旋转参考系的“机械能守恒”

             

预备知识 科里奥利力,机械能守恒(单个质点)

   在匀速旋转参考系中,如果加入惯性力的修正,则牛顿定律同样适用.那么我们是否同样有某种 “修正版” 的单质点机械能守恒呢?答案是肯定的,在旋转参考系中,我们仍然定义每个质点的动能为 $E_k = mv^2/2$($v$ 是相对旋转参考系的速度),假设质点所受的所有非惯性力在旋转参考系中都是保守力,对应的势能函数 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$.那么机械能修正后的守恒量为

\begin{equation} \frac{1}{2}m v^2 + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) - \frac{1}{2}m\omega^2 r^2 = \text{const} \end{equation}
其中 $\omega$ 是旋转参考系相对于惯性系的角速度.

   对于质点系,如果质点两两之间的力也是保守力,例如库仑力或者万有引力,那么我们只需要对每个质点计算上式并求和即可得到系统的守恒量.

   例子:雅可比常量

1. 推导

   证明的思路很简单,在 “机械能守恒(单个质点)” 中证明的基础上,我们只需要额外考虑惯性力的做功即可.

   由于科里奥利力始终与每个质点的运动方向垂直,所以对质点不做功,而离心力却有可能会做功,所以式 1 中的前两项不是守恒量.每个质点所受的离心力只与位置有关,于是我们可以得到一个离心力场

\begin{equation} F_c( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = m\omega^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}
这是一个中心力场,所以必定是一个保守场,沿径向积分容易得到对应的等效势能函数为
\begin{equation} V_c( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = -\frac{1}{2}m\omega^2 r^2 \end{equation}
现在,离心力做功等于 $V_c( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的减小,所以把这个等效势能加入原来的机械能,就又得到了一个守恒量.

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