正弦定理、余弦定理

                     

贡献者: 零穹; addis; ACertainUser

图
图 1:三角形示例

  1在本文中,我们以大写字母 $A, B, C$ 表示角,小写字母 $a, b, c$ 表示角的对边。

   正弦定理表明了三角形三边与对应角的关系:

\begin{equation} \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ~, \end{equation}

   余弦定理(law of cosines)是指:三角形(图 1 )任何一条边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

\begin{equation} c^2=a^2 + b^2 - 2ab\cos C~, \end{equation}

   在直角三角形中,即 $C=90^\circ = \pi / 2$ 时,余弦定理的形式化简为勾股定理

\begin{equation} c^2 = a^2 + b^2~. \end{equation}

1. 推导

图
图 2:余弦定理的证明

   我们在直角坐标系中来推导,如图 2 ,以 $C$ 点为原点,$B$ 点在 $x$ 轴正方向上,则各点坐标为:

\begin{equation} C(0,0),\quad B(a,0),\quad A(b\cos C,b\sin C)~. \end{equation}

   正弦定理:$A$ 的 $y$ 坐标可写为 $y_A = b \sin C$,也可写为 $y_A = c \sin B$。因此 $b \sin C = c \sin B$,即 $b/ \sin B = c / \sin C$。

   余弦定理:由两点之间的距离公式,有

\begin{equation} c^2=\overline{AB}^2=(b\cos C-a)^2+(b\sin C-0)^2=a^2+b^2-2ab\cos C~. \end{equation}

2. 推导 2

预备知识 几何矢量的内积

   余弦定理的这种推导不依赖坐标。利用几何矢量点乘的分配律,以及点乘的几何定义 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{b}} = ab\cos\theta$:

\begin{equation} \begin{aligned} ( \boldsymbol{\mathbf{a}} \pm \boldsymbol{\mathbf{b}} )^2 &= \boldsymbol{\mathbf{a}} ^2 + \boldsymbol{\mathbf{b}} ^2 \pm 2 \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{b}} \\ &= a^2 + b^2 \pm 2ab \cos\theta~. \end{aligned} \end{equation}


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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