平面简谐波

             

预备知识 矢量内积,简谐振子

  1通常我们说 “波” 时,它几乎可以是任意形状的,例如一个波包,或者从一点向各个方向传播的球面波.但我们这里讨论一种最简单的波动,即延单一方向传播的简谐波,也叫做简谐平面波(sinusoidal plane wave).在任意时刻,它在传播方向的波形是一个简谐函数,即正弦或余弦平移一个相位,且范围是无穷大.“平面” 这个词的由来是因为三维空间中其等相位面都是平面(见下文),但广义来说平面波所在的空间可以是任意维度的,例如二维薄膜上的类似波动不叫作 “直线波” 而仍叫 “平面波”,一维波动例如弦的波动也同理.当然,在一维情况下直接叫简谐波最合适,因为没有 “等相位线/面” 的概念.

   在任何维度中,简谐平面波都往往被简称为简谐波或者平面波,后者频繁在量子力学中使用.本书的量子力学部分也会大量使用平面波这个简称,无论波动是几维的.广义来说,平面波未必是简谐的,只需要等相位面都是平面即可:例如波长随空间变化,频率随时间变化也仍然是平面波.而简谐波也未必是平面的,球面波也可以在径向也是简谐函数.用词的具体含义读者可以容易地通过上下文判断出来.

1. 一维简谐波

   我们先来看一个一维的简谐波,一个常用的例子是一根无限长的弦,静止的时候弦与 $x$ 轴重合,在任何时刻 $t$,弦的波函数(即形状)可以用 $y(x, t)$ 来描述.若

\begin{equation} y(x, t) = A \cos\left(k x - \omega t + \phi_0\right) \end{equation}
则我们把这个波函数称为一维简谐波,如图 1 所示2

图
图 1:一维简谐波

   我们定义图中的 $A$ 为振幅,定义一个空间周期为波长(wave length),记为 $\lambda$.与波长一一对应的一个量是式 1 中的 $k$,称为波数(wave number).波长与波数的关系可以类比简谐振子 的角频率 $\omega$ 与时间周期 $T$ 的关系,即

\begin{equation} k = \frac{2\pi}{\lambda} \end{equation}

   我们再来看波函数随时间的变化,如果在弦的某个位置做一个标记并观察其运动,则式 1 中 $x$ 可视为常数,我们立即得到一个简谐振动,角频率为 $\omega$,初相位为3 $-kx - \phi_0$.

   我们在观察简谐波的时候,通常会想象它在移动(虽然弦上每个点的 $x$ 坐标并不改变),我们把这种移动的速度叫做波速(wave velocity) $v$.把式 1 稍作整理得

\begin{equation} y(x, t) = A\cos \left[k \left(x - \frac{\omega}{k} t \right) + \phi_0 \right] \end{equation}
由于函数 $f(x - x_0)$ 可以看做 $f(x)$ 向 $x$ 轴正方向平移 $x_0$ 得到的函数,上式也可以看做 $t = 0$ 时刻的波函数向 $x$ 轴正方向平移 $\omega t/k$ 得到的波函数.将平移距离除以 $t$ 就得到了单位时间移动的距离,即波速
\begin{equation} v = \frac{\omega}{k} \end{equation}
如果将 $\omega = 2\pi/T$ 和 $k = 2\pi/\lambda$ 代入上式,得到波速的另一个表达式
\begin{equation} v = \frac{\lambda}{T} \end{equation}
这里的 $T$ 是振动周期.也可以令振动频率 $f = 1/T$,则上式又变为
\begin{equation} v = \lambda f \end{equation}

2. 横波与纵波

   以上我们看到的波函数表示横波,即质点振动的方向与波的传播方向垂直.与横波相对的另一类波叫做纵波,即质点振动方向与波的传播方向相同.纵波的波函数与横波相同,只是函数值的意义由垂直方向的位移改为了平行方向的位移(不妨记为 $\xi$)

\begin{equation} \xi = A \cos\left(k x - \omega t + \phi_0\right) \end{equation}
广义来说,振幅可以是一个任意方向的矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $,它可以既不平行也不垂直于传播方向,此时它可以认为是横波和纵波的叠加.

3. 二维和三维的平面简谐波

   为了方便下文我们直接称多维的平面简谐波为简谐波.

图
图 2:二维平面简谐波

   如图 2 ,我们可以用函数 $z(x,y,t)$ 表示一个二维的简谐波(横波).波长的定义与一维情况相同,在 $k = 2\pi/\lambda$ 的基础上我们还需要一个传播方向,我们定义波矢 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 的方向为波速的方向. 观察图中的波可以发现,沿波矢方向移动 $l$,相位变化为 $kl$,沿垂直波矢方向移动 $l$,相位不改变,沿任意其他方向移动 $l$,相位变化为 $kl\cos\theta$,其中 $\theta$ 是移动方向与 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 方向的夹角.垂直于波矢的任意直线就是二维简谐波的等相位面(线).我们可以用矢量的点乘来表示相位随空间的变化

\begin{equation} \Delta\phi = \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} = k_x \Delta x + k_y \Delta y \end{equation}
于是我们可以写出波函数为
\begin{equation} z = A \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \phi_0\right) \end{equation}
要表示纵波,同样把 $z$ 换位 $\xi$ 即可.

   类似地,三维空间中的简谐波可表示为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{s}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \phi_0\right) \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是三维矢量.注意这里的 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 表示介质静止时某质点的位矢.如果波函数表示横波,矢量振幅 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 必须垂直于波矢 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $,其方向叫做极化方向.如果波函数表示纵波,$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 必须与 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 同向.

   光是横波,光的偏振方向就是指 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的方向,所以光有两个相互垂直的偏振方向.

4. 波函数的复数表示

预备知识 振动的指数形式

   用复数表示波函数,往往可以化简书写和计算.类比式 3 ,我们可以把简谐波表示为指数形式4

\begin{equation} \tilde { \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \boldsymbol{\mathbf{A}} \exp\left[ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \phi_0)\right] \end{equation}
注意只有实部表示质点的位移,虚部无物理意义.

  

未完成:简谐波的叠加?波包分解成简谐波?相速度?群速度?


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面
2. ^ 需要注意的是,图中的横轴是位置 $x$ 而不是时间 $t$,要避免将质点振动的位移—时间图与该图混淆.
3. ^ 由于余弦函数是偶函数,我们不妨将 $\cos$ 的自变量取相反数使 $\omega t$ 的符号为正.
4. ^ 现在我们知道为什么振动的指数形式中 $\omega t$ 要带一个负号了,这样就可以让波动的指数形式中 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 项为正.

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