狄拉克 delta 函数

                     

贡献者: addis

预备知识 定积分,sinc 函数

  1在物理中我们经常会遇到一些模型,如质点和点电荷等,这类模型使用了极限的思想(如令体积趋于无穷小)。如果考察质点的密度或点电荷的电荷密度,将得到无穷大,然而将其密度(电荷密度)在空间中积分却又能得到有限的质量与电荷。为了描述这样的密度(电荷密度)分布,我们引入狄拉克 $\delta$ 函数(Dirac delta function)

   $\delta(x)$ 并不是数学中一个严格意义上的函数,而是在泛函分析中被称为广义函数(generalized function)分布(distribution),详见泛函分析教材如 [26]

图
图 1:$\delta(x - x_0)$ 函数列的简单例子

   我们来给出 $\delta$ 函数的一个模糊概念:考虑一个含有参数 $h$ 的函数(图 1 左 1)

\begin{equation} f_h(x) = \begin{cases} h & \left( \left\lvert x - x_0 \right\rvert \leqslant \frac{1}{2h} \right) \\ 0 & \left( \left\lvert x - x_0 \right\rvert > \frac{1}{2h} \right) \end{cases}\qquad (h > 0)~. \end{equation}
其中 $h, x_0$ 是常数。由函数图像易得函数曲线下面的面积始终为 $\int_{-\infty}^{+\infty} f_h(x) \,\mathrm{d}{x} = 1$。现在我们可以不断让 $h$ 变大,长方形的高将趋于无穷大,宽将趋于零,而定积分结果不变。

   粗略地说,$\delta(x - x_0)$ 就是代表上面的 $f_h(x)$ 中 $h$ 无限变大的过程。当然,我们还可以选取其他含有参数 $h$ 的函数来逼近 $\delta$ 函数,如图 1 中的另外两种情况。

   一些物理教材会把 $\delta(x)$ 的性质简单记为(一般默认 $x_0 = 0$,下同)

\begin{equation} \delta(x) = \begin{cases} +\infty & (x = 0)\\ 0 & (x \ne 0) \end{cases}~, \end{equation}
\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \,\mathrm{d}{x} = 1~. \end{equation}
这是十分不严谨的,因为如果直接用式 2 定义函数 $\delta(x)$,那么上述 $h$ 逐渐变大的图像将彻底丢失,且不可能得到式 3 。况且接下来也会看到 $x \ne x_0$ 时极限 $\lim_{h\to \infty}f_h(x)$ 也未必存在,更未必为零(例 1 )。

1. 用函数列严格定义

  2这里我们给出一种严谨的定义:把 $\delta$ 函数看作是满足一定条件的函数序列(delta sequence),即无穷个函数像数列一样按一定顺序排列。

定义 1 狄拉克 $\delta$ 函数

   令 $\delta_1(x), \delta_2(x), \dots$ 为一组连续实函数的序列。若 $\delta_n(x)$ 满足以下条件,那么我们把该函数列称为狄拉克 $\delta$ 函数(列):

\begin{equation} \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x) \,\mathrm{d}{x} = 1~. \end{equation}
且对任意给定的不包含 0 的区间 $(a,b)$($a,b \ne 0$,可取 $\pm\infty$),有
\begin{equation} \lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} \delta_n(x) \,\mathrm{d}{x} = 0~. \end{equation}

   事实上,教材上(如 [22])常使用以下定义,但这两种定义是等价的3

定义 2 狄拉克 $\delta$ 函数 2

   令 $\delta_1(x), \delta_2(x), \dots$ 为一个连续实函数的序列。若 $\delta_n(x)$ 满足以下两个条件,那么我们把该函数列称为狄拉克 $\delta$ 函数(列):

   对所有性质良好(例如在 $x = 0$ 连续)的 $f(x)$,都有

\begin{equation} \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x)f(x) \,\mathrm{d}{x} = f(0)~. \end{equation}

