复数

             

预备知识 几何矢量的运算,三角恒等式,四象限 Arctan 函数

定义 1 复数

   复数(complex number) 是一对满足以下运算的有序实数1.令 $z$ 为复数,$x, y$ 为实数,则可以表示为 $z = (x, y)$.其中 $x,y$ 分别被称为复数 $z$ 的实部(real part)虚部(imaginary part),可以记为 $ \operatorname{Re} [z]$ 和 $ \operatorname{Im} [z]$.特殊地,我们把复数 $(0, 1)$ 称为虚数单位,用 $ \mathrm{i} $ 表示2.最后我们定义虚部为零的复数 $(x, 0)$ 就是实数 $x$ 本身.把所有复数的集合记为 $\mathbb C$,那么全体实数的集合 $\mathbb R$ 就是它的一个真子集,即 $\mathbb R \subset \mathbb C$.

   定义两个复数的加法为实部和虚部分别相加

\begin{equation} (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+ x_2, y_1 + y_2) \end{equation}
定义复数和实数 $s$ 相乘为(满足交换律)
\begin{equation} s(x, y) = (x, y)s = (sx, sy) \end{equation}

   可见任意一个复数可以表示为一个加法和一个乘法:$(x, y) = (x, 0) + y(0, 1)$,即熟悉的

\begin{equation} z = x + \mathrm{i} y \end{equation}

1. 复平面

图
图 1:复平面与复数

   由此可以看到,复数跟二维平面上的几何矢量是十分相似的.如图 1 ,一个复数可以看做复平面上的一个点(或矢量),该矢量在复平面的实轴虚轴方向的分量分别等于其实部和虚部.复数的定义为对应矢量的模,即

\begin{equation} \left\lvert z \right\rvert = \sqrt{ \operatorname{Re} [z]^2 + \operatorname{Im} [z]^2} \end{equation}
另外我们把矢量与实轴的夹角称为幅角,记为 $\arg(z)$.我们可以通过 $ \operatorname{Arctan} $ 函数(式 1 )计算幅角
\begin{equation} \arg(z) = \operatorname{Arctan} ( \operatorname{Im} [z], \operatorname{Re} [z]) \qquad (\arg z \in (-\pi, \pi]) \end{equation}
也可以通过模和幅角来计算实部与虚部
\begin{equation} \operatorname{Re} [z] = \left\lvert z \right\rvert \cos\left(\arg z\right) \qquad \operatorname{Im} [z] = \left\lvert z \right\rvert \sin\left(\arg z\right) \end{equation}
在 “指数函数(复数)” 中我们将看到,任意复数也可以通过欧拉公式表示为以下形式
\begin{equation} z = A(\cos\theta + \mathrm{i} \sin\theta) = A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta} \end{equation}
其中 $A = \left\lvert z \right\rvert $,$\theta = \arg z$.

2. 基本运算

共轭

   一个复数的共轭等于与其实部相同,虚部相反的复数3

\begin{equation} z ^* = \operatorname{Re} [z] - \mathrm{i} \, \operatorname{Im} [z] \end{equation}
所以共轭运算不改变复数的模,但将其幅角变为相反数.在复平面上,这相当于把一个点关于 $x$ 轴取镜像对称.

加和减

   式 1 中已经定义了加法.与实数相同,定义减法为 $z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2)$,有

\begin{equation} (x_1 + \mathrm{i} y_1) \pm (x_2 + \mathrm{i} y_2) = (x_1 \pm x_2) + \mathrm{i} (y_1 \pm y_2) \end{equation}
在复平面上,这相当于把两个复数对应的矢量进行矢量相加减.显然,复数的加法满足交换律分配律结合律

   特殊地,将一个复数与其复共轭加减可得其实部和虚部

\begin{equation} \operatorname{Re} [z] = \frac{z + z ^* }{2} \qquad \operatorname{Im} [z] = \frac{z - z ^* }{2 \mathrm{i} } \end{equation}

乘法

   两个复数相乘定义为(注意式 2 是该定义的一种特殊情况)

\begin{equation} z_1z_2 = (x_1 + \mathrm{i} y_1)(x_2 + \mathrm{i} y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + \mathrm{i} (x_1 y_2 + x_2 y_1) \end{equation}

