高斯分布（正态分布）

贡献者： addis

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预备知识　分布函数，误差函数

图 1：正态分布图，来自 Wikipedia

　　 正态分布，也叫高斯分布，概率密度函数为

\begin{equation} f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }} \exp \left[-\frac{(x - \mu )^2}{2\sigma ^2} \right] ~, \end{equation}

其中 $\mu$ 是分布的的平均值，$\sigma$ 是标准差。上式也通常记为 $x \sim N(\mu,\sigma^2)$。满足归一化条件

\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,\mathrm{d}{x} = 1 \end{equation}

$N(0,1)$ 被称为标准正态分布。

　　正态分布中，$x$ 落在区间 $[\mu-a,\mu+a]$ 内的概率可以用误差函数表示：

\begin{equation} P\{ \left\lvert x-\mu \right\rvert \leqslant a\} = \int_{-a}^a f(x) \,\mathrm{d}{x} = \operatorname{erf} \left(\frac{a}{\sqrt{2}\sigma} \right) ~. \end{equation}

若已知 $P\{ \left\lvert x-\mu \right\rvert \leqslant a\}$，也可以用反误差函数 $ \operatorname{erf} ^{-1}$ 求出 $a$。

未完成：平均值（不需要算，利用分布函数的对称性即可），方差，例题

1. 推导

　　 高斯分布（Gaussian Distribution）又叫正态分布（Normal Distribution），具有如下形式

\begin{equation} f(x) = A\exp \left[-\lambda (x - x_0)^2 \right] ~, \end{equation}

可见其主要特征就是指数函数中含有 $\Delta x^2$ 项。由对称性，分布函数是关于 $x =x_0$ 的偶函数，所以平均值显然为 $\mu = x_0$。首先我们补充两个积分，由换元积分法（$x=\sqrt{t}$）以及 $\Gamma$ 函数的性质得

\begin{equation} \int_{-\infty }^{+\infty } \exp\left(-x^2\right) \,\mathrm{d}{x} = \int_0^{+\infty} t^{-1/2} \mathrm{e} ^{ - t} \,\mathrm{d}{t} = \left(-\frac12 \right) ! = \sqrt \pi ~, \end{equation}

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \exp\left(-x^2\right) \,\mathrm{d}{x} = \int_0^{+\infty} t^{1/2} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} = \frac12 ! = \frac12 \left(-\frac12 \right) ! = \frac{\sqrt\pi}{2}~. \end{equation}

　　根据分布函数的归一化条件，结合式 5 得

\begin{equation} 1 = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{d}{x} = A\int_{-\infty}^{+\infty} \exp \left[-\lambda (x - x_0)^2 \right] \,\mathrm{d}{x} = A\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}~, \end{equation}

即 $A = \sqrt{\lambda/\pi}$。再来计算高斯分布的方差，结合式 6 得

\begin{equation} \sigma ^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - x_0)^2 A\exp \left[-\lambda (x - x_0)^2 \right] \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{2\lambda}~. \end{equation}

用式 7 和式 8 解得 $\lambda = 1/(2\sigma^2)$ 和 $A = 1/(\sigma\sqrt{2\pi})$，代入式 4 可得高斯分布式 1 。

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