狄拉克 delta 函数

             

预备知识 定积分,sinc 函数

  1在物理中我们经常会遇到一些模型,如质点和点电荷等,这类模型使用了极限的思想(如令体积趋于无穷小).如果考察质点的密度或点电荷的电荷密度,将得到无穷大,然而将其密度(电荷密度)在空间中积分却又能得到有限的质量与电荷.为了描述这样的密度(电荷密度)分布,我们引入狄拉克 $\delta$ 函数(Dirac delta function)

   $\delta(x)$ 并不是数学中一个严格意义上的函数,而是在泛函分析中被称为广义函数(generalized function)分布(distribution),详见泛函分析教材如 [11]

图
图 1:$\delta(x - x_0)$ 函数列的简单例子

   我们来考虑一个函数(图 1 左)

\begin{equation} f_h(x) = \begin{cases} h & \left( \left\lvert x - x_0 \right\rvert \leqslant \frac{1}{2h} \right) \\ 0 & \left( \left\lvert x - x_0 \right\rvert > \frac{1}{2h} \right) \end{cases} \end{equation}
其中 $h, x_0$ 是常数.由函数图像易得函数曲线下面的面积为 $\int_{-\infty}^{+\infty} f_h(x) \,\mathrm{d}{x} = 1$.现在我们令 $h \to \infty$,长方形的高将趋于无穷大,宽将趋于零,而定积分结果不变.

   这样,上面的 $f_h(x)$ 就可以表示为 $\delta(x - x_0)$.当然,我们还可以选取其他含有参数的 $f(x)$ 来逼近 $\delta$ 函数,如图 1 中的另外两种情况.

1. 用函数列严格定义

   本文中我们给出另一个严谨的定义:把 $\delta$ 函数看作是满足一定条件的函数序列,即无穷个函数按一定顺序排列.

定义 1 狄拉克 $\delta$ 函数

   令 $\delta_1(x), \delta_2(x), \dots$ 为一个连续实函数的序列.若 $\delta_n(x)$ 满足以下两个条件,那么我们把该函数列称为狄拉克 $\delta$ 函数(列):

\begin{equation} \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x) \,\mathrm{d}{x} = 1 \end{equation}
对任意给定的不包含 0 的区间 $(a,b)$($a,b \ne 0$,可取 $\pm\infty$),有
\begin{equation} \lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} \delta_n(x) \,\mathrm{d}{x} = 0 \end{equation}

   事实上,教材上(如 [9])常使用以下定义,但这两种定义是等价的2,且前者更容易理解

定义 2 狄拉克 $\delta$ 函数 2

   令 $\delta_1(x), \delta_2(x), \dots$ 为一个连续实函数的序列.若 $\delta_n(x)$ 满足以下两个条件,那么我们把该函数列称为狄拉克 $\delta$ 函数(列):

   对所有性质良好(例如在 $x = 0$ 连续)的 $f(x)$,都有

\begin{equation} \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x)f(x) \,\mathrm{d}{x} = f(0) \end{equation}

   一些物理教材会把 $\delta(x)$ 的性质简单记为

\begin{equation} \delta(x) = \begin{cases} +\infty & (x = 0)\\ 0 & (x \ne 0) \end{cases} \end{equation}
\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \,\mathrm{d}{x} = 1 \end{equation}
这是十分不严谨的,$\delta(x)$ 不是函数,更不可积,$x \ne 0$ 时极限 $\lim_{n\to \infty}\delta_n(x)$ 也未必存在(例 1 ).

习题 1 高斯函数

   证明高斯分布函数 可以构成以下 $\delta$ 函数列

\begin{equation} \delta_n(x) = \frac{n}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e} ^{-{n ^2}x^2} \qquad (n = 1, 2, \dots) \end{equation}

例 1 sinc 函数

   证明 $ \operatorname{sinc} $ 函数可以构成以下 $\delta$ 函数列

\begin{equation} \delta_n(x) = \frac{n}{\pi} \operatorname{sinc} (n x) \qquad (n = 1, 2, \dots) \end{equation}
该式在傅里叶分析和量子力学中有重要应用 [9],但证明起来比较困难只好从略(参考式 3 ).注意即使对于 $x \ne 0$ 上式也不存在 $n\to\infty$ 的极限而是做简谐振动,可见式 5 是十分不严谨的.图 1 的三个例子也较为片面.

