旋转参考系的 “机械能守恒”
贡献者： addis
在匀速旋转参考系中，如果加入惯性力的修正，则牛顿定律同样适用。那么我们是否同样有某种 “修正版” 的单质点机械能守恒呢？答案是肯定的，在旋转参考系中，我们仍然定义每个质点的动能为 $E_k = mv^2/2$（$v$ 是相对旋转参考系的速度），假设质点所受的所有非惯性力在旋转参考系中都是保守力，对应的势能函数 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$。那么机械能修正后的守恒量为
\begin{equation}
\frac{1}{2}m v^2 + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) - \frac{1}{2}m\omega^2 r^2 = \text{const}~,
\end{equation}
其中 $\omega$ 是旋转参考系相对于惯性系的角速度。
对于质点系，如果质点两两之间的力也是保守力，例如库仑力或者万有引力，那么我们只需要对每个质点计算上式并求和即可得到系统的守恒量。
例子：雅可比常量。
1. 推导
证明的思路很简单，在 “机械能守恒（单个质点）” 中证明的基础上，我们只需要额外考虑惯性力的做功即可。
由于科里奥利力始终与每个质点的运动方向垂直，所以对质点不做功，而离心力却有可能会做功，所以式 1 中的前两项不是守恒量。每个质点所受的离心力只与位置有关，于是我们可以得到一个离心力场
\begin{equation}
F_c( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = m\omega^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} ~.
\end{equation}
这是一个中心力场，所以必定是一个保守场
，沿径向积分容易得到对应的等效势能函数为
\begin{equation}
V_c( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = -\frac{1}{2}m\omega^2 r^2~.
\end{equation}
现在，离心力做功等于 $V_c( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的减小，所以把这个等效势能加入原来的机械能，就又得到了一个守恒量。
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