多元狄拉克 delta 函数

                     

贡献者: addis

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预备知识 狄拉克 delta 函数,正交曲线坐标系

   在三维直角坐标系中,

\begin{equation} \delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \delta(x)\delta(y)\delta(z)~. \end{equation}
这样就有
\begin{equation} \int \delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V} = 1~. \end{equation}

1. 其他坐标系

   若要把 $\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0)$ 转换到其他正交曲线坐标系中,直接使用

\begin{equation} \delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) = \frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _u(u_0) \boldsymbol{\mathbf{r}} _v(v_0) \boldsymbol{\mathbf{r}} _w(w_0) \right\rvert }\delta(u - u_0)\delta(v - v_0)\delta(w - w_0)~, \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _u(u_0) \boldsymbol{\mathbf{r}} _v(v_0) \boldsymbol{\mathbf{r}} _w(w_0)$ 分别是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 在 $u_0,v_0,w_0$ 对 $u, v, w$ 的偏导数。

   例如球坐标系中

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _r = 1 ~,\qquad \boldsymbol{\mathbf{r}} _\theta = r~, \qquad \boldsymbol{\mathbf{r}} _\phi = r\sin\theta~. \end{equation}
\begin{equation} \delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) = \frac{1}{r_0^2 \left\lvert \sin\theta_0 \right\rvert }\delta(r - r_0)\delta(\theta - \theta_0)\delta(\phi - \phi_0) \quad (r_0, \theta_0 \ne 0)~. \end{equation}
但当 $r_0$ 或 $\theta_0$ 为零时怎么办呢?用 $\delta^2$ 来表示! 但如何证明?
未完成:……


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