多元狄拉克 delta 函数
贡献者： addis
预备知识 狄拉克 delta 函数
，正交曲线坐标系
在三维直角坐标系中，
\begin{equation}
\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \delta(x)\delta(y)\delta(z)~.
\end{equation}
这样就有
\begin{equation}
\int \delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V} = 1~.
\end{equation}
1. 其他坐标系
若要把 $\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0)$ 转换到其他正交曲线坐标系中，直接使用
\begin{equation}
\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) = \frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _u(u_0) \boldsymbol{\mathbf{r}} _v(v_0) \boldsymbol{\mathbf{r}} _w(w_0) \right\rvert }\delta(u - u_0)\delta(v - v_0)\delta(w - w_0)~,
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _u(u_0) \boldsymbol{\mathbf{r}} _v(v_0) \boldsymbol{\mathbf{r}} _w(w_0)$ 分别是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 在 $u_0,v_0,w_0$ 对 $u, v, w$ 的偏导数。
例如球坐标系中
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _r = 1 ~,\qquad \boldsymbol{\mathbf{r}} _\theta = r~, \qquad \boldsymbol{\mathbf{r}} _\phi = r\sin\theta~.
\end{equation}
有
\begin{equation}
\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) = \frac{1}{r_0^2 \left\lvert \sin\theta_0 \right\rvert }\delta(r - r_0)\delta(\theta - \theta_0)\delta(\phi - \phi_0)
\quad (r_0, \theta_0 \ne 0)~.
\end{equation}
但当 $r_0$ 或 $\theta_0$ 为零时怎么办呢？用 $\delta^2$ 来表示！ 但如何证明？
未完成：……
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