集合（高中）

贡献者： 欄、停敘; JierPeter; jingyuan; addis

　　 学习初中数学时，你很有可能感受到了，每个部分都有它自己的一套体系和语言（比如，几何证明时的 “平行”$\mathbin{\!/\mkern-5mu/\!}$ 就不会出现在解方程的过程中，而解方程时的 “未知数”$x$ 也不会成为几何证明的要素），每个部分原本就这样各自发展着，从未想过彼此之间有什么可以联系起来的可能。但经过一代代数学家们的不断努力，现代数学展现在了世人面前，它最重要的一个特点就是将整座数学大厦建立在了集合论的基础之上，从此各部分不再是孤立的。同时，集合也能够简洁而准确地表达其他数学内容。这使得，集合语言不但成为了所有数学分支的通用语，也使得不论母语是什么的研究者都可以用相同的语言来展现和理解某个数学思想。可以这么说，不能掌握集合，数学之路就寸步难行。

　　 因此，高中数学理所当然地以 “集合” 作为一切后面学习的开始，同时，高中阶段也并不要求对集合进行过深的探索。下文会首先介绍集合和元素这两个概念、表示方法以及性质，然后再分别介绍集合与元素的关系以及集合之间的关系。

　　 提醒一下：

• 这篇文章会涵盖不少与集合相关的新概念（当然也包括集合本身），它和你以往的数学经验不太会有直接的关系，但请不要被这些概念的数量吓倒，它只是名字比较新，事实上却与生活经验联系密切，每个完成高中阶段学习的同学都会认为 “集合” 是最简单的。
• 请务必理解这部分的内容，哪怕暂时不熟悉这些新概念的名称，也一定要理解他们的意思。两个很有帮助的理解方向是：为什么需要这个概念？它和其他概念之间的有哪些差异？在文中也会尽可能指明它们来帮助理解。如果学有余力，借助这个机会可以感受一下高中数学思考方式的不同，它是会延伸到高等教育中数学乃至其他学科中。由于这些概念很常用，在使用时再逐步熟悉名称就可以，不必因为名称太多记不住而紧张。

1. 集合与元素

　　 数学上，这个塑料袋称为集合，而里面的水果就称为元素。就像刚才的问问题的那个人只关注 “塑料袋里有没有某种水果” 一样，研究集合时，也只关注一个问题，那就是 “这个集合里面有没有某个元素”。至于水果好不好吃、塑料袋会不会破、你的手疼不疼，那都不是集合需要关注的问题。

　　 相信你现在已经对这个塑料袋大概有印象了，请记住塑料袋这个例子，每次遇到跟集合相关的问题时，用塑料袋来理解都蛮好用。现在我们回到数学上来，给出一个集合的概念¹，不过其实跟刚才说的塑料袋是一样的，它跟塑料袋的区别也不过就是用了书面语罢了。

　　 其中涉及的一个术语可能对部分读者来说略显陌生——“能够确定” 或者说 “良定义”。可以参考 例 2 来帮助理解这一概念。

　　 介绍完概念，一般会开始分析概念的特性，教材上一般会说 “根据定义，集合的元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性。” 这三个特性有一点太唬人了，我们回到刚才送水果的例子里面来看一看：

• 如果被问到某种水果是否在里面，你只要打开塑料袋看看，能看到就是在里面，不能看到就是不在里面，不存在某样东西，你翻过塑料袋之后回答对方 “我不确定它在不在里面”。
• 每个种类的水果都是与众不同的。不管放了多少个苹果，打开塑料袋，如果里面有苹果，那就是有苹果。至于有几个，在判断水果的种类这个问题上，水果的数量（忽略 0 个这种情况）不会影响这个问题的答案。
• 在塑料袋里，水果的位置、顺序是不确定的、不重要的。你不知道自己会先看到什么，但只要这些水果都保持在这个塑料袋里，就可以保证回答这个问题时都是一样的。当然，你可以为了容易观看和记录，在塑料袋里面给水果排队，但不论是按名称排，还是按颜色排，都不会影响这个问题的答案。

　　 核心就是记住一句话 “集合关注的只有一点：有没有某个元素”，下面是两道练手题：

　　 在实际使用时，“互异性” 常成为其它题目的考察背景，在高中阶段较为常见；“确定性” 是较为深刻的，影响了集合本质的，因此多出现在数学专业的集合论的探讨中；“无序性” 看似与生活中常接触到的 “序”（量可以比大小）的概念相冲突，但在数学中，“序” 是从 “无序” 中构建出来的³，高中阶段基本也不涉及。

