复数

                     

贡献者: addis

预备知识 1 集合(高中)

定义 1 复数

   复数(complex number) 是一对满足以下运算的有序实数 $(x,y)$。1 令 $z$ 为复数,即 $z = (x, y)$,则 $x$ 称为复数 $z$ 的实部(real part),$y$ 称为虚部(imaginary part),可以记为 $ \operatorname{Re} [z]$ 和 $ \operatorname{Im} [z]$。

   特殊地,我们把复数 $(0, 1)$ 称为虚数单位,用 $ \mathrm{i} $ 表示2

   最后我们把虚部为零的复数 $(x, 0)$ 等同于实数 $x$。把所有复数的集合记为 $\mathbb C$,那么全体实数的集合 $\mathbb R$ 就是 $\mathbb C$ 的一个真子集,即 $\mathbb R \subset \mathbb C$。

定义 2 复数的简单运算

   定义两个复数的加法为实部和虚部分别相加

\begin{equation} (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+ x_2,\ y_1 + y_2)~. \end{equation}
定义复数和实数 $s$ 相乘为(满足交换律)(一般省略乘号)
\begin{equation} s(x, y) = (x, y)s = (sx, sy)~. \end{equation}

   可见任意一个复数可以表示为一个加法和一个乘法:$(x, y) = (x, 0) + y(0, 1)$,即熟悉的

\begin{equation} z = x + \mathrm{i} y~. \end{equation}

1. 复平面

预备知识 2 几何矢量的运算,四象限 Arctan 函数
图
图 1:复平面与复数

   由此可以看到,复数跟二维平面上的几何矢量是十分相似的。如图 1 ,一个复数可以看做复平面上的一个点(或矢量),该矢量在复平面的实轴虚轴方向的分量分别等于其实部和虚部。复数的定义为对应矢量的模,即

\begin{equation} \left\lvert z \right\rvert = \sqrt{ \operatorname{Re} [z]^2 + \operatorname{Im} [z]^2}~. \end{equation}
另外我们把矢量与实轴的夹角称为辐角,记为 $\arg(z)$。我们可以通过 $ \operatorname{Arctan} $ 函数(式 1 )计算辐角
\begin{equation} \arg(z) = \operatorname{Arctan} ( \operatorname{Im} [z], \operatorname{Re} [z]) \qquad (\arg z \in (-\pi, \pi])~, \end{equation}
也可以通过模和辐角来计算实部与虚部
\begin{equation} \operatorname{Re} [z] = \left\lvert z \right\rvert \cos\left(\arg z\right) ~, \qquad \operatorname{Im} [z] = \left\lvert z \right\rvert \sin\left(\arg z\right) ~. \end{equation}
在 “指数函数(复数)” 中我们将看到,任意复数也可以通过欧拉公式表示为以下形式
\begin{equation} z = A(\cos\theta + \mathrm{i} \sin\theta) = A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}~. \end{equation}
其中 $A = \left\lvert z \right\rvert $,$\theta = \arg z$。

2. 基本运算

定义 3 共轭

   一个复数的共轭等于与其实部相同,虚部相反的复数3

\begin{equation} z ^* = \operatorname{Re} [z] - \mathrm{i} \, \operatorname{Im} [z]~. \end{equation}

   所以共轭运算不改变复数的模,但将其辐角变为相反数。在复平面上,这相当于把一个点关于 $x$ 轴取镜像对称。

   式 1 中已经定义了加法,与实数一样,可以用加法来定义减法:

定义 4 复数的减法

\begin{equation} z_1 - z_2 = z_1 + (-1)z_2~. \end{equation}

   写成实部和虚部,就是

\begin{equation} (x_1 + \mathrm{i} y_1) \pm (x_2 + \mathrm{i} y_2) = (x_1 \pm x_2) + \mathrm{i} (y_1 \pm y_2)~. \end{equation}
在复平面上,这相当于把两个复数对应的矢量进行矢量相加减。显然,复数的加法满足交换律分配律结合律

   特殊地,将一个复数与其复共轭加减可得其实部和虚部

\begin{equation} \operatorname{Re} [z] = \frac{z + z ^* }{2} ~,\qquad \operatorname{Im} [z] = \frac{z - z ^* }{2 \mathrm{i} }~. \end{equation}

定义 5 复数的乘法

   两个复数相乘定义为(注意式 2 是该定义的一种特殊情况)

\begin{equation} z_1z_2 = (x_1 + \mathrm{i} y_1)(x_2 + \mathrm{i} y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + \mathrm{i} (x_1 y_2 + x_2 y_1)~. \end{equation}

定理 1 复数乘法的几何意义

   两复数相乘,就是把它们的模相乘,辐角相加

\begin{equation} \left\lvert z_1 z_2 \right\rvert = \left\lvert z_1 \right\rvert \left\lvert z_2 \right\rvert ~, \end{equation}
\begin{equation} \arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)~. \end{equation}

   证明见子节 4

   不难证明复数的乘法满足交换律结合律。容易证明,一个复数模的平方可以用它和复共轭的乘积表示。

\begin{equation} \left\lvert z \right\rvert ^2 = z z ^* ~. \end{equation}

   若把两个复数 $z_1, z_2$ 看作复平面上的两个矢量,由定义容易证明它们的点乘(内积)为(式 2

\begin{equation} \begin{aligned} &\quad \operatorname{Re} [z_1] \operatorname{Re} [z_2] + \operatorname{Im} [z_1] \operatorname{Im} [z_2]\\ &= \left\lvert z_1 \right\rvert \left\lvert z_2 \right\rvert \cos\left(\arg z_2 - \arg z_1\right) \\ &= \operatorname{Re} [z_1^* z_2] = \operatorname{Re} [z_1 z_2^*]\\ &= \frac{z_1^* z_2 + z_1 z_2^*}{2}~, \end{aligned} \end{equation}
最后使用了式 11