   可以证明,乘积的模等于两复数模之积,乘积的幅角等于两复数的幅角之和,即

\begin{equation} \left\lvert z_1 z_2 \right\rvert = \left\lvert z_1 \right\rvert \left\lvert z_2 \right\rvert \end{equation}
\begin{equation} \arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) \end{equation}
证明:令 $A_i = \left\lvert z_i \right\rvert $,$\theta_i = \arg z_i$,则
\begin{equation} \begin{aligned} z_1 z_2 &= (A_1 \cos\theta_1 + \mathrm{i} A_1 \sin\theta_1)(A_2 \cos\theta_2 + \mathrm{i} A_2 \sin\theta_2)\\ &= A_1 A_2 (\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2)\\ &\qquad + \mathrm{i} A_1 A_2 (\cos\theta_1\sin\theta_2 + \cos\theta_2\sin\theta_1)\\ &= A_1 A_2 [ \cos\left(\theta_1 + \theta_2\right) + \mathrm{i} \sin\left(\theta_1 + \theta_2\right) ] \end{aligned} \end{equation}
其中最后一步用到了两角和公式(式 3 ).容易看出,最后得到的是一个模为 $A_1 A_2$,幅角为 $\theta_1 + \theta_2$ 的复数.证毕.

   不难证明复数的乘法满足交换律结合律.容易证明,一个复数模的平方可以用它和复共轭的乘积表示.

\begin{equation} x^2 + y^2 = \left\lvert z \right\rvert ^2 = z z ^* \end{equation}

   若把两个复数 $z_1, z_2$ 看作复平面上的两个矢量,由定义容易证明它们的点乘(内积)为(式 8

\begin{equation} \operatorname{Re} [z_1] \operatorname{Re} [z_2] + \operatorname{Im} [z_1] \operatorname{Im} [z_2] = \operatorname{Re} [z_1^* z_2] = \operatorname{Re} [z_1 z_2^*] = \frac{z_1^* z_2 + z_1 z_2^*}{2} \end{equation}
最后一步使用了式 10

除法

   和实数一样,复数的除法定义为乘法的逆运算.令 $z_1 = z z_2$($z_2 \ne 0$),则两个复数相除可以记为

\begin{equation} z = \frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1 + \mathrm{i} y_1}{x_2 + \mathrm{i} y_2} \end{equation}
但我们希望可以将结果的实部与虚部分开,于是我们可以对 $z_1, z_2$ 同时乘以 $z_2 ^* $,即 $z_1 z_2 ^* = z z_2 z_2 ^* $,或
\begin{equation} z = \frac{z_1 z_2 ^* }{z_2 z_2 ^* } = \frac{(x_1 + \mathrm{i} y_1)(x_2 - \mathrm{i} y_2)}{(x_2 + \mathrm{i} y_2)(x_2 - \mathrm{i} y_2)} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2} + \mathrm{i} \frac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2} \end{equation}
这个步骤叫做分母有理化

   与乘法同理,两个复数相除相当于把它们的模相除,幅角相减,即

\begin{equation} \left\lvert z_1/z_2 \right\rvert = \left\lvert z_1 \right\rvert / \left\lvert z_2 \right\rvert \end{equation}
\begin{equation} \arg(z_1/z_2) = \arg(z_1) - \arg(z_2) \end{equation}

定理 1 

   两个复数进行任意次加减乘除后再取共轭,等于它们分别取共轭后再进行运算.

   根据定义易证.例如

\begin{equation} \left[\frac{2 z_1 z_2}{(z_3 + z_4)^2} \right] ^* = \frac{2 z_1^* z_2^*}{(z_3^* + z_4^*)^2} \end{equation}

3. 余弦定理

   根据式 15 式 10 定理 1 易得

\begin{equation} \begin{aligned} \left\lvert z_1 + z_2 \right\rvert ^2 &= \left\lvert z_1 \right\rvert ^2 + \left\lvert z_2 \right\rvert ^2 + z_1^* z_2 + z_2^* z_1\\ &= \left\lvert z_1 \right\rvert ^2 + \left\lvert z_2 \right\rvert ^2 + 2 \operatorname{Re} [z_1^* z_2] \end{aligned} \end{equation}
在复平面中,该式可以表示余弦定理(式 4 ),即计算两矢量之和的模.其中 $ \operatorname{Re} [z_1^* z_2]$ 就是两矢量的点乘.


1. ^ 一些教材常常先定义虚数单位 $ \mathrm{i} = \sqrt{-1}$ 或 $ \mathrm{i} ^2 = -1$,这种定义往往不易理解.我们这里直接将复数定义为服从某种运算规则的实数对,更能揭示复数的本质 [10]
2. ^ 为了与变量 $i$ 区分,本书中虚数单位使用正体的 $ \mathrm{i} $.
3. ^ 一些教材也使用 $\bar z$ 表示 $z$ 的共轭.

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