2. 集合的基数

　　 如果一个集合中只有有限多个元素，我们就说它是一个有限集，否则就是无限集。对于有限集，我们作如下定义：

　　 这个定义本质上就是发明了两个新的术语。为什么要发明新的术语，而不能直接说 “集合的元素个数” 呢？这是因为 “个数” 必须是一个非负整数，比如一个班里有 $60$ 个学生，这里的 $60$ 就是一个非负整数；但对于无限集合，比如说全体正整数构成的集合，它的元素数量可比任何一个非负整数都大。我们朴素的直觉会认为，全体正整数构成的集合，其元素数量是无穷多；但 “无穷” 并不是一个整数，所谓 “集合的元素无穷多” 其实是在说 “不管 $N$ 是多大的整数，拿走 $N$ 个元素后集合里还剩下元素”，也即 “拿不完”——你不能说 “不完” 是一个整数，对吧？另一方面，无穷集合之间也有元素多少的区分，比如全体实数就比全体整数要多，所以单单一个无穷不足以区分这些集合的元素多少。总之，对于无穷集合，“个数” 的概念就不再适用，我们就发明一个新的术语，来拓展 “个数” 的概念——所谓拓展，就是说当你限制讨论范围是有限集合的时候，集合的基数正是集合的元素个数。

　　 虽然高中并不深入讨论，但集合基数是集合论中非常重要的基础概念，因此我们在此提及。

3. 集合的表示方法

　　 定义中提到了可以给某个集合或元素命名，但当我们讨论的时候，我总不能没头没脑地说 “集合 $A$ 怎么怎么样”，因为你都不知道我说的集合 $A$ 到底是什么样的——是全班同学构成的集合，还是全世界所有人的头发构成的集合呢？数学家们设计了三种表示方法，它们用各自的手段展现一个集合的样子。

列举法

　　 列举法的做法就是把集合中所有的元素全部列举出来，写在大括号内，比如用 $\{1,2,3\}$ 表示由数字 $1,2,3$ 三个元素构成的集合。

　　 特别地，由于有些集合的元素比较多，全都写出来的话比较麻烦，因此在不产生歧义的前提下，一般可以将大括号内部过多的元素用 “$\cdots$” 代替。

描述法

　　 每次都把集合所有的元素都写出来的确是清晰明了，但很麻烦，也无法从本质上体现这个集合的特征。

　　 构建集合时，通常会设计一个判断标准，满足判断标准的元素 $x$ 就会认为在这个集合里。比如说，如果 $\mathbb{Z}$ 是全体整数构成的集合，那么你自然就能确定，$114$ 这个数字就在集合 $\mathbb{Z}$ 中，这里的判断标准就是 “$x$ 是一个整数”。

　　 数学上，为了简洁考虑，我们按如下格式来描述集合的性质：

维恩图

　　 上面的两种方法都着眼于集合和元素的关系，在研究集合之间的关系时就不太直观、好用了。这时，一般会采用图示法，也就是用草图来表示集合。

　　 维恩图（Venn diagram）也叫文氏图、韦恩图，是用平面上的区域来表示集合的方法。在进行集合间关系的分析时，可以通过画阴影、图案等方式来分析关系，非常有效，具体效果可以在子节 6 和集合的基本运算（高中）中感受。

　　 另一种表示方法是在数轴上用直线或曲线来表示范围，这种表示只适用于区间的表示方法，具体使用方式参见子节 5 的 “区间”。

　　 注意：图示法的缺点就是不够严谨，也因为是草图，所以只能作为自己理解的辅助出现在草纸上，或在书本中作为辅助理解的工具，而不能作为理由直接出现在证明、计算过程或试卷上。

4. 元素与集合的关系

　　 经过刚才的接触，相信你已经对元素和集合的关系有了隐约的感觉，下面明确地给出定义。

　　 是的，元素与集合之间就只有这两种关系。在图 1 中就有 $x\in A$ 和 $y\not\in A$。

　　 而由于确定性的要求，任意一个元素，要么属于一个集合，要么不属于这个集合，不存在第三种情况，即对所有的元素 $a$：

　　 对于例 1 而言对方的问题就是判断 “苹果、西瓜和塑料袋的关系”，而你的回答就是 “苹果 $\in$ 塑料袋，西瓜 $\notin$ 塑料袋”。

5. 特殊的集合

数集

　　 由于数字在数学领域有特别的地位，也非常常用，于是数学家们把 “只有数字构成的集合” 简称⁴为数集（number set），某些特殊的数集采用特定的记号，如下表所示。