习题 1 高斯函数

   证明高斯分布函数 可以构成以下 $\delta$ 函数列

\begin{equation} \delta_n(x) = \sqrt{\frac{n}{\pi}} \mathrm{e} ^{-n x^2} \qquad (n = 1, 2, \dots)~. \end{equation}

例 1 sinc 函数

   可以证明 $ \operatorname{sinc} $ 函数可以构成以下 $\delta$ 函数列

\begin{equation} \delta_n(x) = \frac{n}{\pi} \operatorname{sinc} (n x) \qquad (n = 1, 2, \dots)~. \end{equation}
该式在傅里叶分析和量子力学中有重要应用(下文以及 [22]),但证明起来比较困难暂且从略(证明式 4 可用式 3 )。注意即使对于 $x \ne 0$,极限 $\lim_{n\to\infty} \delta_n(x)$ 也不存在,可见式 2 是十分不严谨的。图 1 的三个例子也较为片面。

图
图 2:例 1 中的 $n \operatorname{sinc} (n x)$,注意 $n$ 变大时该函数的 “轮廓” 并不会变窄而是保持近似 $1/x$ 的形状

2. 常见性质

性质 1

   若一个等式中出现了所谓的 $\delta$ 函数 $\delta(x)$,那么其严格的定义是先将 $\delta(x)$ 替换为符合定义 1 的任意函数列 $\delta_n(x)$,再令等式两边在取极限 $n\to\infty$ 时成立

   例如 $\delta(x)$ 一个重要的性质是:对任意在 $x = x_0$ 处连续函数 $f(x)$,有

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x - x_0) \,\mathrm{d}{x} = f(x_0)~. \end{equation}
使用函数列 $\delta_n(x)$,该等式的严格意义是(注意该极限和积分不可交换,极限必须在最外面)
\begin{equation} \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta_n(x - x_0) \,\mathrm{d}{x} = f(x_0)~. \end{equation}
由于我们假设定义 1 定义 2 等效,这是成立的。

性质 2

\begin{equation} \delta(ax) = \frac{1}{ \left\lvert a \right\rvert } \delta(x)~. \end{equation}
我们从式 1 的几何上来不严谨地证明这个性质:与 $\delta(x)$ 相比较,$\delta(ax)$ 的图像在 $x$ 方向变窄了 $ \left\lvert a \right\rvert $ 倍,所以函数曲线下的面积变为原来的 $1/ \left\lvert a \right\rvert $ 倍,故 $ \left\lvert a \right\rvert \delta(ax)$ 下的面积是 $1$,证毕。

性质 3

   作为式 11 的拓展,令 $f(x)$ 的根为 $x_1, x_2, \dots$,在这些根处的导数为 $f'(x_i)$,那么

\begin{equation} \delta[f(x)] = \sum_i \frac{1}{ \left\lvert f'(x_i) \right\rvert } \delta(x - x_i)~, \end{equation}
证明和式 11 类似。

性质 4

   对性质良好的函数 $g(x)$ 有

\begin{equation} g(x)\delta(x) = g(0)\delta(x)~. \end{equation}
证明:对于性质良好的 $f(x)$,$\int f(x) g(x)\delta(x) \,\mathrm{d}{x} = f(0)g(0) = \int f(x)g(0)\delta(x) \,\mathrm{d}{x} $。证毕。

3. 应用

   再次强调我们不能 “按字面意思” 理解任何含有 $\delta(x)$ 的等式。

例 2 

   在傅里叶分析中,时常会看到

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} = 2\pi \delta(k)~. \end{equation}
然而严格来说,该积分并不收敛,所以不能 “按字面意思” 理解该式。要严格证明,上式两边除以 $2\pi$,令有限区间 $[-n,n]$ 内的积分为
\begin{equation} \delta_n(k) = \frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} = \frac{ \sin\left(n k\right) }{\pi k} = \frac{n}{\pi} \operatorname{sinc} (n k)~. \end{equation}
例 1 中的结论得 $\delta_n(k)$ 是一个 delta 函数列。证毕。

