指数函数(复数)
贡献者: addis
1我们来把指数函数从实数自变量拓展到复数自变量的情况。后者有多种等效的定义方式,我们首先来看一个较简单的定义
定义 1 复指数函数
令 为任意复数,那么复数域中的指数函数的一种定义就是
图 1:复数域中的指数函数
在复平面上表示这个函数,则指数的实部 控制函数值 的模长,虚部 控制 的辐角,如图 1
当指数为纯虚数(令 ,, 为实数)时,
式 1 变为著名的
欧拉公式(Euler's formula)
虽然这里的 是实数(最常见的情况),但根据复数域三角函数的定义
,对于任何复数 ,同样满足欧拉公式
将 “
三角函数(复数)” 中的
式 1 和
式 2 代入即可证明。
根据式 1 的定义结合两角和公式(式 4 ),容易证明(留做习题) 同样满足恒等式
1. 和实函数的 “兼容性”
根据定义容易看到,在实数轴 上,式 1 中 ,复指数函数就还原成熟悉的实数指数函数了。所以二者使用同一个符号不会带来歧义,复指数函数是实指数函数在复平面上的拓展。
但乍看之下,拓展有许多方式,为什么一定是式 1 呢?因为在复变函数中,我们一般研究的是解析函数。若要求 拓展到复数域后是解析函数式 1 是唯一的定义。详见 “柯西—黎曼条件”。
2. 导数
虽然我们只学了实函数的导数,还没有系统地学习复变函数求导,但我们可以根据式 3 求出一个常见的导数公式。令 为实数, 为常数,
进一步拓展,令复常数 得
可见 的求导与实数域的 类似(
式 10 )。
这只是对实数 求导的特殊情况,一般来说,复变函数是可以对复数求导的,详见 “复变函数的导数、柯西—黎曼条件”。
3. 欧拉公式的导出
欧拉公式最初是将泰勒级数进行推广得到的。
首先,我们有如下三个展开:
由于我们已经知道复数的加减乘除运算,欧拉便尝试直接把虚数 插入式 11 中,得到
把式 11 中的实部和虚部分开,再和式 8 、式 9 对比,即得欧拉公式式 1 。
4. 复指数函数的级数定义
同理,用级数法也可以直接推导出式 1 。事实上,这种方法叫做 “解析拓延”,就是在保证函数解析的前提下给函数扩大定义域,例如从实轴拓展到复平面。
使用复数的加法和乘法,可以用级数来定义复指数函数
未完成:证明等效
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
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