高斯分布（正态分布）

贡献者： addis

预备知识　分布函数，误差函数

图 1：正态分布图，来自 Wikipedia

　　¹高斯分布也叫正态分布，概率密度函数为

\begin{matrix} (1) & f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \exp [- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}], \end{matrix}

其中

μ

是分布的的平均值，

σ^{2}

是方差，

σ

是标准差。上式也通常记为

x \sim N (μ, σ^{2})

，且满足归一化条件

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1 . \end{matrix}

N (0, 1)

被称为标准正态分布。

　　正态分布中， $x$ 落在区间 $[μ - a, μ + a]$ 内的概率可以用误差函数 $\erf$ 表示：

\begin{matrix} (3) & P {| x - μ | ⩽ a} = \int_{- a}^{a} f (x) d x = \erf (\frac{a}{\sqrt{2} σ}) . \end{matrix}

若已知

P {| x - μ | ⩽ a}

，也可以用反误差函数

\erf^{- 1}

求出

a

。

1. 特殊值

　　高斯分布的半峰全宽（FWHM）为

\begin{matrix} (4) & FWHM = 2 \sqrt{2 \ln 2} σ \approx 2.3548 σ . \end{matrix}

也就是在

| x - μ | = FWHM / 2

处，函数值为峰值的一半。

　　另外当 $| x - μ | = σ$ 处，函数值为峰值的 $\exp (- 1 / 2) \approx 0.6065$ 。

　　其他特殊函数值以及对应的概率如下

表1：高斯分布的特殊值和概率

$x$	$σ$	$2 σ$	$3 σ$	$4 σ$	$5 σ$	$6 σ$	$7 σ$	$8 σ$
$f (x) / f_{max}$	0.6065	0.1353	1.111e-2	3.355e-4	3.727e-6	1.523e-8	2.2897e-11	1.2664e-14
$1 - \int_{- x}^{x} f (t) d t$	0.3173	4.550e-2	2.700e-3	6.334e-5	5.733e-7	1.973e-9	2.56e-12	1.24e-15

2. 推导

　　若已知高斯分布具有如下形式

\begin{matrix} (5) & f (x) = A \exp [- a (x - x_{0})^{2}], \end{matrix}

可见其主要特征就是指数函数中含有

Δ x^{2}

项。由对称性，分布函数关于

x = x_{0}

对称，所以平均值显然为

μ = x_{0}

。

　　现在我们补充两个积分，由换元积分法（ $x = \sqrt{t}$ ）以及 $Γ$ 函数的性质得

\begin{matrix} (6) & \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x = \int_{0}^{+ \infty} t^{- 1 / 2} e^{- t} d t = (- \frac{1}{2})! = \sqrt{π}, \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & \int_{- \infty}^{+ \infty} x^{2} e^{- x^{2}} d x = \int_{0}^{+ \infty} t^{1 / 2} e^{- t} d t = \frac{1}{2}! = \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})! = \frac{\sqrt{π}}{2} . \end{matrix}

　　根据归一化条件式 2 ，结合式 6 得

\begin{matrix} (8) & 1 = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = A \int_{- \infty}^{+ \infty} \exp [- a (x - x_{0})^{2}] d x = A \sqrt{\frac{π}{a}}, \end{matrix}

即

A = \sqrt{a / π}

。再来计算高斯分布的方差，结合式 7 得

\begin{matrix} (9) & σ^{2} = \int_{- \infty}^{+ \infty} (x - x_{0})^{2} A \exp [- a (x - x_{0})^{2}] d x = \frac{1}{2 a} . \end{matrix}

用式 8 和式 9 解得

a = 1 / (2 σ^{2})

和

A = 1 / (\sqrt{2 π} σ)

，代入式 5 可得高斯分布式 1 。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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