三角函数（复数）

贡献者： addis

预备知识　指数函数（复数）

1. 定义

　　定义复数域的正弦函数为

\begin{matrix} (1) & \sin z = \frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i} . \end{matrix}

定义复数域的余弦函数为

\begin{matrix} (2) & \cos z = \frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2} . \end{matrix}

为什么三角函数要这么定义？因为只有这么定义，才能既 “兼容” 实数范围内的三角函数，同时满足解析的要求，即以后会学习的柯西—黎曼条件。

2. 与实数函数的 “兼容性”

　　 “兼容性” 在这里指若将一个复变函数的自变量取实数，那么结果与使用同名的实数函数相同。例如将式 1 中的复数 $z$ 取实数 $x$ ，得

\begin{matrix} (3) & \sin x = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i} . \end{matrix}

根据复数域指数函数的定义，在这里具体指欧拉公式，得

\begin{matrix} (4) & e^{i x} = \cos x + i \sin x, \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & e^{- i x} = \cos x - i \sin x, \end{matrix}

代入得

\begin{matrix} (6) & \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i} = \frac{(\cos x + i \sin x) - (\cos x - i \sin x)}{2 i} = \sin x . \end{matrix}

同理可证式 2 在实轴上成立。证毕。

3. 两角和公式

　　利用欧拉公式，容易证明，复数范围内的正余弦函数同样满足两角和公式

\begin{matrix} (7) & \sin (z_{1} + z_{2}) = \sin z_{1} \cos z_{2} + \cos z_{1} \sin z_{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} (8) & \cos (z_{1} + z_{2}) = \cos z_{1} \cos z_{2} - \sin z_{1} \sin z_{2} . \end{matrix}

4. 实部和虚部

　　利用两角和公式，令 $z_{1}$ 等于实数 $x$ ， $z_{2}$ 等于虚数 $i y$ ，则有

\begin{matrix} (9) & \sin z = \sin (x + i y) = \sin x \cos i y + \cos x \sin i y, \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & \cos z = \cos (x + i y) = \cos x \cos i y - \sin x \sin i y . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (11) & \cos (i y) = \frac{e^{- y} + e^{y}}{2} = \cosh y, \end{matrix}

\begin{matrix} (12) & \sin (i y) = \frac{e^{- y} - e^{y}}{2 i} = i \frac{e^{y} - e^{- y}}{2} = i \sinh y . \end{matrix}

代入得

\begin{matrix} (13) & \sin z = \sin (x + i y) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y, \end{matrix}

\begin{matrix} (14) & \cos z = \cos (x + i y) = \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y . \end{matrix}

这样，就把正余弦的实部和虚部分开来了（当然也可以根据定义直接得到两式）。

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