指数函数(复数)

                     

贡献者: addis

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预备知识 指数函数,复数,基本初等函数的导数

  1我们来把指数函数从实数自变量拓展到复数自变量的情况.后者有多种等效的定义方式,我们首先来看一个较简单的定义

定义 1 复指数函数

   令 $z = x + \mathrm{i} y$ 为任意复数,那么复数域中的指数函数的一种定义就是

\begin{equation} w = \mathrm{e} ^z = \mathrm{e} ^{x + \mathrm{i} y} = \mathrm{e} ^x(\cos y + \mathrm{i} \sin y) \end{equation}

图
图 1:复数域中的指数函数

   在复平面上表示这个函数,则指数的实部 $x$ 控制函数值 $w$ 的模长,虚部 $y$ 控制 $w$ 的幅角,如图 1

\begin{equation} \left\lvert w \right\rvert = \mathrm{e} ^x \qquad \arg(w) = y \end{equation}
当指数为纯虚数(令 $x = 0$,$y = \mathrm{i} \theta$,$\theta$ 为实数)时,式 1 变为著名的欧拉公式(Euler's formula)
\begin{equation} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta} = \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta \end{equation}
虽然这里的 $\theta$ 是实数(最常见的情况),但根据复数域三角函数的定义,对于任何复数 $z$,同样满足欧拉公式
\begin{equation} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} z} = \cos z + \mathrm{i} \sin z \end{equation}
将 “三角函数(复数)” 中的式 1 式 2 代入即可证明.

   根据式 1 的定义结合两角和公式(式 4 ),容易证明(留做习题)$ \mathrm{e} ^z$ 同样满足恒等式

\begin{equation} \mathrm{e} ^{z_1 + z_2} = \mathrm{e} ^{z_1} \mathrm{e} ^{z_2} \end{equation}

1. 和实函数的 “兼容性”

   根据定义容易看到,在实数轴 $x$ 上,式 1 中 $y = 0$,复指数函数就还原成熟悉的实数指数函数了.所以二者使用同一个符号不会带来歧义,复指数函数是实指数函数在复平面上的拓展.

   但乍看之下,拓展有许多方式,为什么一定是式 1 呢?因为在复变函数中,我们一般研究的是解析函数.若要求 $ \mathrm{e} ^x$ 拓展到复数域后是解析函数式 1 是唯一的定义.详见 “柯西—黎曼条件”.

2. 导数

   虽然我们只学了实函数的导数,还没有系统地学习复变函数求导,但我们可以根据式 3 求出一个常见的导数公式.令 $a, x$ 为实数,$a$ 为常数,

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ax} &= -a \sin\left(ax\right) + \mathrm{i} a \cos\left(ax\right) \\ &= \mathrm{i} a[ \cos\left(ax\right) + \mathrm{i} \sin\left(ax\right) ]\\ &= \mathrm{i} a \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ax} \end{aligned} \end{equation}
进一步拓展,令复常数 $c = a + \mathrm{i} b$ 得
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \mathrm{e} ^{c x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left( \mathrm{e} ^{ax} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} bx} \right) = (a + \mathrm{i} b) \mathrm{e} ^{(a+ \mathrm{i} b)x} = c \mathrm{e} ^{cx} \end{equation}
可见 $ \mathrm{e} ^z$ 的求导与实数域的 $ \mathrm{e} ^x$ 类似(式 10 ).

   这只是对实数 $x$ 求导的特殊情况,一般来说,复变函数是可以对复数求导的,详见 “复变函数的导数、柯西—黎曼条件”.

3. 欧拉公式的导出

预备知识 泰勒级数(简明微积分)

   欧拉公式最初是将泰勒级数进行推广得到的.

   首先,我们有如下三个展开:

\begin{equation} \sin x = x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 - \frac{1}{7!} x^7 \ldots \qquad (x \in \mathbb R) \end{equation}
\begin{equation} \cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!} x^4 -\frac{1}{6!} x^6 \ldots \qquad (x \in \mathbb R) \end{equation}
\begin{equation} \mathrm{e} ^x =1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 \ldots \qquad (x \in \mathbb R) \end{equation}

   由于我们已经知道复数的加减乘除运算,欧拉便尝试直接把虚数 $ \mathrm{i} $ 插入式 11 中,得到

\begin{equation} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} =1 + \mathrm{i} x - \frac{1}{2!} x^2 - \frac{1}{3!} \mathrm{i} x^3 \ldots \qquad (x \in \mathbb R) \end{equation}

   把式 11 中的实部和虚部分开,再和式 8 式 9 对比,即得欧拉公式式 1

4. 复指数函数的级数定义

   同理,用级数法也可以直接推导出式 1 .事实上,这种方法叫做 “解析拓延”,就是在保证函数解析的前提下给函数扩大定义域,例如从实轴拓展到复平面.

   使用复数的加法和乘法,可以用级数来定义复指数函数

定义 2 复指数函数

   令复指数函数为

\begin{equation} \mathrm{e} ^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \end{equation}

  

未完成:证明等效


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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