贡献者： addis
1在物理中我们经常会遇到一些模型，如质点和点电荷等，这类模型使用了极限的思想（如令体积趋于无穷小）。如果考察质点的密度或点电荷的电荷密度，将得到无穷大，然而将其密度（电荷密度）在空间中积分却又能得到有限的质量与电荷。为了描述这样的密度（电荷密度）分布，我们引入狄拉克 $\delta$ 函数（Dirac delta function）。
$\delta(x)$ 并不是数学中一个严格意义上的函数，而是在泛函分析中被称为广义函数（generalized function）或分布（distribution），详见泛函分析教材如 [22]。
图 1：$\delta(x - x_0)$ 函数列的简单例子
我们来考虑一个函数（图 1 左）
\begin{equation}
f_h(x) =
\begin{cases}
h & \left( \left\lvert x - x_0 \right\rvert \leqslant \frac{1}{2h} \right) \\
0 & \left( \left\lvert x - x_0 \right\rvert > \frac{1}{2h} \right)
\end{cases}
\end{equation}
其中 $h, x_0$ 是常数。由函数图像易得函数曲线下面的面积为 $\int_{-\infty}^{+\infty} f_h(x) \,\mathrm{d}{x} = 1$。现在我们令 $h \to \infty$，长方形的高将趋于无穷大，宽将趋于零，而定积分结果不变。
这样，上面的 $f_h(x)$ 就可以表示为 $\delta(x - x_0)$。当然，我们还可以选取其他含有参数的 $f(x)$ 来逼近 $\delta$ 函数，如图 1 中的另外两种情况。
1. 用函数列严格定义
本文中我们给出另一个严谨的定义：把 $\delta$ 函数看作是满足一定条件的函数序列，即无穷个函数按一定顺序排列。
定义 1 狄拉克 $\delta$ 函数
令 $\delta_1(x), \delta_2(x), \dots$ 为一个连续实函数的序列。若 $\delta_n(x)$ 满足以下两个条件，那么我们把该函数列称为狄拉克 $\delta$ 函数（列）：
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x) \,\mathrm{d}{x} = 1
\end{equation}
对任意给定的不包含 0 的区间 $(a,b)$（$a,b \ne 0$，可取 $\pm\infty$），有
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} \delta_n(x) \,\mathrm{d}{x} = 0
\end{equation}
事实上，教材上（如 [18]）常使用以下定义，但这两种定义是等价的2，且前者更容易理解
定义 2 狄拉克 $\delta$ 函数 2
令 $\delta_1(x), \delta_2(x), \dots$ 为一个连续实函数的序列。若 $\delta_n(x)$ 满足以下两个条件，那么我们把该函数列称为狄拉克 $\delta$ 函数（列）：
对所有性质良好（例如在 $x = 0$ 连续）的 $f(x)$，都有
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x)f(x) \,\mathrm{d}{x} = f(0)
\end{equation}
一些物理教材会把 $\delta(x)$ 的性质简单记为
\begin{equation}
\delta(x) =
\begin{cases}
+\infty & (x = 0)\\
0 & (x \ne 0)
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \,\mathrm{d}{x} = 1
\end{equation}
这是十分不严谨的，
式 5 的 $\delta(x)$ 不是函数，
式 6 也不可积，$x \ne 0$ 时极限 $\lim_{n\to \infty}\delta_n(x)$ 也未必存在（
例 1 ）。
习题 1 高斯函数
证明高斯分布函数 可以构成以下 $\delta$ 函数列
\begin{equation}
\delta_n(x) = \frac{n}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e} ^{-{n ^2}x^2} \qquad (n = 1, 2, \dots)
\end{equation}
例 1 sinc 函数
证明 $ \operatorname{sinc} $ 函数可以构成以下 $\delta$ 函数列
\begin{equation}
\delta_n(x) = \frac{n}{\pi} \operatorname{sinc} (n x) \qquad (n = 1, 2, \dots)
\end{equation}
该式在傅里叶分析和量子力学中有重要应用
[18]，但证明起来比较困难只好从略（参考
式 3 ）。注意即使对于 $x \ne 0$ 上式也不存在 $n\to\infty$ 的极限而是做简谐振动，可见
式 5 是十分不严谨的。
图 1 的三个例子也较为片面。
图 2：
例 1 中的 $n \operatorname{sinc} (n x)$
2. 常见性质
性质 1
若一个等式中出现了所谓的 $\delta$ 函数 $\delta(x)$，那么其严格的定义是先将 $\delta(x)$ 替换为符合定义 1 的任意函数列 $\delta_n(x)$，令等式在 $n\to\infty$ 的极限时成立。
例如 $\delta(x)$ 一个重要的性质是：对任意在 $x = x_0$ 处连续函数 $f(x)$，有
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x - x_0) \,\mathrm{d}{x} = f(x_0)
\end{equation}
使用
定义 1 中的 $\delta_n(x)$ 表示，该等式的严格意义是（注意极限和积分不可交换，且极限必须在最外面）
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta_n(x - x_0) \,\mathrm{d}{x} = f(x_0)
\end{equation}
由于我们假设
定义 1 和
定义 2 等效，这是成立的。
性质 2
\begin{equation}
\delta(ax) = \frac{1}{ \left\lvert a \right\rvert } \delta(x)
\end{equation}
我们从
