin{matrix} (17) & \begin{aligned} ϕ (0, 0, z) = & \frac{V a (a^{2} - z^{2})}{2} \int_{0}^{π / 2} \sin θ^{'} d θ^{'} \\ (\frac{1}{(a^{2} + z^{2} - 2 a z \cos θ^{'})^{3 / 2}} - \frac{1}{(a^{2} + z^{2} + 2 a z \cos θ^{'})^{3 / 2}}) \\ = & \frac{V a (a^{2} - z^{2})}{2} \cdot \frac{1}{a z} (\frac{1}{| a - z |} + \frac{1}{| a + z |} - \frac{2}{\sqrt{a^{2} + z^{2}}}) \\ = & V (\frac{a}{z} - \frac{a^{2} - z^{2}}{z \sqrt{a^{2} + z^{2}}}), | z | < a . \end{aligned} \end{matrix}

要注意的是，如果要求球外（

| r | > a

）的电势，那么就要取球外为区域

V

，边界

\partial V

的法向量就是朝内的了。前面

\partial G_{D} / \partial n^{'}

的计算结果就要添上一个负号。于是当

| z | > a

时，有

\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} ϕ (0, 0, z) = & \frac{V a (z^{2} - a^{2})}{2} \cdot \frac{1}{a z} (\frac{1}{| a - z |} + \frac{1}{| a + z |} - \frac{2}{\sqrt{a^{2} + z^{2}}}) \\ = & V (\frac{| z |}{z} - \frac{z^{2} - a^{2}}{z \sqrt{a^{2} + z^{2}}}), | z | > a . \end{aligned} \end{matrix}

2. Neumann 边界条件下的 Green 函数

　　定义 $G_{N} (r, r^{'})$ 满足以下条件：

\begin{matrix} (19) & {\begin{cases} \nabla^{' 2} G_{N} (r, r^{'}) = - 4 π δ (r - r^{'}) \\ {\frac{\partial G_{N} (r, r^{'})}{\partial n} |}_{\partial V} = c o n s t \end{cases} . \end{matrix}

第二个条件之所以写

c o n s t

而不写

0

，是因为这将违反高斯定律。我们可以根据高斯定律计算这个

c o n s t

的值：

\begin{matrix} (20) & \begin{aligned} \int_{V} \nabla^{' 2} G_{N} (r, r^{'}) d V = \int_{\partial V} \frac{\partial G_{N} (r, r^{'})}{\partial n} d S = \int_{\partial V} c o n s t d S = c o n s t \cdot A \\ \int_{V} \nabla^{' 2} G_{N} (r, r^{'}) d V = - 4 π \\ \Rightarrow c o n s t = \frac{- 4 π}{A} . \end{aligned} \end{matrix}

其中

A

为

\partial V

的表面积。所以可以把式 19 改写为

\begin{matrix} (21) & {\begin{cases} \nabla^{' 2} G_{N} (r, r^{'}) = - 4 π δ (r - r^{'}) \\ {\frac{\partial G_{N} (r, r^{'})}{\partial n} |}_{\partial V} = - \frac{4 π}{A} \end{cases} . \end{matrix}

代入格林定理后有

\begin{matrix} (22) & ϕ (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{V} ρ (r^{'}) G_{N} (r, r^{'}) d V + \frac{1}{4 π} \int_{\partial V} G_{N} (r, r^{'}) \nabla^{'} ϕ (r^{'}) d S + \frac{1}{A} \int_{\partial V} ϕ (r^{'}) . \end{matrix}

　　注意，上式的最后一项只是一个常数，而静电势函数在 Neumann 边界问题中是无关紧要的（任意加减一个常数都仍然满足泊松方程和边界条件）。所以可以直接将解写为

\begin{matrix} (23) & ϕ (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{V} ρ (r^{'}) G_{N} (r, r^{'}) d V + \frac{1}{4 π} \int_{\partial V} G_{N} (r, r^{'}) \nabla^{'} ϕ (r^{'}) d S . \end{matrix}

例 3　无限大导体平面的 Neumann Green 函数

　　设三维空间中 $z = 0$ 下方是导体， $z = 0$ 上方是真空。在 $(0, 0, a) (a > 0)$ 处有一个电荷量为 $+ q$ 的电荷。用 Dirichlet Green 函数、电像法都能很好地分析这个问题。这里我们试一下使用 Neumann 格林函数。

　　设 $r_{+} = (x, y, z), r_{-} = (x, y, - z)$ ，构造函数 $G_{N} (r, r^{'})$ ：

\begin{matrix} (24) & G_{N} (r^{+}, r^{'}) = \frac{1}{| r_{+} - r^{'} |} + \frac{1}{| r_{-} - r^{'} |} . \end{matrix}

容易验证该函数在边界

z = 0

上满足

\partial G_{N} / \partial n^{'} = 0

，于是它是 Neumann 格林函数。设

r_{1} = (0, 0, a), r_{2} = (0, 0, - a)

代入式 23 求得电势解：

\begin{matrix} (25) & \begin{aligned} ϕ (r) & = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q}{| r - r_{1} |} + \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q}{| r - r_{2} |} - \frac{1}{2 π} (\frac{1}{| r - r_{1} |} \frac{\partial ϕ (r^{'})}{\partial z^{'}})) \\ = \frac{q}{4 π ϵ_{0}} (\frac{1}{| r - r_{1} |} + \frac{1}{| r - r_{2} |}) + \frac{E_{z} (r^{'})}{2 π | r - r_{1} |} . \end{aligned} \end{matrix}

1. ^ 大多数情况下手算仍是极其复杂的，但用计算机可以方便求解。
2. ^ 这个问题也可以用电像法来分析。

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格林函数与静电边值问题

定理 1 格林定理

1. Dirichlet 边界条件下的 Green 函数

例 1 无限大导体平面的 Dirichlet Green 函数

例 2 球形边界的 Dirichlet Green 函数

2. Neumann 边界条件下的 Green 函数

例 3 无限大导体平面的 Neumann Green 函数

定理 1　格林定理

例 1　无限大导体平面的 Dirichlet Green 函数

例 2　球形边界的 Dirichlet Green 函数

例 3　无限大导体平面的 Neumann Green 函数