   任意个复数相乘再取共轭等于它们分别共轭再相乘

\begin{equation} (z_1z_2\dots z_n)^* = z_1^*z_2^*\dots z_n^*~ \end{equation}
证明:对一个复数取共轭相当于把它的辐角

定义 6 复数的逆

   可以证明每个不为零的复数 $z$,运算中都存在唯一乘法逆元(简称),记为 $z^{-1}$,使得

\begin{equation} zz^{-1} = z^{-1}z = 1 \qquad (z \ne 0)~. \end{equation}
且逆元的计算公式为
\begin{equation} z^{-1} = \frac{z^*}{ \left\lvert z \right\rvert ^2} \qquad (z \ne 0)~. \end{equation}

   证明:把式 19 代入式 18 ,再使用式 15 即可。要证明逆元的唯一性,假设 $z$ 的任意两个逆元分别为 $z_1, z_2$,有 $zz_1 = 1 = zz_2$, 两边左乘 $z^{-1}$,使用结合律得 $z_1 = z_2$。证毕

   现在就可以通过逆,来定义除法:

定义 7 复数的除法

   令 $x_i,y_i$ 分别是 $z_i$($i=1,2$)的实部和虚部,那么复数的除法定义为

\begin{equation} \frac{z_1}{z_2} = z_1z_2^{-1} = \frac{z_1z_2^*}{ \left\lvert z_2 \right\rvert ^2} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2} + \mathrm{i} \frac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2} \qquad (z_2 \ne 0)~. \end{equation}

   根据该定义,$1/z = z^{-1}$,可见逆元就是所谓的倒数。和实数一样,易证 $z_1z_2 = z_3$,$z_1 = z_3/z_2$,$z_2 = z_3/z_1$ 是等价的,所以通俗来说复数除法是复数乘法的逆运算。所以自然地,可以得到:

推论 1 复数除法的几何意义

   两个复数相除就是把它们的模相除,辐角相减,即

\begin{equation} \left\lvert z_1/z_2 \right\rvert = \left\lvert z_1 \right\rvert / \left\lvert z_2 \right\rvert ~, \end{equation}
\begin{equation} \arg(z_1/z_2) = \arg(z_1) - \arg(z_2)~. \end{equation}

定理 2 

   两个复数进行任意次加减乘除后再取共轭,等于它们分别取共轭后再进行运算。

   根据定义易证(留做习题)。例如

\begin{equation} \left[\frac{2 z_1 z_2}{(z_3 + z_4)^2} \right] ^* = \frac{2 z_1^* z_2^*}{(z_3^* + z_4^*)^2}~. \end{equation}

3. 余弦定理

   根据式 15 式 16 定理 2 易得

\begin{equation} \begin{aligned} \left\lvert z_1 + z_2 \right\rvert ^2 &= (z_1 + z_2)(z_1 + z_2)^*\\ &= z_1z_1^* + z_2z_2^* + z_1^* z_2 + z_1 z_2^*\\ &= \left\lvert z_1 \right\rvert ^2 + \left\lvert z_2 \right\rvert ^2 + 2 \operatorname{Re} [z_1^* z_2]\\ &= \left\lvert z_1 \right\rvert ^2 + \left\lvert z_2 \right\rvert ^2 + 2 \left\lvert z_1 \right\rvert \left\lvert z_2 \right\rvert \cos\left(\arg z_2 - \arg z_1\right) ~. \end{aligned} \end{equation}
在复平面中,该式可以表示余弦定理(式 6 ),即计算两矢量之和的模。上式最后的第三项就是两矢量的点乘。

4. 证明

预备知识 3 三角恒等式

   定理 1 的证明:

   令 $A_i = \left\lvert z_i \right\rvert $,$\theta_i = \arg z_i$,则

\begin{equation} \begin{aligned} z_1 z_2 &= (A_1 \cos\theta_1 + \mathrm{i} A_1 \sin\theta_1)(A_2 \cos\theta_2 + \mathrm{i} A_2 \sin\theta_2)\\ &= A_1 A_2 (\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2)\\ &\qquad + \mathrm{i} A_1 A_2 (\cos\theta_1\sin\theta_2 + \cos\theta_2\sin\theta_1)\\ &= A_1 A_2 [ \cos\left(\theta_1 + \theta_2\right) + \mathrm{i} \sin\left(\theta_1 + \theta_2\right) ]~, \end{aligned} \end{equation}
其中最后一步用到了两角和公式(式 4 )。容易看出,最后得到的是一个模为 $A_1 A_2$,辐角为 $\theta_1 + \theta_2$ 的复数。

   证毕


1. ^ 一些教材先定义虚数单位 $ \mathrm{i} = \sqrt{-1}$ 或 $ \mathrm{i} ^2 = -1$,这种定义往往不易理解。我们这里直接将复数定义为服从某种运算规则的实数对 $(x,y)$,然后定义 $ \mathrm{i} $ 不过为了方便表示 $(0,1)$ 的一个简写,更能揭示复数的代数结构 [1]
2. ^ 为了与变量 $i$ 区分,小时百科中虚数单位使用正体的 $ \mathrm{i} $。
3. ^ 一些教材也使用 $\bar z$ 表示 $z$ 的共轭。


[1] ^ Walter Rudin. Principle of Mathematical Analysis

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