指数函数(复数)

                     

贡献者: addis

  • 本文存在未完成的内容。
预备知识 指数函数,复数,基本初等函数的导数

  1我们来把指数函数从实数自变量拓展到复数自变量的情况。后者有多种等效的定义方式,我们首先来看一个较简单的定义

定义 1 复指数函数

   令 $z = x + \mathrm{i} y$ 为任意复数,那么复数域中的指数函数的一种定义就是

\begin{equation} w = \mathrm{e} ^z = \mathrm{e} ^{x + \mathrm{i} y} = \mathrm{e} ^x(\cos y + \mathrm{i} \sin y)~, \end{equation}

图
图 1:复数域中的指数函数

   在复平面上表示这个函数,则指数的实部 $x$ 控制函数值 $w$ 的模长,虚部 $y$ 控制 $w$ 的辐角,如图 1

\begin{equation} \left\lvert w \right\rvert = \mathrm{e} ^x \qquad \arg(w) = y~, \end{equation}
当指数为纯虚数(令 $x = 0$,$y = \mathrm{i} \theta$,$\theta$ 为实数)时,式 1 变为著名的欧拉公式(Euler's formula)
\begin{equation} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta} = \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta~, \end{equation}
虽然这里的 $\theta$ 是实数(最常见的情况),但根据复数域三角函数的定义,对于任何复数 $z$,同样满足欧拉公式
\begin{equation} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} z} = \cos z + \mathrm{i} \sin z~. \end{equation}
将 “三角函数(复数)” 中的式 1 式 2 代入即可证明。

   根据式 1 的定义结合两角和公式(式 4 ),容易证明(留做习题)$ \mathrm{e} ^z$ 同样满足恒等式

\begin{equation} \mathrm{e} ^{z_1 + z_2} = \mathrm{e} ^{z_1} \mathrm{e} ^{z_2}~. \end{equation}

1. 和实函数的 “兼容性”

   根据定义容易看到,在实数轴 $x$ 上,式 1 中 $y = 0$,复指数函数就还原成熟悉的实数指数函数了。所以二者使用同一个符号不会带来歧义,复指数函数是实指数函数在复平面上的拓展。

   但乍看之下,拓展有许多方式,为什么一定是式 1 呢?因为在复变函数中,我们一般研究的是解析函数。若要求 $ \mathrm{e} ^x$ 拓展到复数域后是解析函数式 1 是唯一的定义。详见 “柯西—黎曼条件”。

2. 导数

   虽然我们只学了实函数的导数,还没有系统地学习复变函数求导,但我们可以根据式 3 求出一个常见的导数公式。令 $a, x$ 为实数,$a$ 为常数,

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ax} &= -a \sin\left(ax\right) + \mathrm{i} a \cos\left(ax\right) \\ &= \mathrm{i} a[ \cos\left(ax\right) + \mathrm{i} \sin\left(ax\right) ]\\ &= \mathrm{i} a \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ax}~, \end{aligned} \end{equation}
进一步拓展,令复常数 $c = a + \mathrm{i} b$ 得
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \mathrm{e} ^{c x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left( \mathrm{e} ^{ax} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} bx} \right) = (a + \mathrm{i} b) \mathrm{e} ^{(a+ \mathrm{i} b)x} = c \mathrm{e} ^{cx}~. \end{equation}
可见 $ \mathrm{e} ^z$ 的求导与实数域的 $ \mathrm{e} ^x$ 类似(式 10 )。

   这只是对实数 $x$ 求导的特殊情况,一般来说,复变函数是可以对复数求导的,详见 “复变函数的导数、柯西—黎曼条件”。

3. 欧拉公式的导出

   欧拉公式最初是将泰勒级数进行推广得到的。

   首先,我们有如下三个展开:

\begin{equation} \sin x = x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 - \frac{1}{7!} x^7 \ldots \qquad (x \in \mathbb R)~, \end{equation}
\begin{equation} \cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!} x^4 -\frac{1}{6!} x^6 \ldots \qquad (x \in \mathbb R)~, \end{equation}
\begin{equation} \mathrm{e} ^x =1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 \ldots \qquad (x \in \mathbb R)~. \end{equation}

   由于我们已经知道复数的加减乘除运算,欧拉便尝试直接把虚数 $ \mathrm{i} $ 插入式 11 中,得到

\begin{equation} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} =1 + \mathrm{i} x - \frac{1}{2!} x^2 - \frac{1}{3!} \mathrm{i} x^3 \ldots \qquad (x \in \mathbb R)~. \end{equation}

   把式 11 中的实部和虚部分开,再和式 8 式 9 对比,即得欧拉公式式 1

4. 复指数函数的级数定义

   同理,用级数法也可以直接推导出式 1 。事实上,这种方法叫做 “解析拓延”,就是在保证函数解析的前提下给函数扩大定义域,例如从实轴拓展到复平面。

   使用复数的加法和乘法,可以用级数来定义复指数函数

定义 2 复指数函数

   令复指数函数为

\begin{equation} \mathrm{e} ^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}~. \end{equation}

  

未完成:证明等效


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利