sinc 函数

贡献者： addis

预备知识　连续函数

　　 $ \operatorname{sinc} $ 函数的定义为

\begin{equation} \operatorname{sinc} x = \left\{\begin{aligned} &\frac{\sin x}{x} &\quad & (x \ne 0)\\ &\quad 1 && (x = 0) \end{aligned}\right. ~.\end{equation}

　　 $ \operatorname{sinc} $ 函数的图像如图 1 ，可以证明，该函数在 $x=0$ 处是连续的，即

\begin{equation} \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = \operatorname{sinc} 0 = 1~. \end{equation}

图 1：sinc 函数（来自维基百科）

积分性质

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sinc} x \,\mathrm{d}{x} = \pi~, \end{equation}

　　证明见例 1 。

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sinc} ^2 x \,\mathrm{d}{x} = \pi~. \end{equation}

　　 $ \operatorname{sinc} $ 函数的原函数称为正弦积分函数，详见 “三角积分”。

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