sinc 函数

             

预备知识 连续函数

   $ \operatorname{sinc} $ 函数的定义为

\begin{equation} \operatorname{sinc} x = \left\{\begin{aligned} &\frac{\sin x}{x} &\quad & (x \ne 0)\\ &\quad 1 && (x = 0) \end{aligned}\right. \end{equation}

   $ \operatorname{sinc} $ 函数的图像如图 1 ,可以证明,该函数在 $x=0$ 处是连续的,即

\begin{equation} \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = \operatorname{sinc} 0 = 1 \end{equation}

图
图 1:sinc 函数(来自维基百科)

积分性质

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sinc} (x) \,\mathrm{d}{x} = \pi \end{equation}
\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sinc} ^2(x) \,\mathrm{d}{x} = \pi \end{equation}

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