高斯分布(正态分布)

             

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预备知识 分布函数

   高斯分布函数为

\begin{equation} f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }} \exp \left[-\frac{(x - \mu )^2}{2\sigma ^2} \right] \end{equation}
其中 $\mu$ 是分布的的平均值,$\sigma$ 是标准差.满足归一化条件
\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,\mathrm{d}{x} = 1 \end{equation}
未完成:图,平均值(不需要算,利用分布函数的对称性即可),方差,给定区间的积分(链接误差函数),例题

1. 推导

   高斯分布(Gaussian Distribution)又叫正态分布(Normal Distribution),具有如下形式

\begin{equation} f(x) = A\exp \left[-\lambda (x - x_0)^2 \right] \end{equation}
可见其主要特征就是指数函数中含有 $\Delta x^2$ 项.由对称性,分布函数是关于 $x =x_0$ 的偶函数,所以平均值显然为 $\mu = x_0$.首先我们补充两个积分,由换元积分法($x=\sqrt{t}$)以及 $\Gamma$ 函数 的性质得
\begin{equation} \int_{-\infty }^{+\infty } \exp\left(-x^2\right) \,\mathrm{d}{x} = \int_0^{+\infty} t^{-1/2} \mathrm{e} ^{ - t} \,\mathrm{d}{t} = \left(-\frac12 \right) ! = \sqrt \pi \end{equation}
\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \exp\left(-x^2\right) \,\mathrm{d}{x} = \int_0^{+\infty} t^{1/2} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} = \frac12 ! = \frac12 \left(-\frac12 \right) ! = \frac{\sqrt\pi}{2} \end{equation}

   根据分布函数的归一化条件,结合式 4

\begin{equation} 1 = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{d}{x} = A\int_{-\infty}^{+\infty} \exp \left[-\lambda (x - x_0)^2 \right] \,\mathrm{d}{x} = A\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \end{equation}
即 $A = \sqrt{\lambda/\pi}$.再来计算高斯分布的方差,结合式 5
\begin{equation} \sigma ^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - x_0)^2 A\exp \left[-\lambda (x - x_0)^2 \right] \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{2\lambda} \end{equation}
式 6 式 7 解得 $\lambda = 1/(2\sigma^2)$ 和 $A = 1/(\sigma\sqrt{2\pi})$,代入式 3 可得高斯分布式 1

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