四象限 Arctan 函数(atan2)

             

预备知识 反正切函数

   我们经常会遇到这样一个问题:已知平面直角坐标系上一点 $P$,坐标为 $(x, y)$,求射线 $OP$ 与 $x$ 轴正方向的夹角 $\theta$.首先我们要给这个夹角取一个范围,一般来说既可以取 $[0, 2\pi)$ 也可以取 $(-\pi, \pi]$,但如无特殊说明,我们统一使用后者.

   一些教材中直接用 $\theta = \arctan\left(y/x\right) $,$\theta \in (-\pi/2, \pi/2)$ 来表示这一关系,这是不严谨的,因为只能表示半个圆周.我们下面来定义一个符合要求的新函数,记为 $ \operatorname{Arctan} (y, x)$.在许多计算机编程语言中 $\arctan$ 被记为 atan,$ \operatorname{Arctan} $ 被记为 atan2.也有一些文献使用 $ \operatorname {Tan}^{-1}$.其中定义为 $x, y \in \mathbb R$,即任意实数,值域为 $(-\pi, \pi]$.

\begin{equation} \operatorname{Arctan} (y,x) \equiv \begin{cases} \arctan\left(y/x\right) \quad &(x > 0)\\ \arctan\left(y/x\right) + \pi &(x < 0,\,y \geqslant 0)\\ \arctan\left(y/x\right) - \pi &(x < 0,\,y < 0)\\ \pi /2 &(x = 0, \,y > 0)\\ -\pi /2 &(x = 0, \,y < 0)\\ 0 & (x=0,\,y=0) \end{cases} \end{equation}
本书统一使用该定义,但也有一些其他文献将其定义为上式加 $\pi$,使值域为 $(0, 2\pi]$,或者认为 $x = 0, y = 0$ 无定义(不属于定义域).

1. 偏导数

预备知识 偏导数

   函数在除了在原点和 $x$ 轴的负半轴,在其它定义域都是连续且光滑的,即存在连续的无穷阶偏导.一阶偏导为

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial{x}} \operatorname{Arctan} (y, x) = \frac{-y}{x^2 + y^2} \qquad \frac{\partial}{\partial{y}} \operatorname{Arctan} (y, x) = \frac{-x}{x^2 + y^2} \end{equation}

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