三角函数(复数)

                     

贡献者: addis

预备知识 指数函数(复数)

1. 定义

   定义复数域的正弦函数为

(1)sinz=eizeiz2i .
定义复数域的余弦函数为
(2)cosz=eiz+eiz2 .
为什么三角函数要这么定义?因为只有这么定义,才能既 “兼容” 实数范围内的三角函数,同时满足解析的要求,即以后会学习的柯西—黎曼条件

2. 与实数函数的 “兼容性”

   “兼容性” 在这里指若将一个复变函数的自变量取实数,那么结果与使用同名的实数函数相同。例如将式 1 中的复数 z 取实数 x,得

(3)sinx=eixeix2i .
根据复数域指数函数的定义,在这里具体指欧拉公式,得
(4)eix=cosx+isinx ,
(5)eix=cosxisinx ,
代入得
(6)eixeix2i=(cosx+isinx)(cosxisinx)2i=sinx .
同理可证式 2 在实轴上成立。证毕。

3. 两角和公式

   利用欧拉公式,容易证明,复数范围内的正余弦函数同样满足两角和公式

(7)sin(z1+z2)=sinz1cosz2+cosz1sinz2 ,
(8)cos(z1+z2)=cosz1cosz2sinz1sinz2 .

4. 实部和虚部

   利用两角和公式,令 z1 等于实数 xz2 等于虚数 iy,则有

(9)sinz=sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy ,
(10)cosz=cos(x+iy)=cosxcosiysinxsiniy .
其中
(11)cos(iy)=ey+ey2=coshy ,
(12)sin(iy)=eyey2i=ieyey2=isinhy .
代入得
(13)sinz=sin(x+iy)=sinxcoshy+icosxsinhy ,
(14)cosz=cos(x+iy)=cosxcoshyisinxsinhy .
这样,就把正余弦的实部和虚部分开来了(当然也可以根据定义直接得到两式)。


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