式 1 的几何上来不严谨地证明这个性质：与 $\delta(x)$ 相比较，$\delta(ax)$ 的图像在 $x$ 方向变窄了 $ \left\lvert a \right\rvert $ 倍，所以函数曲线下的面积变为原来的 $1/ \left\lvert a \right\rvert $ 倍，故 $ \left\lvert a \right\rvert \delta(ax)$ 下的面积是 $1$，证毕。
性质 3
作为式 11 的拓展，令 $f(x)$ 的根为 $x_1, x_2, \dots$，在这些根处的导数为 $f'(x_i)$，那么
\begin{equation}
\delta[f(x)] = \sum_i \frac{1}{ \left\lvert f'(x_i) \right\rvert } \delta(x - x_i)
\end{equation}
证明和
式 11 类似。
性质 4
对性质良好的函数 $g(x)$ 有
\begin{equation}
g(x)\delta(x) = g(0)\delta(x)
\end{equation}
证明：对于性质良好的 $f(x)$，$\int f(x) g(x)\delta(x) \,\mathrm{d}{x} = f(0)g(0) = \int f(x)g(0)\delta(x) \,\mathrm{d}{x} $。证毕。
3. 其他应用
再次强调我们不能 “按字面意思” 理解任何含有 $\delta(x)$ 的等式。
例 2
在傅里叶分析中，时常会看到
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} = 2\pi \delta(k)
\end{equation}
然而严格来说，左边的积分并不收敛，所以不能 “按字面意思” 理解该式。要严格证明，上式两边除以 $2\pi$，令有限区间 $[-n,n]$ 内的积分为
\begin{equation}
\delta_n(k) = \frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} = \frac{ \sin\left(n k\right) }{\pi k} = \frac{n}{\pi} \operatorname{sinc} (n k)
\end{equation}
由
例 1 中的结论得
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty} \delta_n(k) = \delta(k)
\end{equation}
证毕。
习题 2
证明
\begin{equation}
\begin{aligned}&\int_{-\infty}^{+\infty} \sin\left(k'x\right) \sin\left(kx\right) \,\mathrm{d}{x} = \int_{-\infty}^{+\infty} \cos\left(k'x\right) \cos\left(kx\right) \,\mathrm{d}{x} \\
&= \pi\delta(k' - k) - \pi\delta(k' + k)
\end{aligned}
\end{equation}
提示：使用
式 1 ，
式 2 和
式 14 。
例 3
请证明
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x-x_1) \delta(x-x_2) \,\mathrm{d}{x} = \delta(x_1 - x_2)
\end{equation}
注意由此可得积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)^2 \,\mathrm{d}{x} = +\infty$，即不收敛。
证明：考虑和上文一样的含参函数 $\delta_n(x)$，令 $I_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x) \,\mathrm{d}{x} $，有 $\lim_{n\to\infty} I_n = 1$。再令
\begin{equation}
f_n(x_1, x_2) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_1) \delta_n(x-x_2) \,\mathrm{d}{x}
\end{equation}
未完成：以下证明不严谨，待更正
我们希望证明 $\lim_{n\to\infty }f_n(x_1, x_2) = \delta(x_1 - x_2)$。首先对于给定的 $x_1 \ne x_2$ 显然有 $\lim_{n\to\infty }f_n(x_1, x_2) = 0$。所以只需证明
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty }\int_{-\infty}^{+\infty} f_n(x_1, x_2) \,\mathrm{d}{x_2} = 1
\end{equation}
交换积分顺序得
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\lim_{n\to\infty }\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_1) \delta_n(x-x_2) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{x_2} \\
&= \lim_{n\to\infty }\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_1) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_2) \,\mathrm{d}{x_2} \,\mathrm{d}{x} \\
&= \lim_{n\to\infty } I_n \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_1) \,\mathrm{d}{x} \\
&= \lim_{n\to\infty } I_n^2 = 1
\end{aligned}
\end{equation}
证毕。
1. ^ 参考 [18] 相关内容。
2. ^ 容易证明定义 1 是定义 2 的必要条件（只需要令定义 2 中的 $f(x) = 1$ 证明式 2 ；再令 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 为 1，否则为 0，证明式 3 。）。充分条件笔者不会证明。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
