集合(高中)

             

1. 概述

   集合语言是现代数学的基本语言,这种语言可以简洁、准确的表达数学内容.在高中数学中,集合的内容相对简单,但集合是高中数学的基础,请重视集合的学习.

2. 定义

   一般地,指定的某些对象的全体称为集合(set).集合常用大写字母 $A,B,C,D,\cdots$ 标记.集合中的每个对象叫作这个集合的元素(element).常用小写字母 $a,b,c,d,\cdots$ 表示集合中的元素.

   若 $a$ 在集合 $A$ 中,就说 $a$ 属于(belong to)集合 $A$,记作 $a \in A$.若 $a$ 不在集合 $A$ 中,就说 $a$ 不属于集合 $A$,记作 $a\notin A$.

   数的集合简称数集(number set)
自然数组成的集合简称自然数集,记作 $N$;
正整数组成的集合简称正整数集,记作 $N^{*}$ 或 $N^{+}$;
整数组成的集合简称整数集,记作 $Z$;
有理数组成的集合简称有理数集,记作 $Q$;
实数组成的集合简称实数集,记作 $R$.

   一般地,我们把含有有限个元素的集合叫有限集,含有无限个元素的集合叫无限集

   我们将不含有任何元素的集合叫作空集(empty set),记作 $\varnothing$.

3. 表示

   列举法是把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法. 符号表示为 $\begin{Bmatrix} ,\cdots, \end{Bmatrix}$,如 $\begin{Bmatrix} x_1,x_2, \cdots ,x_n \end{Bmatrix}$.

   用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法叫描述法,符号表示为 $\begin{Bmatrix} | \end{Bmatrix}$,如 $\begin{Bmatrix} x\in A|p(x) \end{Bmatrix}$.

4. 性质

  1. 集合中的元素是互异的.
  2. 集合中的元素是无序的.

5. 集合的基本关系

   一般地,对于两个集合 $A$ 与 $B$,如果集合 $A$ 中的任何一个元素都是集合 $B$ 中的元素,即若 $a\in A$,则 $a\in B$,我们就说集合 $A$ 包含于集合 $B$,记作

\begin{equation} A \subseteq B \end{equation}
也可以记作
\begin{equation} B \supseteq A \end{equation}
这时我们说集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集(subset)

   显然,任何一个集合都是它本身的子集,即

\begin{equation} A \subseteq A \end{equation}

   对于两个集合 $A$ 与 $B$,如果集合 $A$ 中日和元素都是集合 $B$ 中的元素,同时集合 $B$ 中的任何一个元素都是集合 $A$ 中的元素,这时,我们就说集合 $A$ 与 集合 $B$ 相等(equality),记作

\begin{equation} A=B \end{equation}

   对于两个集合,$A$ 与 $B$,如果 $A\subseteq B$,并且 $A \ne B$,我们就说集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集,记作

\begin{equation} A \subset B \end{equation}
也可记作
\begin{equation} B \supset A \end{equation}
注:这个符号在高中课本中写作 “⫋”

   当集合 $A$ 不包含于集合 $B$ 或集合 $B$ 不包含集合 $A$ 时,记作

\begin{equation} A \nsubseteq B \end{equation}
也可记作
\begin{equation} b \nsupseteq A \end{equation}

   我们规定:空集是任何集合的子集.也就是说,对于任何一个集合 $A$ 都有

\begin{equation} \varnothing \subseteq A \end{equation}

6. 集合的基本运算

   一般地,由既属于集合 $A$ 又属于集合 $B$ 的所有元素组成的集合叫做 $A$ 与 $B$ 的交集(intersection set),记作 $A \cap B$(读作 “A 交 B”),即

\begin{equation} A\cap B = \begin{Bmatrix} x|x\in A \wedge x\in B \end{Bmatrix} \end{equation}

   由属于集合 $A$ 或属于集合 $B$ 的所有元素组成的集合,叫作 $A$ 与 $B$ 的并集(union set),记作 $A\cup B$(读作 “A 并 B”),即

\begin{equation} A\cup B = \begin{Bmatrix}x|x\in A \vee x\in B\end{Bmatrix} \end{equation}

   根据交集定义,可得

\begin{equation} \begin{aligned} &A\cap B = B\cap A \\ &A\cap B \subseteq A \\ &A\cap B \subseteq B \\ &A\cap A = A \\ &A\cap \varnothing = \varnothing \end{aligned} \end{equation}

   根据并集的定义,可得

\begin{equation} \begin{aligned} &A\cup B = B\cup A \\ &A\subseteq A\cup B \\ &A\cup A = A \\ &A\cup \varnothing = A \end{aligned} \end{equation}

   在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫做全集(universal set),常用符号 $U$ 表示.全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素.

   设 $U$ 是全集,$A$ 是 $U$ 的一个子集(即 $A\subseteq U$),则由 $U$ 中所有不属于 $A$ 的元素组成的集合,叫作 $U$ 中子集 $A$ 的补集(complementary set)(或余集),记作 $\complement_UA$,即

\begin{equation} \complement_UA = \begin{Bmatrix}x|x\in U \wedge \notin A\end{Bmatrix} \end{equation}

   由补集定义可得,

\begin{equation} \begin{aligned} &A\cup (\complement_UA) = U \\ &A\cap (\complement_UA) = \varnothing \end{aligned} \end{equation}

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