贡献者： addis
1我们来把指数函数从实数自变量拓展到复数自变量的情况。后者有多种等效的定义方式，我们首先来看一个较简单的定义
定义 1 复指数函数
令 $z = x + \mathrm{i} y$ 为任意复数，那么复数域中的指数函数的一种定义就是
\begin{equation}
w = \mathrm{e} ^z = \mathrm{e} ^{x + \mathrm{i} y} = \mathrm{e} ^x(\cos y + \mathrm{i} \sin y)~,
\end{equation}
图 1：复数域中的指数函数
在复平面上表示这个函数，则指数的实部 $x$ 控制函数值 $w$ 的模长，虚部 $y$ 控制 $w$ 的辐角，如图 1
\begin{equation}
\left\lvert w \right\rvert = \mathrm{e} ^x \qquad \arg(w) = y~,
\end{equation}
当指数为纯虚数（令 $x = 0$，$y = \mathrm{i} \theta$，$\theta$ 为实数）时，
式 1 变为著名的
欧拉公式（Euler's formula）
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta} = \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta~,
\end{equation}
虽然这里的 $\theta$ 是实数（最常见的情况），但根据复数域三角函数的定义
，对于任何复数 $z$，同样满足欧拉公式
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{ \mathrm{i} z} = \cos z + \mathrm{i} \sin z~.
\end{equation}
将 “
三角函数（复数）” 中的
式 1 和
式 2 代入即可证明。
根据式 1 的定义结合两角和公式（式 4 ），容易证明（留做习题）$ \mathrm{e} ^z$ 同样满足恒等式
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{z_1 + z_2} = \mathrm{e} ^{z_1} \mathrm{e} ^{z_2}~.
\end{equation}
1. 和实函数的 “兼容性”
根据定义容易看到，在实数轴 $x$ 上，式 1 中 $y = 0$，复指数函数就还原成熟悉的实数指数函数了。所以二者使用同一个符号不会带来歧义，复指数函数是实指数函数在复平面上的拓展。
但乍看之下，拓展有许多方式，为什么一定是式 1 呢？因为在复变函数中，我们一般研究的是解析函数。若要求 $ \mathrm{e} ^x$ 拓展到复数域后是解析函数式 1 是唯一的定义。详见 “柯西—黎曼条件”。
2. 导数
虽然我们只学了实函数的导数，还没有系统地学习复变函数求导，但我们可以根据式 3 求出一个常见的导数公式。令 $a, x$ 为实数，$a$ 为常数，
\begin{equation} \begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ax} &= -a \sin\left(ax\right) + \mathrm{i} a \cos\left(ax\right) \\
&= \mathrm{i} a[ \cos\left(ax\right) + \mathrm{i} \sin\left(ax\right) ]\\
&= \mathrm{i} a \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ax}~,
\end{aligned} \end{equation}
进一步拓展，令复常数 $c = a + \mathrm{i} b$ 得
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \mathrm{e} ^{c x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left( \mathrm{e} ^{ax} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} bx} \right) = (a + \mathrm{i} b) \mathrm{e} ^{(a+ \mathrm{i} b)x} = c \mathrm{e} ^{cx}~.
\end{equation}
可见 $ \mathrm{e} ^z$ 的求导与实数域的 $ \mathrm{e} ^x$ 类似（
式 10 ）。
这只是对实数 $x$ 求导的特殊情况，一般来说，复变函数是可以对复数求导的，详见 “复变函数的导数、柯西—黎曼条件”。
3. 欧拉公式的导出
欧拉公式最初是将泰勒级数进行推广得到的。
首先，我们有如下三个展开：
\begin{equation}
\sin x = x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 - \frac{1}{7!} x^7 \ldots
\qquad (x \in \mathbb R)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!} x^4 -\frac{1}{6!} x^6 \ldots
\qquad (x \in \mathbb R)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\mathrm{e} ^x =1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 \ldots
\qquad (x \in \mathbb R)~.
\end{equation}
由于我们已经知道复数的加减乘除运算，欧拉便尝试直接把虚数 $ \mathrm{i} $ 插入式 11 中，得到
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} =1 + \mathrm{i} x - \frac{1}{2!} x^2 - \frac{1}{3!} \mathrm{i} x^3 \ldots
\qquad (x \in \mathbb R)~.
\end{equation}
把式 11 中的实部和虚部分开，再和式 8 、式 9 对比，即得欧拉公式式 1 。
4. 复指数函数的级数定义
同理，用级数法也可以直接推导出式 1 。事实上，这种方法叫做 “解析拓延”，就是在保证函数解析的前提下给函数扩大定义域，例如从实轴拓展到复平面。
使用复数的加法和乘法，可以用级数来定义复指数函数
定义 2 复指数函数
令复指数函数为
\begin{equation}
\mathrm{e} ^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}~.
\end{equation}
未完成：证明等效
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
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