积分中值定理

                     

贡献者： 零穹

　　 积分中值定理可以将积分号去掉，或者将复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化，其应用相当的广泛。

1. 积分中值定理

定理 1　积分中值定理

　　 如果 f(x) 在 [a,b] 上可积，并且在该区间上恒有 m<f(x)<M 则

(1)∫abf(x)dx=μ(b−a) ,
其中 m≤μ≤M.

　　 证明： 设 a<b，则由定理 7 ，

(2)m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a) ,
故有
(3)m≤1b−a∫abf(x)dx≤M .
令
(4)1b−a∫abf(x)dx=μ ,
即可得所需求等式。

　　 对 a>b，

(5)∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx=μ(b−a) ,
而 a=b 时定理显然。

　　 证毕！

定理 2　推广积分中值定理

　　 设 f(x),g(x) 在 [a,b] 上可积，并且在该区间上恒有 m≤f(x)≤M , 且 g(x) 不变号，则

(6)∫abf(x)g(x)dx=μ∫abg(x)dx ,
其中 m≤μ≤M.

　　 证明： 设 g(x)≥0，且 a<b，则

(7)mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x) .
由推论 1
(8)m∫abg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤M∫abg(x)dx .
由 g(x)≥0，得
(9)∫abg(x)dx≥0 .
式 8 同除于 式 9 ，并令
(10)μ=∫abf(x)g(x)dx∫abg(x)dx ,
就有式 6 和
(11)m≤μ≤M .
对于 g(x)≤0，只需用 −g(x) 代替 g(x) 就能转到刚才的情形，同理 a>b 的情形容易由 a<b 得到，a=b 则定理恒成立。

　　 证毕！

例 1　连续函数中值定理

　　 若定理 2 的 f(x) 连续，则在 [a,b] 上，必存在某一点 c，使得 f(c)=μ（子节 3 ）。于是此时定理 2 的式 6 可写为

(12)∫abf(x)g(x)dx=f(c)∫abg(x)dx ,
其中，c∈[a,b].


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