图
图 2:例 1 中的 $n \operatorname{sinc} (n x)$

2. 常见性质

性质 1

   若一个等式中出现了所谓的 $\delta$ 函数 $\delta(x)$,那么其严格的定义是先将 $\delta(x)$ 替换为符合定义 1 的任意函数列 $\delta_n(x)$,令等式在 $n\to\infty$ 的极限时成立

   例如 $\delta(x)$ 一个重要的性质是:对任意在 $x = x_0$ 处连续函数 $f(x)$,有

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x - x_0) \,\mathrm{d}{x} = f(x_0) \end{equation}
使用定义 1 中的 $\delta_n(x)$ 表示,该等式的严格意义是(注意极限和积分不可交换,且极限必须在最外面)
\begin{equation} \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta_n(x - x_0) \,\mathrm{d}{x} = f(x_0) \end{equation}
由于我们假设定义 1 定义 2 等效,这是成立的.

性质 2

\begin{equation} \delta(ax) = \frac{1}{ \left\lvert a \right\rvert } \delta(x) \end{equation}
我们从式 1 的几何上来不严谨地证明这个性质:与 $\delta(x)$ 相比较,$\delta(ax)$ 的图像在 $x$ 方向变窄了 $ \left\lvert a \right\rvert $ 倍,所以函数曲线下的面积变为原来的 $1/ \left\lvert a \right\rvert $ 倍,故 $ \left\lvert a \right\rvert \delta(ax)$ 下的面积是 $1$,证毕.

性质 3

   作为式 11 的拓展,令 $f(x)$ 的根为 $x_1, x_2, \dots$,在这些根处的导数为 $f'(x_i)$,那么

\begin{equation} \delta[f(x)] = \sum_i \frac{1}{ \left\lvert f'(x_i) \right\rvert } \delta(x - x_i) \end{equation}
证明和式 11 类似.

性质 4

   对性质良好的函数 $g(x)$ 有

\begin{equation} g(x)\delta(x) = g(0)\delta(x) \end{equation}
证明:对于性质良好的 $f(x)$,$\int f(x) g(x)\delta(x) \,\mathrm{d}{x} = f(0)g(0) = \int f(x)g(0)\delta(x) \,\mathrm{d}{x} $.证毕.

3. 其他应用

   再次强调我们不能 “按字面意思” 理解任何含有 $\delta(x)$ 的等式.

例 2 

   在傅里叶分析中,时常会看到

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} = 2\pi \delta(k) \end{equation}
然而严格来说,左边的积分并不收敛,所以不能 “按字面意思” 理解该式.要严格证明,上式两边除以 $2\pi$,令有限区间 $[-n,n]$ 内的积分为
\begin{equation} \delta_n(k) = \frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} = \frac{ \sin\left(n k\right) }{\pi k} = \frac{n}{\pi} \operatorname{sinc} (n k) \end{equation}
例 1 中的结论得
\begin{equation} \lim_{n\to\infty} \delta_n(k) = \delta(k) \end{equation}
证毕.

习题 2 

   证明

\begin{equation} \begin{aligned}&\int_{-\infty}^{+\infty} \sin\left(k'x\right) \sin\left(kx\right) \,\mathrm{d}{x} = \int_{-\infty}^{+\infty} \cos\left(k'x\right) \cos\left(kx\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \pi\delta(k' - k) - \pi\delta(k' + k) \end{aligned} \end{equation}
提示:使用式 1 式 2 式 14

例 3 

   请证明

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x-x_1) \delta(x-x_2) \,\mathrm{d}{x} = \delta(x_1 - x_2) \end{equation}
注意由此可得积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)^2 \,\mathrm{d}{x} = +\infty$,即不收敛.

   证明:考虑和上文一样的含参函数 $\delta_n(x)$,令 $I_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x) \,\mathrm{d}{x} $,有 $\lim_{n\to\infty} I_n = 1$.再令

\begin{equation} f_n(x_1, x_2) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_1) \delta_n(x-x_2) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
未完成:以下证明不严谨,待更正
我们希望证明 $\lim_{n\to\infty }f_n(x_1, x_2) = \delta(x_1 - x_2)$.首先对于给定的 $x_1 \ne x_2$ 显然有 $\lim_{n\to\infty }f_n(x_1, x_2) = 0$.所以只需证明
\begin{equation} \lim_{n\to\infty }\int_{-\infty}^{+\infty} f_n(x_1, x_2) \,\mathrm{d}{x_2} = 1 \end{equation}
交换积分顺序得
\begin{equation} \begin{aligned} &\lim_{n\to\infty }\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_1) \delta_n(x-x_2) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{x_2} \\ &= \lim_{n\to\infty }\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_1) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_2) \,\mathrm{d}{x_2} \,\mathrm{d}{x} \\ &= \lim_{n\to\infty } I_n \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_1) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \lim_{n\to\infty } I_n^2 = 1 \end{aligned} \end{equation}
证毕.


1. ^ 参考 [9] 相关内容.
2. ^ 容易证明定义 1 定义 2 的必要条件(只需要令定义 2 中的 $f(x) = 1$ 证明式 2 ;再令 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 为 1,否则为 0,证明式 3 .).充分条件笔者不会证明.

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