区间

　　 什么叫区间呢？你可以形象地理解为在数轴上割出来一段，比如从 $a$ 到 $b$ 的一段（假设 $a< b$）。然而，同样是起点为 $a$、终点为 $b$ 的区间，$a$ 和 $b$ 不一定是区间中的元素，因此相同起止点的区间一共有四个。我们用方括号 “$[$” 和 “$]$”、圆括号 “$($” 和 “$)$” 来标记起点或者中点在不在区间里，如下所列举：

• 起点 $a$ 和终点 $b$都在区间中时，称区间为闭区间，记作 $[a,b]$，用集合的写法记为 $\{x\in\mathbf{R}\mid a\leq x\leq b\}$；
• 起点 $a$ 和终点 $b$都不在区间中时，称区间为开区间，记作 $(a,b)$，用集合的写法记为 $\{x\in\mathbf{R}\mid a< x< b\}$；
• 起点 $a$在区间中但起点 $b$不在时，称区间为左闭右开区间，记作 $[a,b)$，用集合的写法记为 $\{x\in\mathbf{R}\mid a\leq x< b\}$；
• 起点 $a$不在区间中但起点 $b$在时，称区间为左开右闭区间，记作 $(a,b]$，用集合的写法记为 $\{x\in\mathbf{R}\mid a< x\leq b\}$

　　 如果我们把数轴画成半透明的灰色，把区间中的点都涂黑，那么就得到一段黑色线段，这个黑色线段就可以用来表示区间。问题是，单个的点没有大小，所以无论起点或者终点在不在区间里，黑色线段的样子都一样。于是为了区分，我们规定，如果某个起点或者终点不在区间中，就要在它的位置画一个空心圆来表示。

　　 比如，$[-1,2)$ 在数轴上表示为：

　　 要注意，数轴是全体实数的集合，所以区间里的元素都是实数。

　　 如果一个区间没有起点或者终点，我们就说它是一个无穷区间：

• 集合 $\{x\in \mathbf{R}\mid x> a\}$ 记为 $(a, +\infty)$；
• 集合 $\{x\in \mathbf{R}\mid x\geq a\}$ 记为 $[a, +\infty)$；
• 集合 $\{x\in \mathbf{R}\mid x< a\}$ 记为 $(-\infty, a)$；
• 集合 $\{x\in \mathbf{R}\mid x\leq a\}$ 记为 $(-\infty, a]$。

　　 你应该注意到了，无穷符号 $\infty$ 的旁边永远是圆括号，意味着 “无穷” 不可能是区间的端点。这是因为无穷并非数字，而是 “没有尽头” 的意思。无即 “没有”，穷即 “尽头”，不能说 “没有尽头” 是一个数字，对吧？

　　 但是在实际交流的过程中，我们还是会在语法上把它当作一个数字来描述。比如说，我们也许会说，当 $x$ 逐渐减小到 $0$ 时，“$1/x$ 逐渐增大到无穷”，但这实际上是 “$1/x$ 逐渐增大，但没有上限” 的简便说法。类似地，我们也会说，对于任何实数 $a$，“必有 $a<+\infty$”，这也并非真正的数字之间大小比较，而是说 “$a$ 并非实数增大的尽头”，即 “$a$ 并非最大的实数”。

　　 为方便引用，我们把上述关于无穷的结论总结如下：

1. 无穷不是个数字。
2. 无穷不在实数集里，因此涉及无穷的区间端点都只能取 “开”。
3. $-\infty$ 比所有实数都小，$+\infty$ 比所有实数都大。

空集

　　 就像有空塑料袋一样，也有一个 “空集” 的概念。

　　 最开始学习的时候，会很容易把它和 $0$ 联想起来，他们的确存在一些联系⁶，但建议你学习时就还是把它当成 “空塑料袋” 就好了，尤其不要把空集当成 $\{0\}$，后者是包含一个元素 “$0$” 的集合。

　　 因为空集元素个数是 0，所以空集也是有限集。

6. 集合与集合的关系

　　 下面我们来研究集合之间的关系，之前我们说过，一个集合完全由它的元素决定，因此，集合间的关系最终也都反映到元素上。 就像两个装的水果一样的塑料袋，我们这时会说他们 “一样” 一样，我们先来定义相等：

　　 所以，这里就有一个判断集合相等的方式：挨个判断这两个集合里的全部元素是否一样。

　　 假设你有两个塑料袋，一个是小袋子，另一个是大袋子。你先把小袋子装满了各种水果，然后把这个小袋子放进大袋子里。现在，大袋子里面有小袋子和里面的水果。接下来，有两种选择：一种是你不再往大袋子里添加任何东西，另一种是你可以再往大袋子里放一些不同种类的水果。无论你做了哪种选择，因为小袋子里的所有水果种类都已经包含在大袋子里，如果只关注袋子里的水果种类的话，那么我们说小袋子是大袋子的 “子集”⁸。这个 “子集” 有点类似于数量之间 “小于等于” 的关系。

