指数函数(复数)

                     

贡献者: addis

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预备知识 指数函数,复数,基本初等函数的导数

  1我们来把指数函数从实数自变量拓展到复数自变量的情况。后者有多种等效的定义方式,我们首先来看一个较简单的定义

定义 1 复指数函数

   令 z=x+iy 为任意复数,那么复数域中的指数函数的一种定义就是

(1)w=ez=ex+iy=ex(cosy+isiny) ,

图
图 1:复数域中的指数函数

   在复平面上表示这个函数,则指数的实部 x 控制函数值 w 的模长,虚部 y 控制 w 的辐角,如图 1

(2)|w|=exarg(w)=y ,
当指数为纯虚数(令 x=0y=iθθ 为实数)时,式 1 变为著名的欧拉公式(Euler's formula)
(3)eiθ=cosθ+isinθ ,
虽然这里的 θ 是实数(最常见的情况),但根据复数域三角函数的定义,对于任何复数 z,同样满足欧拉公式
(4)eiz=cosz+isinz .
将 “三角函数(复数)” 中的式 1 式 2 代入即可证明。

   根据式 1 的定义结合两角和公式(式 4 ),容易证明(留做习题)ez 同样满足恒等式

(5)ez1+z2=ez1ez2 .

1. 和实函数的 “兼容性”

   根据定义容易看到,在实数轴 x 上,式 1 y=0,复指数函数就还原成熟悉的实数指数函数了。所以二者使用同一个符号不会带来歧义,复指数函数是实指数函数在复平面上的拓展。

   但乍看之下,拓展有许多方式,为什么一定是式 1 呢?因为在复变函数中,我们一般研究的是解析函数。若要求 ex 拓展到复数域后是解析函数式 1 是唯一的定义。详见 “柯西—黎曼条件”。

2. 导数

   虽然我们只学了实函数的导数,还没有系统地学习复变函数求导,但我们可以根据式 3 求出一个常见的导数公式。令 a,x 为实数,a 为常数,

(6)ddxeiax=asin(ax)+iacos(ax)=ia[cos(ax)+isin(ax)]=iaeiax ,
进一步拓展,令复常数 c=a+ib
(7)ddxecx=ddx(eaxeibx)=(a+ib)e(a+ib)x=cecx .
可见 ez 的求导与实数域的 ex 类似(式 10 )。

   这只是对实数 x 求导的特殊情况,一般来说,复变函数是可以对复数求导的,详见 “复变函数的导数、柯西—黎曼条件”。

3. 欧拉公式的导出

   欧拉公式最初是将泰勒级数进行推广得到的。

   首先,我们有如下三个展开:

(8)sinx=x13!x3+15!x517!x7(xR) ,
(9)cosx=112!x2+14!x416!x6(xR) ,
(10)ex=1+x+12!x2+13!x3(xR) .

   由于我们已经知道复数的加减乘除运算,欧拉便尝试直接把虚数 i 插入式 11 中,得到

(11)eix=1+ix12!x213!ix3(xR) .

   把式 11 中的实部和虚部分开,再和式 8 式 9 对比,即得欧拉公式式 1

4. 复指数函数的级数定义

   同理,用级数法也可以直接推导出式 1 。事实上,这种方法叫做 “解析拓延”,就是在保证函数解析的前提下给函数扩大定义域,例如从实轴拓展到复平面。

   使用复数的加法和乘法,可以用级数来定义复指数函数

定义 2 复指数函数

   令复指数函数为

(12)ez=n=0znn! .

  

未完成:证明等效


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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