   式 14 是傅里叶分析中重要的公式,稍微变形可得

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k'x}}{\sqrt{2\pi}} \right) ^* \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx}}{\sqrt{2\pi}} \,\mathrm{d}{x} = \delta(k-k')~. \end{equation}
其中星号代表复共轭。由于函数的内积通常定义为 $\int f^*(x) g(x) \,\mathrm{d}{x} $ 的形式,该式说明两列简谐波(子节 4 )存在某种意义上的正交归一,详见 “连续正交归一基底与傅里叶变换”。

例 3 

   事实上式 14 不止一种理解,例 2 中限制积分上下限的方法相当于给式 14 的被积函数乘以窗口函数

\begin{equation} g(x) = \left\{\begin{aligned} &1 && ( \left\lvert x \right\rvert \leq n)\\ &0 && ( \left\lvert x \right\rvert > n)~. \end{aligned}\right. \end{equation}
那么该例中,我们可以使用一个更平滑的窗口函数
\begin{equation} g(x) = \mathrm{e} ^{-x^2/(4n)}~. \end{equation}
\begin{equation} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e} ^{-x^2/(4n)} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k x} \,\mathrm{d}{x} = 2\pi \sqrt{\frac{n}{\pi}} \mathrm{e} ^{-n x^2}~. \end{equation}
而根据习题 1 ,等式右边就是 $2\pi\delta_n(x)$。而随着 $n$ 变大,$ \mathrm{e} ^{-x^2/(4n)}$ 接近 $1$,左边的积分也 “接近” 式 14 的左边。

习题 2 

   证明

\begin{equation} \begin{aligned}&\quad\int_{-\infty}^{+\infty} \sin\left(k'x\right) \sin\left(kx\right) \,\mathrm{d}{x} = \int_{-\infty}^{+\infty} \cos\left(k'x\right) \cos\left(kx\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \pi\delta(k' - k) - \pi\delta(k' + k)~. \end{aligned} \end{equation}
提示:使用式 1 式 2 式 14

例 4 

   请证明

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x-x_1) \delta(x-x_2) \,\mathrm{d}{x} = \delta(x_1 - x_2)~. \end{equation}
注意由此可得积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)^2 \,\mathrm{d}{x} = +\infty$,即不收敛。

   证明:考虑和上文一样的含参函数 $\delta_n(x)$,令 $I_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x) \,\mathrm{d}{x} $,有 $\lim_{n\to\infty} I_n = 1$。再令

\begin{equation} f_n(x_1, x_2) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_1) \delta_n(x-x_2) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
未完成:以下证明不严谨,待更正
我们希望证明 $\lim_{n\to\infty }f_n(x_1, x_2) = \delta(x_1 - x_2)$。首先对于给定的 $x_1 \ne x_2$ 显然有 $\lim_{n\to\infty }f_n(x_1, x_2) = 0$。所以只需证明
\begin{equation} \lim_{n\to\infty }\int_{-\infty}^{+\infty} f_n(x_1, x_2) \,\mathrm{d}{x_2} = 1~. \end{equation}
交换积分顺序得
\begin{equation} \begin{aligned} &\lim_{n\to\infty }\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_1) \delta_n(x-x_2) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{x_2} \\ &= \lim_{n\to\infty }\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_1) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_2) \,\mathrm{d}{x_2} \,\mathrm{d}{x} \\ &= \lim_{n\to\infty } I_n \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_1) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \lim_{n\to\infty } I_n^2 = 1~, \end{aligned} \end{equation}
证毕。


1. ^ 参考 [22] 相关内容。参考 Wikipedia 相关页面
2. ^ 参考 Digital Library of Mathematical Functions 相关页面
3. ^ 容易证明定义 1 定义 2 的必要条件(只需要令定义 2 中的 $f(x) = 1$ 证明式 4 ;再令 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 为 1,否则为 0,证明式 5 。)。充分条件笔者不会证明。


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