　　 用维恩图表示就是这样的

　　 注意区分包含于和属于，前者是两个集合间的关系，后者是一个元素和一个集合间的关系。根据定义，显然任何一个集合都是它本身的子集，即

　　 有时，想要明确表达两个包含关系的集合没有相等，就像只想研究数量之间 “小于” 的关系时，会用到真子集的概念。

　　 注意，由于维恩图是草图，在使用维恩图时不易区分 “真子集” 与 “子集” 的概念，教材中使用图 3 最上方的维恩图来表示 “真子集”。如果要表示 $A=B$，可以声明这个维恩图中圆形区域以外、正方形区域以内的部分实际上是空集，不包含任何点。

全集

　　 就像例 1 里的 “水果”，在具体研究时，通常会划定研究的范围，这个划定的范围含有要研究的全部元素。

　　 尽管 “全” 字很容易给人一种 “包含世间万事万物” 的感觉，但全集并不是绝对包含所有元素的集合¹⁰。全集是一个相对的概念，是为了规定研究范围而定下来的，只包含所讨论的问题会涉及到的所有元素。比如说，当我们讨论实函数的时候，自变量和隐变量都是实数，那么实数集 $\mathbf{R}$ 就是全集。

补集

　　 有了全集的概念，就会自然产生补集的概念。

　　 补集的概念基于全集的概念，因此补集也是相对的。全集的选择不同，补集的定义也就不同。

　　 补集关系是对称的，即如果 $B$ 是 $A$ 的补集，那么 $A$ 也是 $B$ 的补集。

　　 从集合的描述表示法来看，补集就是把描述的条件替换为其否定。比如说，若以 “全体三角形构成的集合” 为全集，那么 “全体直角或钝角三角形构成的集合” 的补集就是 “全体锐角三角形构成的集合”，其中 “锐角三角形” 等于说 “既不是直角三角形也不是钝角三角形”。

　　 从维恩图表示法来看，$\complement_UA$ 就是从 $U$ 中挖去 $A$ 后剩余的部分。

7. 总结

　　 终于，我们从零开始，给高中的第一块内容构建了一个夯实的基础。概念很多，要记住的符号也很多，所以下面列出这篇文章涉及到的知识点，方便你对照复习：

• 集合、元素的概念。
• 集合的三种表示方法（列举法，描述法，维恩图）。
• 特殊的集合：空集、全集、数集、区间。
• 集合与元素的关系：属于，或者不属于。
• 集合之间的关系：相等、子集、真子集。
• 集合相等的判断方法：互为子集。
• 集合间的运算：求交集、求并集、求补集。

1. ^ 这里的集合概念是朴素的，之后因为引发了一些问题，导致数学家们又创立了新的定义，这个问题直到现在还莫衷一是。但就如一开始所说，高中阶段对集合的要求并不这么艰深，毕竟这事现在也没说太准。
2. ^ 有的同学会好奇 “集合可不可以作为元素”，结论是肯定的，但是在高中阶段不涉及。
3. ^ 如果感兴趣可以参考定义 2 处有序对的构建思路
4. ^ 随着学习的深入，你会越来越感受到这帮人真的是一个字都不愿意多说。
5. ^ 在高等数学领域，这些数集的记号为 $\mathbb{N,N^+,Z,Q,R}$，既表示他们的地位特殊，同时这些集合的定义都是广泛明确的，使用这个记号会方便交流。
6. ^ 空集的元素数量是 0
7. ^ 这里给出是因为教材上有提及，但如前面所说高中不涉及这一部分
8. ^ 注意要求的前提是不能把塑料袋也当成 “一种水果”。但有时的研究考虑的是物品种类，这样塑料袋和各种水果就都算成不同的物品了，这个问题不在当前的讨论范围。如果专业点解释的话，就是在高中阶段，一个集合不会成为另一个集合的元素。
9. ^ 这里给出的记法是人教版高中课本上的，在高中阶段请只使用这种写法。事实上，还有 $A\subset B,B\supset A$ 和 $A\subsetneq B,B\supsetneq A$ 两种写法用来表示 “$A$ 是 $B$ 的真子集”，且前一种更常用。
10. ^ 实际上不存在这种集合，或者说满足这个概念的 “事物” 不是集合。